云南省红河哈尼族彝族自治州第一中学2024-2025学年高一下学期期末 数学复习卷（三）（含解析）

这是一份云南省红河哈尼族彝族自治州第一中学2024-2025学年高一下学期期末 数学复习卷（三）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
3．若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
4．已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（ ）
A．B．
C．D．
5．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
7．已知，则（ ）．
A．B．C．D．
8．设，，则
A．B．
C．D．
二、多选题
9．袋中有大小和质地均相同的5个球，其中2个红球，3个黑球．现从中随机摸取2个球，下列结论正确的有（ ）
A．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C．“至少有一个黑球”和“都是红球”是对立事件
D．“至少有一个红球”和“都是红球”是互斥事件
10．为了解某校高二年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次测试.已知此次考试共有1000名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如下（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），分数不低于110分为优秀，则（ ）

A．频率分布直方图中的a的值为0.008
B．这次考试中优秀的学生有100人
C．这次考试成绩的众数约为100
D．这次考试的中位数约为95
11．已知函数的图象为C，以下说法中不正确的是（ ）
A．函数的最大值为
B．图象C关于直线对称；
C．函数在区间内是增函数；
D．函数图像上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得到；
12．若正四面体外接球的表面积为，则（ ）
A．该正四面体的体积
B．该正四面体的表面积为
C．该正四面体内切球的半径为
D．该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．若300°角的终边所在直线上一点为，则a的值为________．
14．已知向量，满足，，则______．
15．在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．
16．已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．

四、解答题
17．求下列函数的值域．
(1)，；
(2)；
(3)，；
(4)y＝；
(5)y＝2x－.
18．记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
19．已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
20．现有7名学生，其中，，的数学成绩优秀，，的物理成绩优秀，，的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛.
(1)求被选中的概率；
(2)求和至多有一个被选中的概率.
21．如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形的中心，平面，，分别为，的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求点到平面的距离；
(3)若，求直线与平面所成角的余弦值．
22．如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．
(1)若，求x的取值范围；
(2)设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．
参考答案：
1．B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
2．A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选：A．
3．B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
4．C
【分析】根据平均数和方差的计算公式即可得到新的平均数和方差.
【详解】平均数，
方差为
，
故选：C.
5．D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
6．D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
7．B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
8．B
【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选B.
点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．
9．BC
【分析】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为.将事件用集合表示出来，即可得出答案.
【详解】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为.
对于A项，
“恰有一个红球”可用来表示，“都是红球”可用事件来表示.
所以，事件互斥，但不是对立事件，故A项错误；
对于B项，
“恰有一个黑球” 可用来表示，“都是黑球”可用事件来表示.
所以事件互斥，故B项正确；
对于C项，
“至少有一个黑球”可用事件来表示，“都是红球”可用事件来表示.
所以，事件为互斥事件，也是对立事件，故C项正确；
对于D项，
“至少有一个红球” 可用事件来表示，“都是红球”可用事件来表示.
所以，事件，即交事件为“都是红球”，故D项错误.
故选：BC.
10．ACD
【分析】根据频率分布直方图中面积之和为1可求解a，进而可求解中位数，众数等.
【详解】对于A,，故A正确，
对于B,优秀的学生为，故B错误，
对于C,这次考试成绩的众数约为,故C正确，
对于D,设中位数为，则，故D正确，
故选：ACD
11．AB
【分析】先由倍角公式及辅助角公式得，再由最值、对称性、单调性及图象的伸缩平移变换依次判断即可.
【详解】，
对于A，函数的最大值为，故A错误；
对于B，，则图象C关于点对称，B错误；
对于C，，，函数在区间内是增函数，C正确；
对于D，纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得到，D正确；
故选：AB.
12．ACD
【分析】对于选项A：利用公式，求出半径，将正四面体放到正方体中考虑，即可快速求出答案；
对于选项B：利用体积差法，总体积减去四个规则小三棱锥的体积即可得解；
对于选项C：根据内切球和外接球球心重合，求出正四面体的高减去外接球的半径，即为内切球的半径；
对于选项D：外接球半径减去内切球的半径即可得解.
【详解】
设正四面体的外接球半径为R，则，
得.
把正四面体A－CFG补形为正方体ABCD－EFHG，
则，
得，AF＝3.
，A正确.
该正四面体的表面积为，B错误.
设正四面体的高为h，则，得，因为正四面体的外接球球心与内切球球心重合，所以内切球半径，C正确.
该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为，D正确.
故选：ACD.
13．
【分析】根据横坐标判断终边位置，结合三角函数定义可解.
【详解】∵，且点在所在直线上，
∴点在120°角的终边上，，
，得.
故答案为：
14．
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
15．/
【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解.
【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，

因为，
则，
故，则，
所以所求体积为.
故答案为：.
16．
【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．
【详解】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．
17．(1)
(2)
(3)
(4)）
(5).
【分析】先求出各函数的定义域，再根据函数的表达式的特点判断函数的类型，选择适当的方法分别求解.
【详解】（1）函数的定义域为，
因为，，，
所以该函数的值域为．
（2）函数的定义域为R，因为，所以该函数的值域为.
（3）函数的定义域为，，所以该函数的值域为.
（4），显然，所以y≠2.
故函数的值域为.
（5）令，则，

所以，
由t≥0，再结合函数的图象（如图），可得函数的值域为.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
19．(1)
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.
【详解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用列举法求得样本点的总数，以及所求事件中所包含的样本点的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）根据古典摡型的概率计算，求得对立事件的概率，进求得所求事件的概率.
【详解】（1）解：用表示从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，
则对应的样本空间，共有12个样本点，
记事件“被选中”，则，
共有6个样本点，所以被选中的概率.
（2）解：记事件“，至多有一个被选中”，则其对立事件“，全被选中”
可得，共2个样本点，所以.
由对立事件的概率公式得.
21．(1)证明见解析
(2)
(3)．
【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明平面平面；
（2）利用几何关系和等体积法求解即可．
（3）由（2）可知点到平面的距离为，计算的长度，根据直线与平面所成的角的定义求解．
【详解】（1）因为四边形是正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面．又平面，所以平面平面．
（2）由（1）知，为点到平面的距离．
所以，
连接．因为平面，平面，所以，
因为，，所以，
又因为，所以．
在中，，，
所以，
设点到平面的距离为，
由，
得，所以．
所以点到平面的距离为．
（3）若，由（2）可知，点到平面的距离为，
又，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以.
即直线与平面所成角的余弦值为．
22．(1)
(2)，
【分析】（1）由折叠性质可知，进而可得，再利用勾股定理得到，化简整理求出a，根据，求出x的范围即可；
（2）根据题意可得，，利用基本不等式即可求出S的最大值以及相应的x的值．
【详解】（1）由矩形周长为，可知，设，则∵，∴．
在中，，即，
得，
由题意，，即，
解得，
由得，，∴，
即x的取值范围是．
（2）因为，．
化简得．
∵，∴，
当且仅当，即时，，.