河北省衡水市阜城县阜城实验中学2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析）

这是一份河北省衡水市阜城县阜城实验中学2024−2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若、是单位向量，则
C．
D．若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线
2．下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．化简：（ ）．
A．B．C．D．
4．已知向量，，则与共线的单位向量为
A．B．
C．或D．或
5．如图是函数的部分图象，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．在中，已知，则这个三角形的最大角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．120°
二、多选题
9．已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．的最大值是2
B．在上单调递增
C．直线是函数的一条对称轴
D．函数的对称中心坐标为
11．如图所示，D是的边上的中点，则向量（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．把函数的图象向左平移个单位，得到的函数是 ．
13．已知单位向量满足，则与的夹角为 .
14．已知角为第二象限角，且，则 ．
四、解答题
15．已知，其中
（1）求；
（2）求．
16．已知平面向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
（3）若与的夹角是钝角，求的取值范围.
17．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在上的最大值，并求此时的值．
18．如图，在中，.设.
（1）用表示；
（2）若为内部一点，且.求证：三点共线.
19．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）设，．
（i）求的值；
（ii）求的值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】A.向量不能比较大小，故A错误；
B. 若、是单位向量，则，故B错误；
C.向量与是相反向量，方向相反，模相等，故C正确；
D. 若非零向量与是共线向量，则向量与方向相同或相反，根据向量可以平移，则无法说明四点共线，故D错误.
故选C
2．【答案】D
【详解】对于A，函数的最小正周期为，A不符合题意；
对于B，函数是偶函数，B不符合题意；
对于C，，函数不是奇函数，C不符合题意；
对于D，函数，所以为奇函数，且最小正周期为，D符合题意.
故选D.
3．【答案】C
【详解】因为.
故选C
4．【答案】D
【详解】根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案.
【详解】因为，，则，
所以，
设与共线的单位向量为，
则，
解得 或
所以与共线的单位向量为或.
故选D.
5．【答案】A
【详解】由图象可得，解得，
所以，得，所以，
由图象可得当时，，
所以，所以，
得，
所以
.
故选A
6．【答案】B
【详解】由，的夹角为，得，
所以在上的投影向量是.
故选B
7．【答案】B
【详解】依题意，，
解得，
.
故选B
8．【答案】B
【详解】由，令，
，
又，则，
所以这个三角形的最大角的弧度数为.
故选B.
9．【答案】ACD
【详解】对于A，令，即，
所以无解，
故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，A正确；
对于B，因为，即向量与共线，故不能作为平面向量的一个基底；B错误；
对于C，令，即，
所以无解，
故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，C正确；
对于D，令，即，
所以无解，
故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，D正确
故选ACD.
10．【答案】ABD
【详解】A.由可知的最大值是2，A正确.
B.当时，，
由函数在上单调递增可得在上单调递增，B正确.
C.当时，，选项C错误.
D.由得，
故函数的对称中心坐标为，D正确.
故选ABD.
11．【答案】ABD
【详解】对A：，A选项正确；
对B：，B选项正确；
对C：，C选项错误；
对D：，D选项正确．
故选ABD
12．【答案】
【详解】把函数的图象向左平移个单位，
得到的函数是．
13．【答案】
【详解】因为是单位向量，所以，
，
所以，因为，所以，即与的夹角为.
14．【答案】
【详解】因为，所以，
因为是第二象限角，
所以，
所以，
所以.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意得：
，，
，
（2），，
，
.
16．【答案】（1）或3：
（2）1或
（3）
【详解】（1）若，则.
整理得，解得或.
故的值为或3.
（2）若，则有，即，解得或
当时，，则，得；
当时，，则，得.
综上，的值为1或.
（3）因与的夹角是钝角，则，即，得，
又当与共线时，有，得，不合题意，则
综上，的取值范围为.
17．【答案】（1）
（2）时，函数最大，最大值为.
【详解】（1），
，
，
∴，∴最小正周期.
（2）当时，，
∴当时，即时，函数最大，最大值为.
18．【答案】（1），
（2）证明见解析
【详解】（1），
；
（2），
又，故，
故三点共线.
19．【答案】（1）
（2）
；
【详解】（1）因为得；
即，得；
所以，因为；
所以.
（2），则.
，则，.
所以.