2025年中考数学专项复习专题08 三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

这是一份2025年中考数学专项复习专题08 三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型解读与提分精练（全国通用）（解析版），共41页。

TOC \ "1-4" \h \z \u
\l "_Tc18781" PAGEREF _Tc18781 \h 2
\l "_Tc12597" 模型1.弦图模型 PAGEREF _Tc12597 \h 2
\l "_Tc24950" 模型2.勾股树模型 PAGEREF _Tc24950 \h 10
\l "_Tc19398" PAGEREF _Tc19398 \h 18
模型1.弦图模型
“弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。
数学具有高度的抽象性，考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型，所以学习中我们要抓住弦图本质灵活变形，从而增强数学的变化性，培养思维灵活性，为学生提供思维的广泛联想空间，使其在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。
图1 图2 图3 图4
（1）内弦图模型：
条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；
证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB．
又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．
（2）外弦图模型：
条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形，
结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；
证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC．
又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE．
（3）内外组合型弦图模型：
条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN.
证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。
∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△；
∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH
上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。
（4）半弦图模型
图5 图6 图7
条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。
证明：∵EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90°
∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG．
又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。
条件：如图6，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。
证明：同图5证明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。
条件：如图7，在Rt △ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，结论：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。
证明：∵△ABE和△BCD是Rt △，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。
∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。
又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。
上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼就要想到用弦图的相关知识解决问题。
例1．（23-24八年级下·北京门头沟·期末）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边，
下列四个推断：①；②；③；④．
其中所有正确推断的序号是（ ）．
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，正确运用完全平方公式变形求值成为解题的关键．
由题意可得大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，再结合图形和勾股定理可得、可判定①②；然后通过完全平方公式变形求值可判定③④．
【详解】解：∵大正方形面积为49，小正方形面积为4，
∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，∴，，即①、②正确；
∴ ，则：，,即③正确；
∴，∴，即④错误；
综上，正确的有①②③．故选B．
例2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．24B．36C．40D．44
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可.
【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为，
图1中大正方形的面积是24，，
小正方形的面积是4，，，
图2中最大的正方形的面积；故选：D．
例3．（2023·山东枣庄·二模）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为． 若正方形的边长为2，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，设全等的直角三角形的两条直角边为a、且，则，，，再由正方形的边长为2得到，据此可得答案．
【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、且，
由题意可知：，，，
∴，，
∵正方形的边长为2，∴，∴故答案为：．
例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理．由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的一半，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，即可得正方形面积为9，继而得，由勾股定理可求得的长．
【详解】解：由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点，且，
，，
，，，
又，．故答案为：．
例5．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图中左图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2中右图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）

A．74B．76C．78D．80
【答案】B
【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．
【详解】如图，根据题意，，
∵，∴，即，
∴，∴，∴这个风车的外围周长是，故选B．

【点睛】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
例6．（2023·河北·八年级期末）如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为1．（1）如图1，若用a，b表示直角三角形的两条直角边（a