江苏省宿迁市泗阳县2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，若，则x的值为（ ）
A. 7B. -8C. 6D. -5
【答案】A
【详解】已知，，
因为，
则，.
故选：A.
2. 展开式中的第项为常数项，则的值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】D
【详解】二项式展开式的通项为（且），
因为展开式中的第项为常数项，所以，解得.
故选：D
3. 已知3张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6.将这3张卡片排成一排，则可构成不同的三位数的个数为（ ）
A. 120B. 60C. 48D. 36
【答案】C
【详解】将3张卡片排成一排，每一张卡片数字有两种情况，则不同的数字组合有种，
再将3个数字进行排列，则有种，所以构成的不同三位数有种.
故选：C
4. 在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系.
则平面的一个法向量为，
设正三棱柱中，，则，，
所以，所以,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：A
5. 在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设平面的一个法向量为，
则，令，可得，；
所以，
则点到平面的距离为.
故选：D
6. 6名同学排成一排照相，其中甲､乙两人相邻的排法共有（ ）
A. 120种B. 240种C. 360种D. 480种
【答案】B
【详解】甲和乙两人相邻，有种方法；将甲､乙两人看成一个元素，和其他四名同学，共5个元素全排列，有种方法，
所以甲､乙两人相邻的排法共有种方法．
故选：B．
7. 若，则（ ）
A. 30B. 45C. 60D. 90
【答案】B
【详解】由，则其展开式的通项为，
令，则.
故选：B.
8. 将6封不同的信放入编号为1，2，3，4的4个邮筒，则恰有2个空邮筒的不同的放法共有（ ）
A. 372种B. 380种C. 492种D. 496种
【答案】A
【详解】首先从个邮筒中选出个邮筒，有种选法，
再将封不同的信件分成，，两组，有种分法；
最后将两组分配到两个邮筒，有种分法。
按照分步乘法计数原理可知恰有2个空邮筒的不同的放法共有种.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 数学竞赛小组有高一学生2人，高二学生4人，高三学生6人，则（ ）
A. 若每个年级各选1名学生外出培训，则共有12种不同的选法
B. 若选派2名学生外出培训，这2人来自不同年级，则共有44种不同的选法
C. 若选派3名学生外出培训，恰好有1人来自高二年级，则有116种不同的选法
D. 若选派3名学生外出培训，高三年级的甲乙两位同学不能同时参加，则共有210种不同的选法
【答案】BD
【详解】选项A：每个年级各选1名学生外出培训，则共有种不同的选法，A选项错误；
选项B：若选派2名学生外出培训，这2人来自不同年级，则共有种不同的选法，故B正确；
选项C：若选派3名学生外出培训，恰好有1人来自高二年级，则有种不同的选法，故C错误；
选项D：若选派3名学生外出培训，高三年级的甲乙两位同学不能同时参加，则共有种情况，故D正确，
故选：BD
10. 若展开式中的常数项为60，则（ ）
A. 展开式中第4项二项式系数最大B. 实数a的值为4
C. 展开式中奇数项的二项式系数和为64D. 展开式中系数最大的项是第5项
【答案】ABD
【详解】A选项，因为展开式共7项，第4项的二项式系数最大，故A正确；
B选项， ，其中为整数，且，
令，解得，此时，所以，B正确；
C选项，展开式中奇数项的二项式系数和为，故C错误；
D选项，由得，，又，所以，
且时， ，系数为正，
所以展开式中系数最大的项为是第5项，故D正确.
故选：ABD.
11. 正方体中，点P满足，若正方体棱长为1，则下列正确的有（ ）
A. 若，，则平面
B. 若，则三棱锥的体积为定值
C. 若，则点到直线的距离的最小值为
D. 若，，则二面角的正弦值的最小值为
【答案】ACD
【详解】对于A，由可得，且可知三点共线；
可知点在线段上，连接，如下图所示：
由正方体性质可知，又平面，平面，
所以平面；
同理可得平面，
又，且平面，
因此可得平面平面，又因为平面，
所以平面，即A正确；
对于B，若，可知四点共面，即点在平面内，
由A选项中的分析可知，平面平面，如下图所示：
此时点到平面的距离为正方体对角线的三分之一，即；
又三角形是边长为的正三角形，其面积为，
则三棱锥的体积为定值，即B错误；
对于C，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，
所以，，，；
又，因此，即；
所以，
则点到直线的距离为，
显然当时，距离最小为，即C正确；
对于D，若，，由选项C分析可知；
则，又；
设平面的一个法向量为，
则，解得，令，则，
因此；
易知平面的一个法向量为，
则二面角的正弦值为，
又因为，，可知，当时信任不是最小值，
所以时，，
易知当时，，
即二面角的正弦值的最小值为，可得D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则向量在向量上的投影向量是_________
【答案】
【详解】由，可得，
易知向量在向量上的投影向量为.
故答案为：
13. 的展开式中含项的系数为_____.
【答案】10
【详解】由的展开式的通项为，
令，，令，，
则的展开式中含项的系数为.
故答案为：.
14. 在华为的三进制数据处理研究中，设计了一种独特的三进制编码规则.将一个长度为8位的三进制数按位权展开并转化为十进制数，例如三进制数，转化为十进制数，其中，，则三进制数00001110对应的十进制数为_______，现有一个8位三进制数，包含3个，3个0，2个1，若要求首位不能为0，且相邻两位不能同时为，则这样的不同的三进制数个数共有_______.
【答案】 ①. 39 ②. 140
【详解】易知00001110对应的十进制数为；
先将3个0，2个1进行排列，共有种，
再将3个插入到6个空隙中去，共有种，
所以能表示出的不同的三进制数个数共有种，
其中有首位为0时，共有种，
则符合题意的不同的三进制数个数共有种.
故答案为：39；140.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，.
（1）求的值；
（2）求与所成的角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
因为点为的中点
所以
所以
所以，所以
【小问2详解】
因为
；
所以；
因为；
又。
所以；
所以直线与所成的角的余弦值为.
16. 有6名同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，每人选择一个小组.（数字作答）
（1）求一共有多少种不同的报名方法；
（2）若三科均要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法；
（3）若甲乙两人都不报化学学科，且每个学科都要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法.
【答案】（1）
（2）540 （3）230
【小问1详解】
因为每个人都有三种选择，所以一共有种；
【小问2详解】
因为三科均要有人报名，可分为以下三种情况：
①其中一科有4人，另外2科各1人，共有：种，
②其中一科1人，一科2人，一科3人，共有：种，
③三科均2人，共有：种，
所以一共有：90+360+90=540种.
【小问3详解】
因为甲乙两人都不报化学学科，
所以按照另外4个人报化学学科的人数可分为以下4种情况：
①有1人报化学：种，
②有2人报化学：种,
③有3人报化学：种，
④有4人报化学：种，
所以一共有：120+84+24+2=230种.
17. 如图，在四棱锥中，为的中点，，，，，，.

（1）求平面与平面所成角的正弦值；
（2）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，点为线段的中点
【小问1详解】
因为，
所以，又因为为的中点，
所以与均为等腰直角三角形，所以
又因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，又，平面，所以平面，
在平面内，过点作，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，设平面的一个法向量为
则，即，令，则，
平面的一个法向量为.
又因为平面的一个法向量为，所以.
设平面与平面所成角为，则.
【小问2详解】
假设线段上存在点，使得平面
设，
所以.
因为平面，所以，
所以，即点是线段的中点，
所以存在点，点为线段的中点.
18. 设.
（1）求实数的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
由的展开式的通项为，
因为，所以.
【小问2详解】
令，则，令，则，
所以.
【小问3详解】
由两边求导得：
由两边求导得：
.
令，则.
所以.
19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线方向式方程为；过点，且法向量为的平面法向式方程为，将其整理成一般式方程为，其中.已知直线的方向式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为.
（1）求直线与平面所成角的余弦值；
（2）求与所成角的正弦值；
（3）若，不在平面内，证明：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【小问1详解】
设直线与平面所成角为，
因为直线的方向式方程为，平面的一般式方程为
所以直线的一个方向向量为
平面的一个法向量为.
所以.
所以.
小问2详解】
设平面和所成角为，
因为平面的一般式方程为，
平面的一般式方程为，
所以平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.
所以，
所以，
【小问3详解】
证明：设直线的一个方向向量为，则，所以，
令，则，所以直线的一个方向向量为.
因为平面的一般式方程为，
所以平面的一个法向量为.
所以，
所以，又因为不在平面内所以.