2025 人教版初三数学中考二轮冲刺之二次函数中的存在性问题专练【14类题型】

这是一份2025 人教版初三数学中考二轮冲刺之二次函数中的存在性问题专练【14类题型】，共40页。试卷主要包含了三角形存在性问题，特殊四边形存在性问题，角的存在性问题等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc191641782" 解题策略梳理
\l "_Tc191641783" 模块一 三角形存在性问题
\l "_Tc191641784" 【题型1】 等腰直角三角形
\l "_Tc191641785" 【题型2】 等腰三角形存在性问题
\l "_Tc191641786" 【题型3】 直角三角形存在性问题
\l "_Tc191641787" 【题型4】 相似三角形存在性问题
\l "_Tc191641788" 模块二 特殊四边形存在性问题
\l "_Tc191641789" 【题型5】 平行四边形存在性问题
\l "_Tc191641790" 【题型6】 正方形存在性问题
\l "_Tc191641791" 【题型7】 矩形存在性问题
\l "_Tc191641792" 【题型8】 菱形存在性问题
\l "_Tc191641793" 模块三 角的存在性问题
\l "_Tc191641794" 【题型9】转化为相似或全等三角形
\l "_Tc191641795" 【题型10】转化为等腰三角形问题
\l "_Tc191641796" 【题型11】化为正切值或斜率
\l "_Tc191641797" 【题型12】角的存在性问题之与特殊角结合
\l "_Tc191641798" 【题型13】角的存在性问题之2倍角与半角
\l "_Tc191641799" 【题型14】顶点是动点——构造圆
题型汇编
知识梳理与常考题型
解题策略梳理
一、等腰三角形的存在性问题：几何法与代数法讲解
【问题描述】
如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．
【几何法】“两圆一线”得坐标
（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；
（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．
【注意】若有三点共线的情况，则需排除．
作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．
同理可求，下求．
显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：
而对于本题的，或许代数法更好用一些．
二、直角三角形存在性问题：几何法与代数法讲解
【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标．
【几何法】两线一圆得坐标
（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）
重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例：
【构造三垂直】
求法相同，以为例：
构造三垂直步骤：
第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；
第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．
【代数法】表示线段构勾股
还剩下待求，不妨来求下：
（1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；
（2）表示线段：，，；
（3）分类讨论：当为直角时，；
（4）代入得方程：，解得：．
三、等腰直角三角形在性问题方法突破
【三垂直构造等腰直角三角形】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．
【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转得到AD，过点D作DE⊥AC于点，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．
我们把这个数学模型成为“K型”．
推理过程如下：
【模型迁移】
【兰州中考（删减）】二次函数的图像交轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标．

【分析】
（1）；
（2）本题直角顶点P并不确定，以BC为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P点，再过点P作水平线，得三垂直全等．
设HP=a，PQ=b，则BQ=a，CH=b，
由图可知：，解得：．
故D点坐标为（1,3）．
同理可求此时D点坐标为（3,2）．
思路2：等腰直角的一半还是等腰直角．
如图，取BC中点M点，以BM为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P点．根据B点和M点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为1和2，故P点坐标易求．
P点横坐标同D点，故可求得D点坐标．
四、平行四边形存在性问题方法突破
考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：
（1）对应边平行且相等；
（2）对角线互相平分．
这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：
（1）对边平行且相等可转化为：，
可以理解为点B移动到点A，点C移动到点D，移动路径完全相同．
（2）对角线互相平分转化为：，
可以理解为AC的中点也是BD的中点．
【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：，
→．
当AC和BD为对角线时，结果可简记为：（各个点对应的横纵坐标相加）
以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD是否一定为平行四边形？
反例如下：
之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．
虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：
（1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线．
（2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．
【题型分类】
平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题．
三定一动
已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形．
思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：
设D点坐标为（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：
（1）BC为对角线时，，可得；
（2）AC为对角线时，，解得；
（3）AB为对角线时，，解得．
当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．
比如：，，．（此处特指点的横纵坐标相加减）
两定两动
已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求C、D坐标．
【分析】
设C点坐标为（m，0），D点坐标为（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．
（1）当AB为对角线时，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；
（2）当AC为对角线时，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；
（3）当AD为对角线时，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．
【动点综述】
“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．
从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．
找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：
（1）对边平行且相等；
（2）对角线互相平分．
但此两个性质统一成一个等式： ，
两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．
由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．
五、矩形的存在性问题方法突破
矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形；
（2）对角线相等的平行四边形；
（3）有三个角为直角的四边形．
【题型分析】
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：
（AC为对角线时）
因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．
确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．
题型如下：
（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；
（2）1个定点+3个半动点．
【解析思路】
思路1：先直角，再矩形
在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．
引例：已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．
【分析】
点C满足以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的点C有、、、
在点C的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点D的坐标．
【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此．
思路2：先平行，再矩形
当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：
其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．
无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．
引例：已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在坐标系中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标．
【分析】
设C点坐标为（a，0），D点坐标为（b，c），又A（1，1）、B（4，2）．
先考虑平行四边形存在性：
（1）AB为对角线时，，满足此条件的C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，另外AB=CD，得：，
综合以上可解：或．故C（3，0）、D（2，3）或C（2，0）、D（3，3）．
（2）AC为对角线时，，另外AC=BD，得，综合以上可解得：．故C、D．
（3）AD为对角线时，，另外AD=BC，得，
综合以上可解得：．故C、D．
【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式而已，剩下的都是计算的故事．
【代数法】表示线段构相等
（1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），
（2）表示线段：，
（3）分类讨论：根据，可得：，
（4）求解得答案：解得：，故坐标为．
【小结】
几何法：（1）“两圆一线”作出点；
（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．
代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；
（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；
（3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；
（4）列出方程求解．
问题总结：
（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；
（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；
（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．
六、菱形的存在性问题方法突破
作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：
（1）有一组邻边相等的平行四边形菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边都相等的四边形是菱形．
坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需满足：
考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等．
即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，
故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．
因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：
（1）2个定点+1个半动点+1个全动点
（2）1个定点+3个半动点
解决问题的方法也可有如下两种：
思路1：先平四，再菱形
设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．
思路2：先等腰，再菱形
在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点．
看个例子：
如图，在坐标系中，A点坐标（1,1），B点坐标为（5,4），点C在x轴上，点D在平面中，求D点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形．
思路1：先平四，再菱形
设C点坐标为（m，0），D点坐标为（p，q）．
（1）当AB为对角线时，由题意得：（AB和CD互相平分及AC=BC）
，解得：
（2）当AC为对角线时，由题意得：（AC和BD互相平分及BA=BC）
，解得：或
（3）当AD为对角线时，由题意得：
，解得：或
思路2：先等腰，再菱形
先求点C，点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C，再确定D点．
（1）当AB=AC时，
C点坐标为，对应D点坐标为；
C点坐标为，对应D点坐标为．
（2）当BA=BC时，
C点坐标为（8，0），对应D点坐标为（4，-3）；
C点坐标为（2，0），对应D点坐标为（-2，-3）．
（3）AC=BC时，
C点坐标为，D点坐标为．
以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法．
七、正方形的存在性问题方法突破
作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：
（1）有一个角为直角的菱形；
（2）有一组邻边相等的矩形；
（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．
依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．
从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）．
比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解．
从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：
（1）2个定点+2个全动点；
（2）1个定点+2个半动点+1个全动点;
甚至可以有：（3）4个半动点．
不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！
常用处理方法：
思路1：从判定出发
若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；
若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；
若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．
思路2：构造三垂直全等
若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．
总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系．
正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主．
例：在平面直角坐标系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形．
如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．
至于具体求点坐标，以为例，构造△AMB≌△，即可求得坐标．至于像、这两个点的坐标，不难发现，是或的中点，是或的中点．
题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路．
八、相似三角形存在性问题
【模型解读】
在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．
【相似判定】
判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；
判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；
判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．
以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．
【题型分析】
通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．
【思路总结】
根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！
所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．
然后再找：
思路1：两相等角的两边对应成比例；
思路2：还存在另一组角相等．
事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．
一、如何得到相等角？
二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？
搞定这两个问题就可以了．
九、角的存在性问题
方法突破
除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．
回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：
（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；
（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；
（3）等腰三角形：等边对等角；
（4）全等（相似）三角形：对应角相等；
（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；
（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．
想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．
模块一 三角形存在性问题
【题型1】 等腰直角三角形
【例题1】如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值．
（3）点为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【例题2】如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点，过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【巩固练习1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，点B（3,0），经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为，与y轴交点为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点（不与点A、C重合）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）点在抛物线的对称轴上运动，当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点的坐标．
【巩固练习2】如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
【巩固练习3】（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
(3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型2】 等腰三角形存在性问题
【例题1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由．

【例题2】（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标；
(3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【巩固练习1】如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点作轴，垂足为点，交于点．试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由；
【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）如图，连接、，点在线段上（不与、重合），作，交线段于点，是否存在这样点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【巩固练习3】如图，已知二次函数的图像与轴相交于，两点，与轴相交于点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，轴于点，与线段交于点，连接．当是以为一腰的等腰三角形时，求点的坐标．
【巩固练习4】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标．
【巩固练习5】（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型3】 直角三角形存在性问题
【例题1】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．
【模型呈现】如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转得到AD，过点D作DE⊥AC于点，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE．
我们把这个数学模型成为“K型”．
推理过程如下：
【模型迁移】二次函数的图像交轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标．

【例题2】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，．
（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点坐标．
【例题3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）请在轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点，使以点，，为顶点，为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【巩固练习1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，点B（3,0），经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为，与y轴交点为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点（不与点A、C重合）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）点在抛物线的对称轴上运动，当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点的坐标．
【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【巩固练习3】（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标
【巩固练习4】（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；
(3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型4】 相似三角形存在性问题
【例题1】如图，抛物线与轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，-3）．点Q是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．
【例题2】如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．
（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【例题3】如图，已知抛物线经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求tan∠ABC的值；
（3）若点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上一点，当△CDE与△ABC相似时，求点E的坐标．
【巩固练习1】（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【巩固练习2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【巩固练习3】如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C．动直线EF（EF//x轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．是否存在t，使得△BPF与△ABC相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．
【巩固练习4】如图，已知抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标；
(2)若四边形为矩形，．点以每秒1个单位的速度从点沿向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以、、为顶点的三角形与相似时，求运动时间的值
模块二 特殊四边形存在性问题
【题型5】 平行四边形存在性问题
【例题1】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
【例题2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知，分别是直线和抛物线上的动点，当，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
【例题3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线的一个交点为，且点的横坐标为2，点、分别是抛物线、上的动点．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）若以点、、、为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点的坐标．
【例题4】如图，已知抛物线经过点，，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【巩固练习1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【巩固练习2】如图，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点，点坐标为，，，点为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为坐标平面内一点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标．
【巩固练习3】（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标；
(3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．
【巩固练习4】（2024·宁夏·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值；
(3)如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型6】 正方形存在性问题
【例题1】如图，抛物线与轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【例题2】（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；
(3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【巩固练习1】如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2）、点B（1，0），抛物线经过点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P与点Q（点C、D除外）使四边形ABPQ为正方形？若存在求出点P、Q两点坐标，若不存在说明理由．
【巩固练习2】如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若M、N为抛物线上两个动点，分别过点M、N作直线BC的垂线段，垂足分别为D、E．是否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．
【巩固练习3】如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．

(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．
【巩固练习4】如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点,当是等腰三角形时，求点的坐标．
【题型7】 矩形存在性问题
【例题1】如图，抛物线与轴交于点A（-1，0），点B（-3，0），且OB=OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M、N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E．
①求DE的最大值；
②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形．
【例题2】如图，直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线经过点B，与直线y=x-3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【巩固练习1】如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由
【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标．
【巩固练习3】如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【巩固练习4】如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分则点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，且，P为抛物线上一动点．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型8】 菱形存在性问题
【例题1】综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【例题2】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中点，．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)将该抛物线向左平移个单位长度得到，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，是平面直角坐标系内的一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
【巩固练习1】综合与探究
如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4,0），与y轴交于点C，抛物线经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式
（2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【巩固练习2】如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由．
【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．

(1)求抛物线的解析式．
(2)抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标．
【巩固练习4】如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．

(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【巩固练习5】（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当时，y的取值范围是，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
模块三 角的存在性问题
【题型9】 角的存在性问题之转化为相似或全等三角形
【例题1】如图，抛物线的图象，经过点，，三点，过点，的直线与抛物线的另一交点为．
（1）请你直接写出：
①抛物线的解析式 ；
②直线的解析式 ；
③点的坐标 ， ；
（2）如图1，若点是轴上一动点，连接，，则当点位于何处时，可使得，请你求出此时点的坐标；
【例题2】（2024·四川广安·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．

(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
(3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【巩固练习1】如图，抛物线经过两点，与轴交于两点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)点为第四象限抛物线上一动点，点横坐标为，直线与交于点，连接．如图，若时，求的值：
【巩固练习2】如图，抛物线经过两点，与轴交于两点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)点为第四象限抛物线上一动点，点横坐标为，直线与交于点，连接．如图，若时，求的值：
【巩固练习3】如图，已知抛物线的顶点为A，且经过点．

(1)求顶点A的坐标；
(2)在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，使得，求点P坐标；
【题型10】 角的存在性问题之转化为等腰三角形问题
【例题1】抛物线，（）交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是抛物线的顶点．

(1)当时，直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)如图，点D是对称轴右侧抛物线上一点，，求线段长度：
【巩固练习1】抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，－3）、B（4，0），
① 求该抛物线的解析式；
② 若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标．
【题型11】 角的存在性问题之化为正切值或斜率
【例题1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中点，．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)过点作轴交抛物线于点，连接，在抛物线上是否存在点使．若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
【例题2】如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上一点D（1，-5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC=∠MCE时，求点M的坐标．
【巩固练习1】（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)已知直线与，轴分别相交于点，．设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
【巩固练习2】（2024·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
(1)________；
(2)如图，已知点A的坐标是．
①当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值；
②连接，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作轴，垂足为D．作，射线交y轴于点Q，连接．若，求点P的横坐标．
【巩固练习3】如图，抛物线与两坐标轴相交于点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）F（x，y）是抛物线上的动点：
①当x>1，y>0时，求△BDF的面积的最大值；
②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．
【题型12】 角的存在性问题之与特殊角结合
【例题1】如图，已知抛物线过点A（4，0），B（-2，0），C（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C和点关于抛物线的对称轴对称，点P在抛物线上，且，求点P的横坐标．
【例题2】（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当时，求点P的坐标；
【巩固练习1】如图，直线与坐标轴交于、两点，抛物线经过点，与直线交于点，且与轴交于，两点．
（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一点，当时，求点的横坐标.
【巩固练习2】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中，连结．
(1)求点C的坐标及此抛物线的表达式；
(2)点D为y轴上一点，若直线和直线的夹角为，求线段的长度
【题型13】 角的存在性问题之2倍角与半角
【例题1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点为直线上方抛物线上一动点，过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【例题2】如图，二次函数的图象经过点，且与直线相交于坐标轴上的、两点．
（1）求、、的值；
（2）求证：；
（3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，则求出直线的解析式及点坐标；若不存在，请说明理由．
【巩固练习1】已知过点的直线：与抛物线：的图象交于点，，点在轴上，抛物线与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为．过点作轴的平行线，交直线于点，交轴于点．当时，求的值．
【巩固练习2】（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【巩固练习3】如图1，二次函数的图象经过点，并且与直线相交于坐标轴上的、两点，动点在直线下方的二次函数图象上．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图，过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【巩固练习4】（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线．
(1)分别求抛物线和的表达式；
(2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值；
(3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型14】 角的存在性问题之顶点是动点——构造圆
【例题1】如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过点，与轴另一交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【巩固练习1】如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
【巩固练习2】二次函数的图象交轴于两点，交轴于点.动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接.设运动的时间为秒.
(1)求二次函数的表达式:
(2)当时，在直线上存在一点，使得，求点的坐标
【巩固练习3】如图，抛物线过点，且与直线交于B、C两点，点B的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．