广西南宁三中2025届三下学期5月二模数学试题（Word版附解析）

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1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．若，则复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．下列函数是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．若非零向量满足，则的最大值为（ ）
A．3B．2C．1D．4
5．已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A．B．
C．D．
7．已知椭圆E：的上下顶点分别为Q、P，为椭圆的右焦点，直线交椭圆E于点M，若，则椭圆E的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
8．已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）
A．的坐标为B．C．D．
10．甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示，则（ ）

A．甲得分的极差大于乙得分的极差
B．甲得分的平均数大于乙得分的平均数
C．甲得分的中位数大于乙得分的中位数
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
11．如图，四面体中，等边的边长为，，，平面平面，则下列选项正确的是（ ）
A．四面体的体积为
B．直线与直线所成角的大小为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．点到平面的距离为3
三、填空题
12．已知，则 .
13．已知随机变量X服从正态分布，且，则 ．
14．已知曲线.
（1）请写出曲线的一个整点（即横、纵坐标均为整数的点）： ；（2分）
（2）请写出曲线的一个对称中心： ；（3分）
四、解答题
15．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围．
16．已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列．
（2）若，求满足条件的最大整数n．
17．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面.
(1)证明：为的中点；
(2)若，二面角的余弦值为，求的长.
18．为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛．决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．
(1)若 ，求乙队以2：0获胜的概率；
(2)若 ，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的期望；
(3)若比赛打满3局的概率记为，请直接写出的最大值及此时p的值，并解释此时的实际意义.
19．在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为F，点，过F的直线交C于M、N两点．当直线的斜率为1时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线、与抛物线C的另一个交点分别为A、B，，求的值；
(3)在（2）的条件下，记直线、的倾斜角分别为、，求的最大值．
南宁三中校一模试题参考答案
1．C【详解】集合，，所以.故选：C
2．C【详解】因为，所以，其对应的点坐标为；
因此复数z对应的点位于第三象限．故选：C
3．B【详解】对于A，因为，所以函数为奇函数，故A不正确；
对于B，因为，所以函数为偶函数，故B正确；
对于C，因为，所以函数为奇函数，故C不正确；
对于D，因为，所以函数为非奇非偶函数，故D不正确．
故选：B．
4．D【详解】根据绝对值三角不等式有，当且仅当同向时等号成立.故选：D
5．D【详解】如图所示：由题意得，，
，
，
故选：D.
6．B【详解】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，
所以恰有2只做过测试的概率为，选B．
7．B
【详解】由题意，，，则，
直线方程为，即，
与椭圆E：联立消y得，所以，
所以，
因为，所以，即，
所以，所以，
即，所以，所以，所以，所以（负根舍去）.
故选：B
8．C
【详解】设函数的最小正周期为，因为在区间上单调递增，
所以，解得，所以.
令，则当时，.
因为在区间上单调递增且存在零点，
所以，解得，
又，时，得，时，得，其他值，均不合要求，
所以或，
所以的取值范围是.
故选：C
9．BD
【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为，故A错误；
对于BC，由抛物线定义可得，所以，，解得，故B正确C错误；
对于D，，故D正确.
故选：BD.
10．BC【详解】甲场比赛得分由低到高分别为，
乙场比赛得分由低到高分别为，
则甲的极差为，乙的极差为，
故甲得分的极差小于乙得分的极差，故A错误；
甲的平均数，乙的平均数，
则甲得分的平均数大于乙得分的平均数，故B正确；
甲的中位数为，乙的中位数为，
则甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C正确；
甲的方差，
乙的方差，
故甲得分的方差小于乙得分的方差，故D错误.
故选：BC
11．ACD
【详解】对于A：因为，平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又等边的边长为，，，
所以，
所以，故A正确；
对于B：因为平面，平面，所以，
即直线与直线所成角的大小为，故B错误；
对于C：取的中点，连接、，则，
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
所以为直线与平面所成角，
又，在中，，
所以，即直线与平面所成角的正弦值为，故C正确；
对于D：因为，，
设点到平面的距离为，则，解得，
即点到平面的距离为，故D正确.
故选：ACD
12．【详解】，所以.故答案为：
13．/．【详解】因为，所以，因此．
故答案为：．
14．【详解】对（1）当时，原方程不成立，故曲线可变形为，
若横、纵坐标均为整数，则必须为整数，故或；
当时，，当时，，
故曲线恰好经过两个整点和，（写出其中一个即可）
对于（2）假设曲线的对称中心为，将对称点代入原方程：
，
整理得，
与原方程比较系数，有，解得，
说明曲线关于点对称
15．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先对函数求导得，再根据的取值范围讨论导数正负.确定函数的单调区间.
（2）把恒成立转化为.令，对其求导得，根据导数正负确定单调性，求出最大值，进而得到的取值范围.
【详解】（1），
当时，，函数在上单调递减；
当时，由得，由得，所以函数在，上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）恒成立等价于，即．
令，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即．
所以的取值范围为．
16．（1）证明见解析； （2）.
【分析】（1）由，化简得到，结合等比数列的定义，即可求解；
（2）由（1）求得，根据等比数列的求和公式和常数列的求和公式，求得，根据，即可求解.
【详解】（1）由题意，数列满足，可得，
可得，即，
又由，所以，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可得，所以
设数列的前项和为，
则
，
若，即，
因为函数为单调递增函数，
所以满足的最大整数的值为.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得证；
（2）取中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标，设，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出.
【详解】（1）连接交于点，连接．
因为底面为菱形，所以为的中点．
又因为平面，平面，平面平面，
所以，
所以为的中点.
（2）取中点，连接．
在菱形中，，所以，则为正三角形，
所以，又，所以．
又因为平面，如图建立空间直角坐标系．
设， 则，，，，
则，，，
则平面的一个法向量为．
设平面的一个法向量为，
则，取，
因为二面角的余弦值为，
所以，解得（负值已舍去），
所以．
18．(1)(2)(3)最大值为 ，此时 ，意义见解析
【详解】（1）乙队以2:0获胜意味着乙队在前两局中均获胜.乙队每局获胜的概率为 ，记：为事件A，因此乙队以2:0获胜的概率为：
代入 ，得：
（2）比赛结束时甲队获胜的局数 的可能取值为0、1或2.计算各情况的概率如下：
：甲队一局未胜，即乙队以2:0获胜，概率为 .
：甲队仅胜1局，乙队胜2局，可能的情况有两种（甲胜第1局或第2局），概率为：
：甲队胜2局，可能的情况有两种（甲胜前2局或前2局胜1局），概率为：
因此， 的期望为：
代入 ，得：
化简后得 .
（3）比赛打满3局的概率 表示比赛进行到第3局才分出胜负.
这种情况发生当且仅当前两局双方各胜1局，因此：
将 视为关于 的函数，其最大值出现在 处，最大值为：
实际意义是当甲、乙两队实力相当时，比赛打满3局的概率最大.
19．(1)(2)(3)
【详解】（1）由题意，，
当直线的斜率为1时，直线的方程为，设，
联立，得,
则，,
所以，即，
所以抛物线C的方程为.
（2）由（1）知，，
设，直线，
联立，可得，
则，
设直线，
联立，得，
则，，即，
同理可得，即，
又，且，
所以，
将，，代入得，
又，则，又，则.
（3）因为直线、的倾斜角分别为、，
所以，，
由，，，
则，
则，
若要使最大，则，设，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为．