河北省邯郸六校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份河北省邯郸六校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷（解析版），共8页。试卷主要包含了 已知，，，则．， 随机变量的分布列如下，且，则， 已知函数，，则， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】易知，
所以.
故选：A.
2. 的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为展开式中，，的系数分别为，
所以的展开式中，的系数为,故选B.
3. 在某次流感疫情爆发期间，A，B，C三个地区均爆发了流感，经调查统计A，B，C地区分别有的人患过流感，且A，B，C三个地区的人数的比为．现从这三个地区中随机选取一人，则此人患过流感的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】记事件D：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自A地区，
记事件F：此人来自B地区，记事件G：此人来自C地区，
则，且彼此互斥，
由题意可得，，，
，，，
由全概率公式可得
.
故选：A.
4. 男、女各3名同学排成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A 36B. 72C. 144D. 288
【答案】B
【解析】若第一排有2名男生，1名女生，则第一排女生只能站中间，第二排男生只能站中间，不同的排法种数为；
同理可得：若第一排有1名男生，2名女生，不同的排法种数为.
根据分类加法计数原理可知，不同的排法种数为.
故选：B.
5. 已知，，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,
即，解得.
故选：D.
6. 随机变量的分布列如下，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意可得解得
．
故选:C．
7. 袋中有2个红球，m个蓝球和n个绿球，若从中不放回地任取2个球，记取出的红球数量为X，则，且取出一红一蓝的概率为，若有放回地任取2个球，则取出一蓝一绿的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
，
故，故，即，
解得，所以.故若有放回地任取2个球，
则取出一蓝一绿的概率为
故选：B
8.已知定义在上的函数,是的导函数,满足,且，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令，则，
则当时，，即在上单调递减，
由，则，又，
即不等式等价于，
即，即有，解得.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，，则（ ）
A. 函数的图象关于原点对称；
B. 函数的图象关于轴对称；
C. 函数为单调减函数；
D. 曲线在点处的切线斜率为；
【答案】AD
【解析】定义域为，关于原点对称，
又，得，
所以函数为奇函数，故正确，错误；
，
故不是减函数，故C错误；
又，
所以，故D正确.
故选：AD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 被8整除的余数为1
D. 精确到的近似数为
【答案】ABD
【解析】对于A项，由二项式定理可知，
故A项正确；
对于B项，令得①，令得②，
所以①②可得，故B项正确；
对于C项，，
由此可得被8整除的余数为，故C项错误；
对于D项，
，
所以精确到的近似数为，故D项正确.
故选：ABD.
11. 已知某签盒内有2支不同的礼物签、6支不同的问候签，某寝室8位室友不放回地从该签盒中依次抽签，直到2支礼物签都被取出．记事件Ai表示“第i次取出的是礼物签”，，则下列结论正确的是（ ）
A. A1和A2是互斥事件B.
C. A2与A5不相互独立D.
【答案】BCD
【解析】显然事件A1和事件A2可能同时发生，故A错误；
由题意知，
故B正确；
，，
显然，A2与A5不相互独立，
故C正确；
又，故D正确．
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的有理项个数为______.
【答案】3
【解析】的展开式通项为
，
由可得.
故答案为：3.
13. 个人站成一排，其中甲站排头或排尾的条件下，乙、丙不相邻的概率为________.
【答案】
【解析】由题知，甲站排头或排尾的方法有种，
甲站排头或排尾且乙、丙不相邻的方法有种，
所以甲站排头或排尾的条件下，乙、丙不相邻的概率为.
故答案为：
14. 任意时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】，
令，则，故，
，故在R上单调递增，
所以，又，故，
令，，
，令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在上取得极小值，也是最小值，
其中，故.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）解不等式；
（2）计算：；（结果用数字表示）
解：（1）对于不等式，有，可得，
因为，所以，
即，可得，解得
又因为，解得；
（2）由题意可知：
.
16. 在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍.
（1）求n的值；
（2）求的展开式中的常数项；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项.
解：（1）依题意，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍，
即，
即，解得.
（2）二项式展开式的通项公式为，
令，解得，故常数项为.
（3）设第项的系数的绝对值最大，
则，即，解得且，则，
所以系数的绝对值最大值的项为第7项.
17. 某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军,决赛一共有文化､科技､体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立.
（1）求乙同学总得分为40分的概率；
（2）用表示甲同学的总得分，求的分布列与期望；
（3）判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大.
解：（1）设三个项目乙获胜的事件分别为，乙同学总得分40分记为事件，
则，
且
.
（2）由题可知
甲总得分的分布列：
.
（3）甲获胜的概率为，
乙获胜的概率为，
因为，
所以甲获胜概率更大.
18. 已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数，若函数在上为增函数，求实数a的取值范围.
解：（1）由题意得，，
当时，，函数在上单调递增；
②当时，令，解得，
，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
（2）因为函数在上为增函数，
所以，在上恒成立．
即在上恒成立．
令，当时，，
所以，在上单调递增，．
所以，，解得，
所以，实数的取值范围为．
19. 某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响.
（1）已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：
方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励.
方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励；
通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？
（2）若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率.
解：（1）若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为元，
则；
则，，，
所以，
若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为元，则；
则，
，
，所以
因为，
故选择方案一比较合适
（2）设“该同学抽取中奖”为事件，“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为，，，
则，，，
所以
，
故，
所以所求概率为.
0
1
2
0
20
40
60