山东省济宁市兖州区2024-2025学年高二下学期期中质量检测数学试卷（解析版）

这是一份山东省济宁市兖州区2024-2025学年高二下学期期中质量检测数学试卷（解析版），共8页。试卷主要包含了 已知， 已知是函数的极小值点，则， 函数的图象大致为等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知（，且），则（ ）
A. 28B. 42C. 43D. 56
【答案】A
【解析】,
.
故选:A.
2. 从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的方法数为（ ）
A. 18B. 24C. 30D. 36
【答案】D
【解析】由题意从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长的方法数有，
从3名女生中选2人分别担任班长和副部长的方法数有，
所以选出的2人中至少有一名男生方法数为.
故选：D.
3. 已知的展开式中的系数为17．则实数的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】根据题意，的展开式通项为，
所以的展开式中为：
，
则，解得.
故选：A
4. 某网红奶茶店“Chill Tea”在市中心有三个分店：A店、B店、C店.根据平台数据，顾客选择、、店的概率分别为30%、50%、20%.已知各分店高峰期制作时间超过15分钟的概率分别为：店20%、店40%、店30%.若小明随机选择一个分店下单，他等待超过15分钟的概率是（ ）
A. 28%B. 32%C. 35%D. 40%
【答案】B
【解析】由题意选择店并超时的概率为：；
选择店并超时的概率为：；
选择店并超时的概率为：；
所以等待超过15分钟的概率为，
故选：B
5. 已知是函数的极小值点，则（ ）
A. B. 0
C. D. 或
【答案】A
【解析】由函数，可得，
因为是函数的极小值点，可得，解得或，
当时，，此时函数在上单调递增，不符合题意，舍去；
当时，，
令，解得或；令，解得，
所以在上单调递增，在上点单调递减，
所以是函数的极小值点，符合题意，
所以，此时，所以.
故选：A.
6. 从这个数字中选个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被整除的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】从这个数字中选个数字组成没有重复数字的三位数：（个），三位数是的倍数，需要满足各个数位上的数之和是的倍数，有两种情况和；由 组成没有重复数字的三位数共有个，由组成没有重复数字的三位数共有 个，所以一共有：个，这个三位数被整除的概率是，故选D.
7. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】易知，因为，令，得，或，
则时，，时，，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
所以选项A符合题意,
故选：A.
8. 已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数的定义域为，
若时，由求导得，，
故当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
当时，，当时，；
若时，由求导得，，
因，故恒有，即在上单调递增，
且当时，，当时，，即时，恒有.
作出函数的大致图象如图所示.
又由可得或，
由图知有两个根，此时有2个零点；
要使函数恰有5个不同的零点，
需使有3个零点，由图知，需使，即，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，多选得0分
9. 中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山,西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山.小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则下列结论正确的是（ ）
A. 3人选择的地点均不同的方法总数为60
B. 恰有2人选一个地方的方法总数为15
C. 恰有1人选泰山的方法总数为48
D. 至少1人选泰山的方法总数61
【答案】ACD
【解析】对于A，3人选择的地点均不同的方法总数为，A正确；
对于B，恰有2人选一个地方的方法总数为，B错误；
对于C，恰有1人选泰山的方法总数为，C正确；
对于D，3人选择的方法总数为，没有人选择泰山的方法数为，
因此至少1人选泰山的方法总数，D正确.
故选：ACD
10. 甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】由题意知，，
，，
，，
，
.
故选：.
11. 已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列的结论正确的是（ ）
A.
B. 区间上单调递增
C. 当时，函数有极小值
D. 当时，函数有极小值
【答案】AC
【解析】由有，
由图可知的分布如图所示：
当时，，所以，所以在单调递增，
所以，即，所以，故A正确；
当时，，所以，
即在单调递减，B错误；
当时，，所以，由图可知当时，，
当时，，
所以在单调递减，在单调递增，所以是的极小值点，
故当时，函数有极小值，故C正确；
当时，，所以，
由图可知当时，，
所以，所以，所以在单调递增，
所以当时，函数有极大值，故D错误.
故选：AC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为，记该同学在本次期中考试中数学成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量，则______.
【答案】
【解析】由题意可得服从两点分布，故，
故.
故答案为：
13. 某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，已知甲同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为__________.
【答案】
【解析】设“整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建”这 5 个项目对应的编号分别为 ，则从五个项目中选三个的情况有：
，共 10 种情况，
其中甲选的项目中含 的有 ：6种情况 ，
其中再选择项目 的有 ：3种情况 ，
故甲参加的 3 个项目中有“整地做畦“，则他还参加“田间灌溉“项目的概率为 ．
故答案为：.
14. 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】 [方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为，所以方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，所以．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
设函数，则，
若，则在上单调递增，此时若，
则在上单调递减，在上单调递增，
此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知二项式，且满足.
（1）求值，并求二项式系数最大的项；
（2）求二项展开式中含项的系数；
解：（1）因为，即，整理得，
解得或（舍去），故.
所以展开式的通项
为（且），
则，故二项式系数的最大项为第项，为；
（2）令，
解得，
所以，
所以二项展开式中含项的系数为.
16. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.
（1）如果参加选拔的9名同学站成一排且男生不相邻共有多少种站队方法？
（2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
（3）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
解：（1）先安排4名女生，出现5个空位，再安排5名男生，
所以参加选拔的9名同学站成一排且男生不相邻共有
种方法；
（2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，包含两种情况，
第一种甲和乙都在内的选法有种，
第二种情况，甲乙选人，有种选法，
则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法；
（3）如果人中必须既有男生又有女生，先从所有人中选人，
去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法.
17. 化州市宏达广场的惠客多超市准备在2024年五一假期举办了一场有奖销售活动，并且设置一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有4种奖品供选择，每种奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从4种奖品中随机选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为．
（1）求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率；
（2）若有4位消费者均抽中三等奖，记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为，求随机变量的分布列．
解：（1）设事件为“甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择奖品不一样”，
由三等奖有4种奖品供选择，故甲、乙2位消费者的选择情况共有（种），其中2人最终选择的奖品不一样的情况有（种），
因为每位消费者抽中三等奖的概率均为，
所以，．
（2）由题，的所有可能取值为0，1，2，3，
由题知，4个人挑选了4种奖品，共有种情况，
表示4个人挑选了4种奖品，所以；
表示4个人挑选了3种奖品，故有2个人选中同一种奖品，
所以；
当表示4个人挑选了2种奖品，从4种奖品中选2种奖品的方法有（种），
对于被选中的2种奖品，4个人不同的选择方法有（种），
所以有2种奖品被选中的方法有（种），
所以，；
当表示4个人挑选了同一种奖品，
所以．
所以的分布列为
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程.
（2）若函数在处有极值，求函数的单调区间
（3）当时，求证.
解：（1）当时，，
则，
故，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
（2），
因为函数在处有极值，
所以，即，
解得，
此时，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
又，
所以时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
（3）法一：令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，当且仅当时取等号，..
故，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当时，等号成立，
当时，，所以；
法二：当时，，
故只需证明当时，.
当时，函数在上单调递增.
又，
故在上有唯一实根，
且.
当时，；当时，，
从而当时，取得最小值.
由得，
故.
综上，当时，.
19.定义：，是函数的两个极值点,若,则称为“M函数”.
（1）若为“M函数”，求m的取值范围.
（2）已知函数有两个极值点.
①求a的取值范围；
②证明：为“M函数”.
解：（1）由，求导可得，
令，解得，
由函数为“函数”，则，
可得，解得.
（2）①由，则，求导可得，
令，
由题意可得函数存在两个不同的变号零点，则，
令，解得，当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，所以，
由，令，
求导可得，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，则，
由，则当时，函数存在两个不同的变号零点，
可得，解得.
②由①可得，易知方程存在两个不相等的实数根，
设为，由①不妨设，
令，
求导可得，由，当且仅当时取等号，
则，
所以函数在上单调递增，由，
则当时，可得，
由，且函数在上单调递减，则，
可得；
由当时，，则函数在上单调递减，
由，则，所以，
要证，只需证，
由，则令，
求导可得，令，则，
所以函数在上单调递增，则当时，，即，
所以函数在上单调递增，则当时，，
所以不等式在上恒成立，可得，
综上所述，，所以函数为“函数”.
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2
3