苏科版2024七年级上册数学 七年级数学上册期末复习压轴题13个必考点（90题）（必考点分类集训）(原卷版+解析版)

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22930" 【考点1 与绝对值有关的压轴题】 PAGEREF _Tc22930 \h 1
\l "_Tc24281" 【考点2 与整式的加减有关的压轴题】 PAGEREF _Tc24281 \h 5
\l "_Tc31935" 【考点3 与一元一次方程的解有关的压轴题】 PAGEREF _Tc31935 \h 9
\l "_Tc20557" 【考点4 一元一次方程的实际应用压轴题】 PAGEREF _Tc20557 \h 13
\l "_Tc27283" 【考点5 与线段有关的计算压轴题】 PAGEREF _Tc27283 \h 19
\l "_Tc18141" 【考点6 数轴、线段中的动点压轴题】 PAGEREF _Tc18141 \h 26
\l "_Tc13022" 【考点7 与角度有关的计算压轴题】 PAGEREF _Tc13022 \h 38
\l "_Tc9644" 【考点8 角的旋转压轴题】 PAGEREF _Tc9644 \h 46
\l "_Tc15488" 【考点9 平行线性质综合探究题】 PAGEREF _Tc15488 \h 62
\l "_Tc12093" 【考点10 新定义问题】 PAGEREF _Tc12093 \h 75
\l "_Tc25223" 【考点11 日历与幻方问题】 PAGEREF _Tc25223 \h 81
\l "_Tc21144" 【考点12 数字规律问题】 PAGEREF _Tc21144 \h 86
\l "_Tc8008" 【考点13 图形规律问题】 PAGEREF _Tc8008 \h 90
【考点1 与绝对值有关的压轴题】
1．（2023秋•光山县校级期末）若1＜x＜2，则|x−2|x−2−|x−1|1−x+|x|x的值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．2D．1
【分析】在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号．
【解答】解：∵1＜x＜2，
∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，x＞0，
∴原式＝﹣1﹣（﹣1）+1＝1，
故选：D．
2．（2023秋•荔湾区期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a+b＜0，ac＜0，则下面四个结论：①abc＜0；②b+c＜0；③|a|﹣|b|＞0；④|a﹣c|＜|a|，其中一定成立的结论个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用有理数的加法，乘法法则判断即可．
【解答】解：∵a+b＜0，ac＜0，
∴a＜0，c＞0，b＞0且|a|＞|b|或b＜0，
∴abc＞0或abc＜0，选项①错误；
b+c＞0或b+c＜0，选项②错误；
|a|＞|b|，即|a|﹣|b|＞0，选项③正确；
|a﹣c|＞|a|，选项④错误，
其中一定成立的结论个数为1．
故选：A．
3．（2023秋•潮南区校级期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图，则|1﹣2c|+|c﹣2a|+2|a﹣2b|＝（ ）
A．1﹣4a+4b﹣cB．﹣1﹣4a+4b+3c
C．1+4b﹣3cD．1+4a﹣4b﹣3c
【分析】首先根据有理数a，b，c在数轴上的对应位置可以得到﹣1＜c＜0＜a＜b，然后就分别可以得到1﹣2c＞0，c﹣2a＜0，a﹣2b＜0，最后利用绝对值的性质即可化简．
【解答】解：依题意得
﹣1＜c＜0＜a＜b，
∴1﹣2c＞0，c﹣2a＜0，a﹣2b＜0，
∴|1﹣2c|+|c﹣2a|+2|a﹣2b|＝1﹣2c﹣（c﹣2a）﹣2（a﹣2b）＝1﹣2c﹣c+2a﹣2a+4b＝1﹣3c+4b．
故选：C．
4．（2023秋•抚州期末）适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（ ）
A．4个B．5个C．7个D．9个
【分析】此方程可理解为a到﹣5和3的距离的和，由此可得出a的值，继而可得出答案．
【解答】解：|a+5|表示a到﹣5点的距离，
|a﹣3|表示a到3点的距离，
因为﹣5到3点的距离为8，
故﹣5到3之间的所有点均满足条件，
又由a为整数，
故满足条件的a有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共9个，
故选：D．
5．（2023秋•忠县期末）如果有理数a，b，c满足|a+b+c|＝a+b﹣c，对于以下结论：①c＝0；②（a+b）c＝0；③当a，b互为相反数时，c不可能是正数；④当c≠0时，|a+b+c﹣2|﹣|5﹣c|＝﹣3．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据绝对值的性质，得出c＝0或a+b＝0，逐个判断出正确错误即可．
【解答】解：∵|a+b+c|＝a+b﹣c，
∴a+b+c＝a+b﹣c或﹣a﹣b﹣c＝a+b﹣c，
∴c＝0或a+b＝0，
∴（a+b）c＝0
故①不正确，②正确，
当a，b互为相反数时，
∵|a+b+c|＝a+b﹣c＝﹣c，
∴c≤0，
∴③正确，
当c≠0时，a+b＝0，c≤0，
|a+b+c﹣2|﹣|5﹣c|＝|c﹣2|﹣|5﹣c|＝2﹣c﹣5+c＝﹣3，
故④正确，
故选：C．
6．（2023秋•渝中区期末）已知abc＜0，a+b+c＝0，若x=|b+c|a+2|a+c|b−3|a+b|c，则x的最大值与最小值的乘积为（ ）
A．﹣24B．﹣12C．6D．24
【分析】根据abc＜0，a+b+c＝0判断出a、b、c只能是一负两正，然后分情况讨论：当a、b为正，c为负时；当a、c为正，b为负时；当b、c为正，a为负时；分别计算x的值，即可得出答案．
【解答】解：∵abc＜0，
∴a、b、c中一负两正或三负，
∵a+b+c＝0，
∴a、b、c不可能三负，只能是一负两正，
∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，
当a、b为正，c为负时，
x=|b+c|a+2|a+c|b−3|a+b|c
=|−a|a+2|−b|b−3|−c|c
=aa+2bb−−3cc
＝1+2+3
＝6；
当a、c为正，b为负时，
x=|b+c|a+2|a+c|b−3|a+b|c
=|−a|a+2|−b|b−3|−c|c
=aa+−2bb−3cc
＝1﹣2﹣3
＝﹣4；
当b、c为正，a为负时，
x=|b+c|a+2|a+c|b−3|a+b|c
=|−a|a+2|−b|b−3|−c|c
=−aa+2bb−3cc
＝﹣1+2﹣3
＝﹣2；
则x的最大值与最小值的乘积为6×（﹣4）＝﹣24，
故选：A．
7．（2023秋•武汉期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段AB＝|a﹣b|，如：数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点之间的距离为|x﹣（﹣1）|＝|x+1|．代数式|x+3|﹣|x﹣2|的最大值等于 ．
【分析】分x≤﹣3，﹣3＜x≤2，x＞2三种情况进行讨论，然后比较作答．
【解答】解：当x≤﹣3时，|x+3|﹣|x﹣2|＝﹣（3+x）+（x﹣2）＝﹣3﹣2＝﹣5．
当﹣3＜x≤2时，|x+3|﹣|x﹣2|＝x+3+（x﹣2）＝2x+1，当x＝2时，有最大值5，
当x＞2时，|x+3|﹣|x﹣2|＝x+3﹣（x﹣2）＝x+3﹣x+2＝5．
综上，|x+3|﹣|x﹣2|的最大值为5，
故答案为：5．
【考点2 与整式的加减有关的压轴题】
1．（2024•宁波校级期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m cm，宽为n cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．4m cmB．4n cmC．2（m+n） cmD．4（m﹣n） cm
【分析】本题需先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案．
【解答】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b，
∴L上面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a），
L下面的阴影＝2（m﹣2b+n﹣2b），
∴L总的阴影＝L上面的阴影+L下面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）＝4m+4n﹣4（a+2b），
又∵a+2b＝m，
∴4m+4n﹣4（a+2b），
＝4n．
故选：B．
2．（2023秋•儋州校级期末）三张大小不一的正方形纸片按如图①和图②方式分别放置于相同的大长方形中，它们既不重叠也无空隙，记图①阴影部分周长为m，图②阴影部分周长之和为n，则m与n的差（ ）
A．与正方形A的边长有关
B．与正方形B的边长有关
C．与正方形C的边长有关
D．与A，B，C的边长均无关
【分析】认真读懂题意，根据题意列代数式，化简整理代数式，判断正误．
【解答】解：设正方形A、B、C的边长分别为a、b、c，大矩形的面积为d，
根据题意得：m＝a+b+（a﹣b）+（d﹣b﹣c）+c+c+（d﹣c）+（d﹣a）＝a+3d﹣b，
n＝（d﹣b+b）×2+（d﹣b﹣c+c）×2＝4d﹣2b，
∴m﹣n＝a+3d﹣b﹣（4d﹣2b）＝a+b﹣d＝0，
∴m与n的差和正方形A，B，C的边长无关．
故选：D．
3．（2023秋•越秀区期末）已知A＝2x2+3xy﹣2x，B＝x2+xy+y，且A﹣2B的值与x的取值无关．若B＝5，则A的值是（ ）
A．﹣4B．2C．6D．10
【分析】计算A﹣2B后根据题意求得它的值，再由B＝5即可求得A的值．
【解答】解：A﹣2B
＝2x2+3xy﹣2x﹣2（x2+xy+y）
＝2x2+3xy﹣2x﹣2x2﹣2xy﹣2y
＝xy﹣2x﹣2y
＝（y﹣2）x﹣2y，
∵A﹣2B的值与x的取值无关，
∴y﹣2＝0，
∴y＝2，
∴A﹣2B＝0﹣4＝﹣4，
∵B＝5，
∴A﹣10＝﹣4，
∴A＝6，
故选：C．
4．（2023秋•沂源县期末）已知无论x，y取什么值，多项式（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）的值都等于定值12，则m+n等于（ ）
A．8B．﹣2C．2D．﹣8
【分析】直接去括号、合并同类项，进而得出3﹣n＝0，m+5＝0，进而得出答案．
【解答】解：（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）
＝3x2﹣my+9﹣nx2﹣5y+3
＝（3﹣n）x2﹣（m+5）y+12，
∵多项式（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）的值都等于定值12，
∴3﹣n＝0，m+5＝0，
解得：n＝3，m＝﹣5，
∴m+n＝﹣5+3＝﹣2．
故选：B．
5．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知4x2﹣6xy＝﹣6，3y2﹣2xy＝12，则式子2x2﹣xy﹣3y2的值是（ ）
A．8B．5C．﹣8D．﹣15
【分析】几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．由4x2﹣6xy＝﹣6知2x2﹣3xy＝﹣3，结合3y2﹣2xy＝12知（2x2﹣3xy）﹣（3y2﹣2xy）＝﹣3﹣12＝﹣15，去括号、合并同类项即可．
【解答】解：∵4x2﹣6xy＝﹣6，
∴2x2﹣3xy＝﹣3，
又∵3y2﹣2xy＝12，
∴（2x2﹣3xy）﹣（3y2﹣2xy）＝﹣3﹣12＝﹣15，
∴2x2﹣3xy﹣3y2+2xy＝﹣15，即2x2﹣xy﹣3y2＝﹣15，
故选：D．
6．（2023秋•襄城区期末）若多项式2x3﹣8x2+mx﹣1与多项式x3+（3m+1）x2﹣5x+7的差不含二次项，则它们的和等于 ．
【分析】先计算两个多项式的差，得出x3﹣[8+（3m+1）]x2+（m+5）x﹣8，根据题意得出8+（3m+1）＝0，即可求出m的值，从而求出这两个多项式的和．
【解答】解：由题意得，
（2x3﹣8x2+mx﹣1）﹣[x3+（3m+1）x2﹣5x+7]
＝2x3﹣8x2+mx﹣1﹣x3﹣（3m+1）2+5x﹣7
＝x3﹣[8+（3m+1）]x2+（m+5）x﹣8，
∵多项式2x3﹣8x2+mx﹣1与多项式x3+（3m+1）x2﹣5x+7的差不含二次项，
∴8+（3m+1）＝0，
解得m＝﹣3，
∴多项式2x3﹣8x2+mx﹣1为2x3﹣8x2﹣3x﹣1，多项式x3+（3m+1）x2﹣5x+7为x3﹣8x2﹣5x+7，
∴2x3﹣8x2﹣3x﹣1+x3﹣8x2﹣5x+7
＝3x3﹣16x2﹣8x+6，
故答案为：3x3﹣16x2﹣8x+6．
7．（2023秋•广州期末）已知A＝x2+xy﹣2x﹣3，B＝﹣x2+3xy﹣9．若3A﹣B的值等于﹣2，则代数式x2−32x+3的值是 ．
【分析】把A与B代入3A﹣B＝﹣2中，去括号合并求出2x2﹣3x的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵A＝x2+xy﹣2x﹣3，B＝﹣x2+3xy﹣9，
∴3A﹣B＝3（x2+xy﹣2x﹣3）﹣（﹣x2+3xy﹣9）＝3x2+3xy﹣6x﹣9+x2﹣3xy+9＝4x2﹣6x＝﹣2，
即2x2﹣3x＝﹣1，
则原式=12（2x2﹣3x）+3=−12+3＝212，
故答案为：212．
【考点3 与一元一次方程的解有关的压轴题】
1．（2023秋•郑州期末）若关于x的方程2x+1=12023x+a的解为x＝﹣3，则关于y的方程2（y﹣2）+1=12023(y−2)+a的解为（ ）
A．y＝﹣1B．y＝﹣2C．y＝﹣3D．不能确定
【分析】令y﹣2＝x，根据2x+1=12023x+a的解为x＝﹣3，即可求解．
【解答】解：令y﹣2＝x，则2(y−2)+1=12023(y−2)+a变形为2x+1=12023x+a，
∵关于x的方程2x+1=12023x+a的解为x＝﹣3，
∴y﹣2＝﹣3，
解得y＝﹣1，
故选：A．
2．（2023秋•陇县期末）已知关于x的方程x−2−ax6=x3−1有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．﹣6B．﹣7C．﹣14D．﹣19
【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案．
【解答】解：x−2−ax6=x3−1，
去分母，得6x﹣（2﹣ax）＝2x﹣6，
去括号，得6x﹣2+ax＝2x﹣6，
移项、合并同类项，得（4+a）x＝﹣4，
将系数化为1，得x=−44+a，
∵x=−44+a是非负整数解，
∴4+a取﹣1，﹣2，﹣4，
∴a＝﹣5或﹣6，﹣8时，x的解都是非负整数，
则﹣5+（﹣6）+（﹣8）＝﹣19，
故选：D．
3．（2023秋•广州期末）已知x＝3是关于x的方程(x3+1)+m(x−1)2=1的解，n满足关系式|m+n|＝2，则mn的值是 ．
【分析】把x＝3代入方程即可求出m的值，再将m的值代入|m+n|＝2中即可求出n的值，从而求出mn的值．
【解答】解：∵x＝3是关于x的方程(x3+1)+m(x−1)2=1的解，
∴(33+1)+(3−1)m2=1，
∴2+m＝1，
解得m＝﹣1，
∵|m+n|＝2，
∴|﹣1+n|＝2，
解得n＝﹣1或3，
∴mn＝1或﹣3，
故答案为：1或﹣3．
4．（2023秋•乌鲁木齐期末）已知a，b为定值，关于x的方程kx+a3=1−2x+bk6，无论k为何值，它的解总是1，则a+b＝ ．
【分析】把x＝1代入方程kx+a3=1−2x+bk6，得：k+a3=1−2+bk6，整理可得（2+b）k+2a﹣4＝0，再根据题意可得2+b＝0，2a﹣4＝0，进而可得a、b的值，从而可得答案．
【解答】解：把x＝1代入方程kx+a3=1−2x+bk6，得：
k+a3=1−2+bk6，
2（k+a）＝6﹣（2+bk），
2k+2a＝6﹣2﹣bk，
2k+bk+2a﹣4＝0，
（2+b）k+2a﹣4＝0，
∵无论k为何值，它的解总是1，
∴2+b＝0，2a﹣4＝0，
解得：b＝﹣2，a＝2．
则a+b＝0．
故答案为：0．
5．（2023秋•赤坎区校级期末）若关于x的方程3x2+ax+23=b有无数解，则2a+3b的值为 ．
【分析】先解方程得到（9+2a）x＝6b﹣4，再根据方程有无数解得到9+2a＝0，6b﹣4＝0，据此求出2a＝﹣9，3b＝2，然后代值计算即可．
【解答】解：3x2+ax+23=b，
去分母得：9x+2（ax+2）＝6b，
去括号得：9x+2ax+4＝6b，
移项得：9x+2ax＝6b﹣4，
合并同类项得：（9+2a）x＝6b﹣4，
∵关于x的方程3x2+ax+23=b有无数解，
∴关于x的方程（9+2a）x＝6b﹣4有无数解，
∴9+2a＝0，6b﹣4＝0，
∴2a＝﹣9，3b＝2，
∴2a+3b＝﹣9+2﹣＝﹣7，
故答案为：﹣7．
6．（2023秋•龙泉驿区期末）已知关于y的方程2+5y＝（b+5）y无解，关于x的方程5+ax＝2a有唯一解，则关于z的方程az＝b的解为 ．
【分析】根据题意，化简关于x、y的方程，推断出a、b情况，将条件代入关于z的方程，得出结果．
【解答】解：关于x的方程5+ax＝2a可以简化为：x=2a−5a，
∵关于x的方程5+ax＝2a有唯一解，
∴a≠0，
∵2+5y＝（b+5）y，
∴2+5y＝by+5y，
∴by＝2，
∴y=2b，
∵关于y的方程2+5y＝（b+5）y无解，
∴b＝0，
关于z的方程az＝b可以简化为：z=ba，
∵a≠0，b＝0，
∴z＝0．
故答案为：z＝0．
7．（2023秋•潮南区期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程4x＝8和x+1＝0为“集团方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣1＝x+8是“集团方程”，求m的值；
（2）若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值；
（3）若关于x的一元一次方程12022x+3=2x+k和12022x+1=0是“集团方程”，求关于y的一元一次方程12022(y+1)+3=2y+2+k的解．
【分析】（1）先表示两个方程的解，再求值．
（2）根据条件建立关于n的方程，再求值．
（3）先求k，再解方程．
【解答】解：（1）∵3x+m＝0，
∴x=−m3．
∵4x﹣1＝x+8，
∴x＝3．
∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣1＝x+8是“集团方程”，
∴−m3+3=1，
∴m＝6；
（2）∵“集团方程”的两个解和为1，
∴另一个方程的解是1﹣n，
∵两个解的差是6，且n为较大的解，
∴n﹣（1﹣n）＝6，
∴n=72．
（3）∵12022x+1=0，
∴x＝﹣2022．
∵关于x的一元一次方程12022x+3=2x+k和12022x+1=0是“集团方程”，
∴关于x的一元一次方程12022x+3=2x+k的解为：x＝1﹣（﹣2022）＝2023．
∵关于y的一元一次方程12022(y+1)+3=2y+2+k可化为：12022(y+1)+3=2(y+1)+k，令y+1＝x＝2023，
∴y＝2022．
【考点4 一元一次方程的实际应用压轴题】
1．（2023秋•宿城区期末）为迎接新年到来，光明中学开展制作“中国结”活动．七（1）班有m人，打算制作n个“中国结”．若每人做4个，则可比计划多做2个；若每人做2个，则将比计划少做58个，现有下列四个方程：
①4m﹣2＝2m+58；②4m+2＝2m﹣58；③n+24=n−582；④n−24=n+582．其中正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】根据题意可得：n＝4m﹣2，n＝2m+58，由n不变可得出4m﹣2＝2m+58，由m不变可得出n+24=n−582，此题得解．
【解答】解：根据题意得：n＝4m﹣2，n＝2m+58，
∴4m﹣2＝2m+58，n+24=n−582，
∴方程①③正确．
故选：A．
2．（2023秋•黄石港区期末）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下：
若某户2023年实际缴纳天然气费2463元，则该户2023年使用天然气 981 立方米．
【分析】根据“实际缴纳天然气费2463元”列方程求解．
【解答】解：当用天然气360立方米时，费用为：360×2＝720元，
当用天然气600立方米时，费用为：360×2+2.5×（600﹣360）＝1320元，
∵2463＞1320，
∴缴纳天然气费2463元，使用量大于600立方米，
设该户2023年使用天然气x立方米，
则：1320+3×（x﹣600）＝2463，
解得：x＝981，
故答案为：981．
3．（2024•东莞市校级模拟）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额．
注：500～1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同．
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为1000元的商品，则消费金额为800元，获得的优惠额为1000×（1﹣80%）+60＝260（元）．
（1）购买一件标价为1600元的商品，顾客获得的优惠额是多少？
（2）若顾客在该商场购买一件标价x元（x＞1250）的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？（用含有x的代数式表示）
（3）若顾客在该商场第一次购买一件标价x元（x＞1250）的商品后，第二次又购买了一件标价为500元的商品，两件商品的优惠额共为650元，则这名顾客第一次购买商品的标价为 2000 元．
【分析】（1）购买一件标价为1600元的商品，根据题中给出的数据可得消费金额为1280元，优惠额为：1600﹣1280+100＝420（元）除以标价就是优惠率；
（2）分两种情况：当1000＜0.8x≤1500时；当0.8x＞1500时；讨论可求该顾客获得的优惠额；
（3）设这名顾客第一次购买商品的标价为x元，两件商品的优惠额共为650元，然后就分情况：当1250＜x≤1875时；当x＞1875时；根据题意列出方程求解．注意解方程时要结合实际情况分析．
【解答】解：（1）标价为1600元的商品按80%的价格出售，消费金额为1280元，
消费金额1280元在1000﹣1500之间，返还金额为100元，
则顾客获得的优惠额是：1600﹣1280+100＝420（元）；
（2）当1000＜0.8x≤1500时，（0.2x+100）元；
当0.8x＞1500时，（0.2x+150）元；
（3）1500÷80%＝1875（元），
当1250＜x≤1875时，0.2x+100+500×0.2＝650，解得x＝2250不合题意；
当x＞1875时，0.2x+150+500×0.2＝650，解得x＝2000符合．
故这名顾客第一次购买商品的标价为2000元．
故答案为：2000．
4．（2023秋•鹤山市期末）晨光文具店分两次购进一款礼品盲盒共70盒，总共花费960元，已知第一批盲盒进价为每盒15元，第二批盲盒进价为每盒12元．（利润＝销售额﹣成本）
（1）求两次分别购进礼品盲盒多少盒？
（2）文具店老板计划将每盒盲盒标价20元出售，销售完第一批盲盒后，再打八折销售完第二批盲盒，按此计划该老板总共可以获得多少元利润？
（3）在实际销售中，该文具店老板在以（2）中的标价20元售出一些第一批盲盒后，决定搞一场促销活动，尽快把第一批剩余的盲盒和第二批盲盒售完，老板现将标价提高到40元/盒，再推出活动：购买两盒，第一盒七五折，第二盒半价，不单盒销售．售完所有盲盒后该老板共获利润710元，按（2）中标价售出的礼品盲盒有多少盒？
【分析】（1）设第一次购进礼品盲盒x盒，则第二次购进礼品盲盒（70﹣x）盒，利用总价＝单价×数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出第一次购进礼品盲盒的数量，再将其代入（70﹣x）中，即可求出第二次购进礼品盲盒的数量；
（2）利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，即可求出结论；
（3）设按（2）中标价售出的礼品盲盒有m盒，利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设第一次购进礼品盲盒x盒，则第二次购进礼品盲盒（70﹣x）盒，
根据题意得：15x+12（70﹣x）＝960，
解得：x＝40，
∴70﹣x＝70﹣40＝30．
答：第一次购进礼品盲盒40盒，第二次购进礼品盲盒30盒；
（2）根据题意得：20×40+20×0.8×30﹣960
＝800+480﹣960
＝320（元）．
答：按此计划该老板总共可以获得320元利润；
（3）设按（2）中标价售出的礼品盲盒有m盒，
根据题意得：20m+（40×0.75+40×0.5）•70−m2−960＝710，
解得：m＝16．
答：按（2）中标价售出的礼品盲盒有16盒．
5．（2023秋•新会区期末）安宁市的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，若经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；若经精加工后销售每吨获利7500元．当地一家农产品企业收购这种蔬菜140吨，该企业加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节条件限制，企业必须在15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕，企业研制了四种可行方案：
方案一：全部直接销售；
方案二：全部进行粗加工；
方案三：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售；
方案四：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成．
请通过计算以上四个方案的利润，帮助企业选择一个最佳方案使所获利润最多？
【分析】根据总利润＝单吨利润×销售质量即可求出方案一、二、三的利润，在方案四种，设精加工x吨食蔬菜，则粗加工（140﹣x）吨蔬菜，根据每天可精加工6吨或粗加工16吨结合加工总天数为15天即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，进而得出140﹣x的值，再根据总利润＝精加工部分的利润+粗加工部分的利润求出方案四的利润，将四种方案获得的利润比较后即可得出结论．
【解答】解：方案一可获利润：140×1000＝140000（元）；
方案二可获利润：4500×140＝630000（元）；
方案三可获利润：15×6×7500+（140﹣15×6）×1000＝725000（元）；
方案四：设精加工x吨食蔬菜，则粗加工（140﹣x）吨蔬菜，
根据题意得：x6+140−x16=15，
解得：x＝60，
∴140﹣x＝80．
此情况下利润为：60×7500+80×4500＝810000（元），
∵140000＜630000＜725000＜810000，
∴企业选择方案四所获利润最多．
6．（2023秋•枣阳市期末）某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A、B两种商品进行特价促销，已知购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多40元，购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同．
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）该网购平台从厂家购进了A、B两种商品共60件，所用资金为5800元，出售时，A种商品在进价的基础上加价20%进行标价；B商品按标价出售每件可获利20元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完共可获利多少元？
（3）在（2）的条件下，年货节期间，A商品按标价出售，B商品按标价先销售一部分商品后，余下的再按标价降价8元出售，A、B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了213，则B商品按标价售出多少件？
【分析】（1）设A种商品每件的进价是x元，根据购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同列出方程，解出可得结论；
（2）设购买A种商品a件，根据所用资金5800元可得购进A、B两种商品的件数，在根据两种商品的售价和进价可得总利润；
（3）设B商品按标价售出m件，根据等量关系A商品的利润+B商品的利润＝（2）中的利润×（1−213）列出方程，可得结论．
【解答】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣40）元，
由题意得2x＝3（x﹣40），
解得：x＝120，
120﹣40＝80（元）．
答：A种商品每件的进价是120元，B种商品每件的进价是80元；
（2）设购买A种商品a件，则购买B商品（60﹣a）件，
由题意得120a+80（60﹣a）＝5800，
解得a＝25，60﹣a＝35．
120×20%×25+20×35＝1300（元）．
答：全部售完共可获利1300元；
（3）设B商品按标价售出m件，
由题意得：120×20%×25+20m+（20﹣8）（35﹣m）＝1300×（1−213），
解得m＝10．
答：B商品按标价售出10件．
7．（2023秋•汉川市期末）新时代超市经销甲、乙两种商品，两种商品相关信息如表：
（1）以上表格中m，n的值分别为 75 ， 50% ；
（2）若该超市同时购进甲种商品数量是乙种商品数量的2倍少10件，且在正常销售情况下售完这两种商品共获利3050元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
（3）春节临近，该超市决定对甲、乙两种商品进行如下的优惠活动：
小华的爸爸一次性购买包含甲、乙两种商品共40件，按上述条件优惠后实付款恰好为2280元；求出小华的爸爸购买方案．
【分析】（1）利用甲种商品的利润率=售价−进价进价×100%，即可求出n的值，利用乙种商品的利润率=售价−进价进价×100%，可列出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的值；
（2）设购进乙种商品x件，则购进甲种商品（2x﹣10）件，利用总利润＝每件甲种商品的销售利润×购进甲种商品的数量+每件乙种商品的销售利润×购进乙种商品的数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出购进乙种商品的数量，再将其代入（2x﹣10）中，即可求出购进甲种商品的数量；
（3）设购买甲种商品y件，则购买乙种商品（40﹣y）件，分0＜y＜15，y＝15，15＜y＜25及y≥25四种情况考虑，利用总价＝单价×数量，结合总价为2280元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：n=60−4040×100%＝50%；
m−5050×100%＝50%，
解得：m＝75．
故答案为：75，50%；
（2）设购进乙种商品x件，则购进甲种商品（2x﹣10）件，
根据题意得：（60﹣40）（2x﹣10）+（75﹣50）x＝3050，
解得：x＝50，
∴2x﹣10＝2×50﹣10＝90（件）．
答：购进甲种商品90件，乙种商品50件；
（3）设购买甲种商品y件，则购买乙种商品（40﹣y）件．
当0＜y＜15时，60y+75×0.8（40﹣y）＝2400≠2280，不符合题意，舍去；
当y＝15时，60×15+75×0.88×（40﹣15）＝2550≠2280，不符合题意，舍去；
当15＜y＜25时，60×0.85y+75×0.88（40﹣y）＝2280，
解得：y＝24，
∴40﹣y＝40﹣24＝16（件）；
当y≥25时，60×0.85y+75（40﹣y）＝2280，
解得：y＝30，
∴40﹣y＝40﹣30＝10（件），
∴小华的爸爸共有2种购买方案，
方案1：购买甲种商品24件，乙种商品16件；
方案2：购买甲种商品30件，乙种商品10件．
【考点5 与线段有关的计算压轴题】
1．（2023秋•江岸区期末）如图，AB＝20cm，点C是线段AB延长线上一点，点M为线段AC的中点，在线段BC上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得4MN﹣NB＝40cm且BN＝kCN，则k的值为（ ）
A．2B．3C．2或3D．不能确定
【分析】设CN＝x cm，则BC＝（k+1）x cm，BN＝k x cm，根据线段中点的定义得到CM=12AC=20+(k+1)x2cm，则MN＝CM﹣CN＝（20+(k+1)x2−x）cm，再由4MN﹣NB＝40cm得到（k﹣2）x＝0，据此可得答案．
【解答】解：∵BN＝kCN，
∴BC＝（k+1）CN，
设CN＝x cm，则BC＝（k+1）x cm，BN＝k x cm，
∴AC＝AB+BC＝[20+（k+1）x]cm，
∵点M为线段AC的中点，
∴CM=12AC=20+(k+1)x2cm，
∴MN＝CM﹣CN＝（20+(k+1)x2−x）cm，
∵4MN﹣NB＝40cm，
∴4×（20+(k+1)x2−x）﹣kx＝40，
∴40+2（k+1）x﹣4x﹣kx＝40，
∴（2k﹣2﹣k）x＝0，
∴（k﹣2）x＝0，
∵x≠0，
∴k﹣2＝0，
∴k＝2，
故选A．
2．（2023秋•源汇区校级期末）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段AB的三等分点，D、E分别为线段AB、BC中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则AC＝ 132或13 ．
【分析】分两种情况讨论：当点C是线段AB靠近A的三等分点时和当点C是线段AB靠近B的三等分点时，分别求出即可．
【解答】解：当点C是线段AB靠近A的三等分点时，
设AC＝x，则AB＝3x，BC＝2x，
∵D、E分别为AB、BC中点，
∴AD＝DB＝1.5x，BE＝CE＝x，
∴CD＝AD﹣AC＝0.5x，DE＝DB﹣BE＝1.5x﹣x＝0.5x，
∵直线l上所有线段的长度之和为91，
∴AD+AB+AE+AC+CD+CE+CB+DE+DB+EB
＝（AD+DB）+（AC+BC）+（AE+EB）+（CD+DE+CE）+AB
＝4AB+2CE
＝4×3x+2x
＝14x
＝91，
∴x=132，
∴AC=132；
当点C是线段AB靠近B的三等分点时，
设BE＝x，
∵D、E分别为AB、BC中点，
∴BE＝CE＝x，BC＝2x，AC＝4x，AB＝6x，AD＝BD＝3x，CD＝DB﹣BC＝x，
∵直线l上所有线段的长度之和为91，
∴AD+AB+AE+AC+CD+CE+CB+DE+DB+EB
＝（AD+DB）+（AC+BC）+（AE+EB）+（CD+DE+CE）+AB
＝4AB+2DE
＝4×6x+4x
＝28x
＝91，
∴x=134，
∴AC＝13．
所以AC=132或13．
故答案为：132或13．
3．（2023秋•阜平县期末）如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，则把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”．
（1）若OM＝10，ON＝6，点P在线段 上（填“OM”或“ON”）；
（2）若ON＝8，OP＝3，则OM的长度为 ．
【分析】（1）先根据已知条件，求出OM+ON的值，然后根据已知条件中的定义进行解答即可；
（2）根据已知条件中的新定义可知OM+OP＝ON﹣OP，然后把已知条件中的线段代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵OM＝10，ON＝6，
∴OM+ON＝16，
∵点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”，
∴12(OM+ON)=12×16=8，
∴点P在线段OM上，
故答案为：OM；
（2）当点P在OM上时，
∵点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”，ON＝8，OP＝3，
∴OM+OP＝ON﹣OP，
OM+3＝8﹣3，
OM+3＝5，
OM＝2；
当点P在ON上时，
∵点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”，ON＝8，OP＝3，
∴OM﹣OP＝OP+ON，
OM﹣3＝8+3，
OM﹣3＝11，
OM＝14；
故答案为：2或14．
4．（2023秋•青山湖区校级期末）在同一直线上有A，B，C，D不重合的四个点，AB＝8，BC＝3，CD＝5，则AD的长为 ．
【分析】由于没有图形，故A，B，C，D四点相对位置不确定，分：点C在B的左侧、右侧，点D在C的左侧、右侧等，不同情况画图分别求解即可．
【解答】解：I．当点C在B的右侧，点D在C的左侧时，如图：
∵AB＝8，BC＝3，CD＝5，
∴AD＝AB+BC﹣CD＝8+3﹣5＝6，
II．当点C在B的右侧，点D在C的右侧时，如图：
∴AD＝AB+BC﹣CD＝8+3+5＝16，
III．当点C在B的左侧，点D在C的左侧时，如图：
∴AD＝AB﹣BC﹣CD＝8﹣3﹣5＝0，点A、D重合，不合题意，
IV．当点C在B的左侧，点D在C的右侧时，如图：
∴AD＝AB﹣BC+CD＝8﹣3+5＝10，点A、D重合，不合题意，
综上所述：AD的长为6或10或16
故答案为：6或10或16．
5．（2023秋•随县期末）如图，线段AB的长为a，点C为线段AB的中点，D为线段AB上一点，且AD=13BD．图中共有 条线段；若P为直线AB上一点，且PA+PB=1110a，则PDAB的值为 ．
【分析】先根据线段的定义写出所有的线段，然后统计条数即可解答，分点P在AB的延长线上和点P在BA的延长线上两种情况，分别运用线段的和差关系即可解答．
【解答】解：图中的线段有：AD，AC，AB，DC，DB，CB共6条线段，
故答案为：6；
∵点C为线段AB的中点，D为线段AB上一点，且AD=13BD，
∴BC=12AB=12a，AD=14AB=14a
∵PA+PB=1110a＞a，
∴点P在AB的延长线上和点P在BA的延长线，
如图：当点P在AB的延长线上时，则AP＝AB+BP＝a+BP，
∵PA+PB=1110a，
∴a+BP+PB=1110a，
解得：PB=120a，
∴PB=120a，
∴PD=AB+BP−AD=a+120a−14a=1620a，
∴PDAB=1620aa=1620=45；
如图：当点P在BA的延长线上时，则BP＝AB+AP＝a+AP，
∵PA+PB=1110a，
∴AP+a+AP=1110a，
解得：PA=120a，
∴PA=120a，
∴PD=PA+AD=120a+14a=310a，
∴PDAB=310aa=310．
故答案为：45或310．
6．（2023秋•安庆期末）如图，AB为一根长为40cm的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将AM、BN沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点A′、B′处（绳子无并性，折叠处的长度忽略不计）．
（1）当点A′与点B′恰好重合时，MN＝ cm．
（2）当A′B′＝10cm时，MN＝ cm．
【分析】（1）由折叠的性质得，AM＝A′M，BN＝B′N，根据当点A′与点B′恰好重合时，MN=12AB求解即可；
（2）分两种情况分别计算即可：当点A′落在点B′的左侧时，当点A′落在点B′的右侧时．
【解答】解：（1）由折叠的性质得，AM＝A′M，BN＝B′N，
∴当点A′与点B′恰好重合时，MN=A′M+B′N=12AB=20cm，
故答案为：20；
（2）当点A′落在点B′的左侧时，如图，
∵AM+A′M+A′B′+B′N+BN＝40cm，A′B′＝10cm，
∴AA′+BB′＝30cm，
由折叠的性质得，AM＝A′M，BN＝B′N，
∴A′M+B′N＝15cm，
∴MN＝MA′+A′B′+B′N＝25cm．
当点A′落在点B′的右侧时，如图，
∵AA′+BB′＝AB+A′B′＝40+10＝50（cm），
∴AM+BN=12AA′+12BB′=12(AA′+BB′)=12×50=25(cm)，
∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝40﹣25＝15（cm）．
故答案为：25或15．
7．（2023秋•黄冈期末）如图，将一段长为100cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B'处（点B'始终在点A右侧），在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为2：3：5，BN的值可能为 ．
【分析】首先根据线段的比例设出线段的长，再分三种情况分别列出方程可得答案．
【解答】解：设绳子三段的长分别为2x cm、3x cm和5x cm，两个断点分别为F、E，
则2x+3x+5x＝100，
解得x＝10．
①如图，
若AF＝3x，FE＝5x，EB＝2x，
由题意得N为EF的中点，
∴NE=12EF＝2.5x，
∴BN＝2.5x+2x＝4.5x＝45（cm）；
②如图，
若AF＝5x，FE＝3x，EB＝2x，
由题意得N为EF的中点，
∴NE=12EF＝1.5x，
∴BN＝1.5x+2x＝3.5x＝35（cm）；
③如图，
若AF＝5x，FE＝2x，EB＝3x，
由题意得N为EF的中点，
∴NE=12EF＝x，
∴BN＝x+3x＝4x＝40（cm）．
故答案为：35cm或40cm或45cm．
【考点6 数轴、线段中的动点压轴题】
1．（2023秋•青山区期末）已知，点O为数轴的原点，点A，B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为10，AB＝12，点C是数轴上原点左侧一点．
（1）若BC＝2OA．
①则点B表示的数是 ﹣2 ，点C表示的数是 ﹣22 ；
②点P，Q同时分别从点A、C出发向右运动，若点Q的速度比点P的速度的2倍少3个单位长度，运动3秒时，点O是线段PQ的中点，求点P的速度．
（2）点P、Q、R同时分别从点A、B、C出发向右运动，点P的速度为1个单位长度/秒，点Q的速度为3个单位长度/秒，点R的速度为3个单位长度/秒．若从线段QR的右端点到达原点O起，直至线段QR的左端点与点P重叠止，共用时523秒，请直接写出C点表示的数．
【分析】（1）①根据题意求出点B点C即可；
②由点P点Q互为相反数，列出方程即可解答；
（2）分两种情况列出相应的方程，解答即可；
【解答】解：（1）①∵A表示的数为10，AB＝12，
∴OB＝2，
∴点B表示的数是﹣2，
∵BC＝2OA＝20，
∴C表示的数是﹣22．
故答案为：﹣2，﹣22；
②设点P运动速度为t，则点Q运动速度为2t﹣3，
由题得，﹣22+3（2t﹣3）+10+3t＝0，
解得，t=73，
故点P的速度为73；
（2）设点C表示的数为x，
当点C在点B左侧时，
由题得，x+2+3×173=10+23+173，
解得，x=−83；
当点C在点B右侧时，
由题得，﹣2﹣x+3×173=10−x3+173，
解得，x＝﹣1．
故点C表示的数为−83或﹣1．
2．（2023秋•武昌区期末）数轴上点A表示的数是a（a＜0），点B表示的数是b（b＞0），点C是线段AB的中点．
知识准备：
因为点A表示的数是a（a＜0），点B表示的数是b（b＞0），则OA＝﹣a，OB＝b，所以AB＝OB+OA＝b+（﹣a）＝b﹣a．
因为点C是线段AB的中点，则BC=12AB=12(b−a)．
那么点C表示的数：
①当点C在原点右侧时，如图1，则OC=OB−BC=b−12(b−a)=a+b2，点C表示的数为a+b2．
②当点C在原点左侧时，如图2，则OC=BC−OB=12(b−a)−b=−a+b2，点C表示的数为−(−a+b2)=a+b2．
综上，点C表示的数为a+b2．
知识应用：若a＝﹣8，b＝10，如图3．
（1）点C表示的数为 1 ；
（2）线段DE在射线AB上运动，点D在点E的左边，点M是线段AD的中点，点N是线段BE的中点，DE＝4，求线段MN的长度；
（3）点P，Q为数轴上两动点，动点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当P，Q两点相遇后，PQ＝9时，动点P变为以5个单位长度/秒的速度向左匀速运动，动点Q保持原有的速度和方向不变．设运动时间为t秒，在动点P从点A出发后的整个运动过程中，当PQ＝6时，t＝ 2.4或4.8或6.9或12.9 ．
【分析】（1）根据中点公式求解；
（2）根据中点公式求解；
（3）根据两点之间的距离求解．
【解答】解：（1）−8+102=1，
故答案为：1；
（2）设点D表示的数为a，则点E表示的数为：a+4，
∴点M表示的数为−8+a2，点N表示的数为10+a+42=14+a2，
∴MN=14+a2−−8+a2=11，
答：线段MN的长度为11；
（3）当P，Q两点相遇后，PQ＝9时，（﹣8+2t）﹣（10﹣3t）＝9，
解得：t＝5.4，
当t＜5.4时，PQ＝6，即（﹣8+2t）﹣（10﹣3t）||＝6，
解得：t＝2.4或t＝4.8，
设经过5.4秒后的时间为x，
则|（﹣6.2﹣3x）﹣（2.8﹣5x）|＝6，
解得：x＝1.5或x＝7.5，
∴x+5.4的值为：6.9或12.9，
故答案为：2.4或4.8或6.9或12.9．
3．（2023秋•硚口区期末）A，B在数轴上，分别表示数m，n，且|m+17|+（n﹣15）2＝0．
（1）直接写出m的值是 ﹣17 ，n的值是 15 ，线段AB的长度是 32 ；
（2）如图1，PQ是一条定长的线段（点P在点Q的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段PQ完全经过点A（即点A在线段PQ上的这段过程）所需的时间为4秒，线段PQ完全经过线段AB（即线段PQ与线段AB有公共点的这段过程）所需的时间为20秒．
①求线段PQ的长；
②直接写出线段PQ运动的速度为 2 个单位长度/秒；
③如图2，当动线段PQ运动到Q点与A点重合时，与此同时，点C从P点出发，在动线段PQ上，以1个单位长度/秒的速度向Q点运动，遇到Q点后，点C立即原速返回，向P点运动，遇到P点后也立即原速返回，向Q点运动．设动线段PQ，以及点C同时运动的时间为t秒（0≤t≤20），当4PC﹣QB＝4时，求t的值．
【分析】（1）根据题意，可知m+17＝0，n﹣15＝0，即可算出m与n的值，线段AB用两点间的距离公式即可解出；
（2）①设PQ的长度为x，根据题目，我们知道x+32＝2x，解这个方程得x＝32，所以PQ的长度是32；
②根据题目直接计算即可；
③当t＝0时，点P对应的数是﹣17﹣8＝﹣25，本小题分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵|m+17|+（n﹣15）2＝0，
∴m＝﹣17，n＝15，
∴AB＝15﹣（﹣17）＝32，
故答案为：﹣17，15，32．
（2）①设PQ的长度为m，
根据题意得：m4=32+m20，
解得：m＝8，
∴线段PQ的长是8个单位长度；
②2；
③当t＝0时，点P对应的数是﹣17﹣8＝﹣25，本小题分三种情况讨论：
（Ⅰ）当0≤t≤8时，
点C对应的数是﹣25+（2+1）t＝3t﹣25，点P对应的数是﹣25+2t，
点Q对应的数是﹣17+2t，点B对应的数是15，
∴PC＝t，BQ＝32﹣2t，
∵4t﹣（32﹣2t）＝4，
解得：t＝6；
（Ⅱ）当8＜t≤16时，
点C对应的数是﹣1+（2﹣1）（t﹣8）＝t﹣9，点P对应的数是﹣25+2t，
点Q对应的数是﹣17+2t，点B对应的数是15，
∴PC＝16﹣t，BQ＝32﹣2t，
∵4PC﹣QB＝4，
∴4（16﹣t）﹣（32﹣2t）＝4，
解得：t＝14；
（Ⅲ）当16＜t≤20时，
点C对应的数是7+（2+1）（t﹣16）＝3t﹣41，点P对应的数是﹣25+2t，
点Q对应的数是﹣17+2t，点B对应的数是15，
∴PC＝t﹣16，BQ＝2t﹣32，
∵4PC﹣QB＝4，
∴4（t﹣16）﹣（2t﹣32）＝4，
解得：t＝18；
综上所述：t的值是6，14，18．
4．（2023秋•鄂州期末）情境背景
我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．A，B是数轴上的两点（点B在点A的右侧），点A表示的数为﹣15，A，B两点的距离AB是点A到原点O的距离OA的4倍，即AB＝4OA．
特例初探
（1）在情境背景下，数轴上点B表示的数是 45 ，点C为数轴上的动点，当AC+BC＝72时，可知点C表示的数为 ﹣21或51 ．
能力提升
（2）动点P，Q分别从点B和A同时出发向左匀速运动，点P，Q的速度分别为每秒7个单位长度和每秒3个单位长度．
①当点P与点Q之间的距离为4个单位长度时，求此时点P和点Q在数轴上所表示的数；
②设运动时间为t，点M为数轴上P、Q两点之间的动点，且点M始终满足PM：MQ＝1：3，点M在运动到点O的过程中，32PQ﹣OM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．
【分析】（1）根据两点间的距离公式求出点B表示的数，再分点C在点A的左侧或点C在点B的右侧两种情况，列方程即可求解；
（2）①设运动时间为x秒，分若点P与点Q相遇前相距4个单位长度和若点P与点Q相遇后相距4个单位长度两种情况，根据题意列方程即可得到结果；
②设点M表示的数为y，根据PM：MQ＝1：3，得y＝30﹣6t，从而表示出PQ和OM，即可证明结论．
【解答】解：（1）∵点A表示的数为﹣15，
∴OA＝15，
∵AB＝4OA，
∴AB＝60，
∵点B在点A的右侧，点A表示的数为﹣15，AB＝60，
∴点B表示的数为﹣15+60＝45，
设点C表示的数为x，
∵AB＝60＜72，
∴点C在点A的左侧或在点B的右侧，
当点C在点A的左侧，得AC＝﹣15﹣x，BC＝45﹣x，
∵AC+BC＝72，
∴（﹣15﹣x）+（45﹣x）＝72，
解得x＝﹣21，
∴点C表示的数为﹣21；
当点C在点B的右侧时，得AC＝x+15，BC＝x﹣45，
∵AC+BC＝72，
∴（x+15）+（x﹣45）＝72，
解得x＝51；
综上所述，当AC+BC＝72时，可知点C表示的数为﹣21或51；
故答案为45，﹣21或51；
（2）①设运动时间为x秒，
若点P与点Q相遇前相距4个单位长度，
依题意得，45﹣7x﹣（﹣15﹣3x）＝4，
解得x＝14，
则点P表示的数为﹣53，点Q表示的数为﹣57；
若点P与点Q相遇后相距4个单位长度，
依题意得，﹣15﹣3x﹣（45﹣7x）＝4，
解得x＝16，
则点P表示的数为﹣67，点Q表示的数为﹣63；
综上所述，若点P与点Q相遇前相距4个单位长度，点P表示的数为﹣53，点Q表示的数为﹣57；若点P与点Q相遇后相距4个单位长度，点P表示的数为﹣67，点Q表示的数为﹣63；
②32PQ−OM的值不发生变化，理由如下：
设点M表示的数为y，
依题意得，y﹣（﹣15﹣3t）＝3（45﹣7t﹣y），
解得y＝30﹣6t，
∵PQ＝（45﹣7t）﹣（﹣15﹣3t）＝60﹣4t，
∴32PQ−OM=32(60−4t)−(30−6t)=60，
∴32PQ−OM的值不发生变化，值为60．
5．（2024•济南模拟）【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b2．
【问题情境】
如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ﹣2+3t ；点Q表示的数为 8﹣2t ；
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ=12AB；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【分析】（1）根据题意直接可得t秒后，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t；
（2）根据题意得﹣2+3t＝8﹣2t，即可解得t＝2，故当t为2秒时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为4；
（3）由PQ=12AB得|﹣2+3t﹣（8﹣2t）|=12×10，即可解得t＝1或t＝3；
（4）由点M为PA的中点，点N为PB的中点，可知M表示的数是3t2−2，N表示的数是3+3t2，即得MN＝3+3t2−（3t2−2）＝5，故线段MN的长度为5，不发生变化．
【解答】解：（1）根据题意，t秒后，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
故答案为：﹣2+3t，8﹣2t；
（2）根据题意得：﹣2+3t＝8﹣2t，
解得t＝2，
此时﹣2+3×2＝4，
∴当t为2时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为4；
（3）∵点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，
∴AB＝8﹣（﹣2）＝10，
∵PQ=12AB，
∴|﹣2+3t﹣（8﹣2t）|=12×10，
解得t＝1或t＝3，
∴t为1或3时，PQ=12AB；
（4）线段MN的长度不发生变化，理由如下：
∵点M为PA的中点，点N为PB的中点，
∴M表示的数是3t2−2，N表示的数是−2+3t+82=3+3t2，
∴MN＝3+3t2−（3t2−2）＝5，
∴线段MN的长度为5，不发生变化．
6．（2023秋•荆门期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣2，b，8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.2cm，点C对齐刻度6.0cm．我们把数轴上点A到点C的距离表示为AC，同理，A到点B的距离表示为AB．
（1）在图1的数轴上，AC＝ 10 个长度单位；在图2中刻度尺上，AC＝ 6 cm；数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 0.6 cm；刻度尺上的1cm对应数轴上的 53 个长度单位；
（2）在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足CQ＝2AB，请通过计算，求b的值及点Q所表示的数；
（3）点M，N分别从B，C出发，同时向右匀速运动，点M的运动速度为5个单位长度/秒，点N的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为t秒（t＞0）．在M，N运动过程中，若AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，请直接写出符合条件的k的值．
【分析】（1）AC等于A、C两点对应的数相减的绝对值，观察图，可得AC，用AC在刻度尺上的数值除以数轴上AC的长度单位，可得数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 多少厘米，1厘米除以数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的厘米，即刻度尺上的1cm对应数轴上的多少长度单位；
（2）A到B在刻度尺上是1.2厘米，对应在数轴上有两个长度单位，可得b的值，由于CQ＝2AB，可以列式求得点Q所表示的数；
（3）根据AM﹣k•MN列出式子，AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，所以t的系数为0，可求得k的值．
【解答】解：（1）AC＝|8﹣（﹣2）|＝10，
刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，点C对齐刻度6.0cm，
∴在图2中刻度尺上，AC＝6cm，
6÷10＝0.6cm，
数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的0.6cm，
1÷0.6=53，
刻度尺上的1cm对应数轴上的53个单位长度，
故答案为：10，6，0.6，53；
（2）∵点B对齐刻度1.2cm，
∴数轴上点B所对应的数为b，b＝﹣2+1.2÷0.6＝0，
∵CQ＝2AB，AB＝|﹣2﹣0|＝2，
设点Q在数轴上对应的点为x，则CQ＝|8﹣x|，
∴|8﹣x|＝4，解得：x＝4或x＝12，
点Q所表示的数为4或12，
∴b的值是0，点Q所表示的数为4或12；
（3）由题意得，点M追上点N前，即t＜4，
AM＝AB+BM＝2+5t，k•MN＝k（BC+CN﹣BM）＝k（8+3t﹣5t）＝k（8﹣2t），
AM﹣k•MN＝2+5t﹣k（8﹣2t）＝2﹣8k+（5+2k）t，
∵AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，
∴5+2k＝0，
解得：k=−52，
点M追上点N后，即t＞4，
AM＝AB+BM＝2+5t，k•MN＝k（BM﹣CN﹣BC）＝k（5t﹣3t﹣8）＝k（2t﹣8），
AM﹣k•MN＝2+5t﹣k（2t﹣8）＝2+8k+（5﹣2k）t，
∵AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，
∴5﹣2k＝0，
解得：k=52，
7．（2023秋•恩平市期末）已知多项式3m3n2﹣8mn3﹣2中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为c，且a，b，c的值分别是点A、B、C在数轴上对应的数，点P从B点出发，沿数轴向右以1单位/s的速度匀速运动，点Q从点A出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发．
（1）求a（b﹣c）的值；
（2）若点Q运动速度为3单位/s，经过多长时间P、Q两点相距5？
（3）O是数轴上的原点，当点P运动在原点左侧上时，分别取OP和AC的中点EF，试问AP−OCEF的值是否变化，若变化，求出其范围；若不变，求出其值．
【分析】（1）根据题意可得a＝3，b＝﹣8，c＝﹣2即可求解；
（2）设经过t秒P．Q两点相距5，则BP＝t，AQ＝3t，然后分两种情况讨论：当点在点Q的左侧时和当点P在点Q的右侧时，即可求解；
（3）设OP＝m，则AP＝3+m，再根据中点的定义，可得OE=m2，OF=12，从而得到EF=12（m+1），即可求解．
【解答】解：（1）∵多项式3m3n2﹣8mn3﹣2中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为e，
∴a＝3，b＝﹣8．c＝﹣2，
∴a（b﹣c）
＝3×（﹣8+2）
＝3×（﹣6）
＝﹣18；
（2）设经过t秒P、Q两点相距5，
根据题意得：BP＝t，AQ＝3t，
当点在点Q的左侧，BP+PQ+AQ＝AB，
即t+5+3t＝3﹣（﹣8），
解得：t＝1.5，
当点在点Q的右侧时，BP+AQ﹣PQ＝AB，
即t+3t﹣5＝3﹣（﹣8），
解得：t＝4．
综上所述，经过1.5秒或4秒P、Q两点相距5；
（3）设OP＝m，
∴AP＝3+m，
∵点E为OP的中点，
∴OE=m2，
∵A对应的数为3，C对应的数为﹣2，AC的中点为F，
∴AF＝CF=12AC=52，
∴点F对应的数为：﹣2+52=12，OC＝2，
∴OF=12，
∴EF＝OE+OF=m2+12=12（m+1），
∴AP−OCEF=3+m−212(m+1)=m+112(m+1)=2，
∴AP−OCEF的值是不变，为2．
【考点7 与角度有关的计算压轴题】
1．（2023秋•武昌区期末）钟表是日常生活中的计时工具，我们观察钟表可以发现钟表中有许多数学内容．例如，我们可以思考在3时到5时之间，钟表上的时针与分针的夹角问题．从3时开始到5时之间，当经过t分钟后，钟表上的时针与分针刚好成110°的角，则t的值为 ．
【分析】时针t分钟转0.5°t，分针t分钟转6°t，3时时针与分针夹角为90°，分三种情况：①从3时开始，不到4时，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝110°，②4时后，若分针还没追上时针，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°﹣110°，③4时后，若分针已经追上时针，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°+110°，分别解方程可得答案．
【解答】解：时针t分钟转0.5°t，分针t分钟转6°t，3时时针与分针夹角为90°，
①从3时开始，不到4时，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝110°，
解得t=40011；
②4时后，若分针还没追上时针，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°﹣110°，
解得t=68011；
③4时后，若分针已经追上时针，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°+110°，
解得t=112011；
综上所述，t的值为40011或68011或112011；
故答案为：40011或68011或112011．
2．（2023秋•汉川市期末）钟表是我们日常生活中常见的计时工具，善于观察的小亮偶然发现在9时到10时之间的某一时刻时，时针与分针恰好重合了，则该时刻为9时 分．（要求取准确值）
【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，时钟的时针每小时转过的角是一份，即30°；分针每分钟转过的角是分，即×30°＝6°；九点钟，时针和分针呈270°，时针1分钟走0.5°，分针一分钟走6°设九点x分，重合，则有0.5x+270＝6x，即可解答．
【解答】解：九点钟，时针和分针呈270°，时针1分钟走0.5°，分针一分钟走6°，
设九点x分重合，则有：
0.5x+270＝6x．
x＝49111，
故答案为：49111．
3．（2023秋•东西湖区期末）射线OC为锐角∠AOB的三等分线，射线OD平分∠AOC，此时图中所有锐角度数之和为190°，则∠AOB的度数为 °．
【分析】根据射线OC是∠AOB的三等分线，则需要分∠AOC=13∠AOB以及∠AOC=23∠AOB，两种情况进行解决，每种情况都是6个锐角，然后设∠AOD的度数为x，分别表示这6个角，再求和列出方程求解即可解决．
【解答】解：①当∠AOC=13∠AOB时，如图①，图中锐角有：∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠DOC，∠DOB，∠COB，共6个．
设∠AOD＝x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝2x，∠DOC＝x，∠AOB＝6x，∠BOC＝4x，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝5x，
∴∠AOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC+∠DOB+∠COB＝x+2x+6x+x+5x+4x＝19x＝190°，
∴x＝10°，
∴∠AOB＝6x＝60°．
②当∠AOC=23∠AOB时，如图②，图中锐角有：∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠DOC，∠DOB，∠COB，共6个．
设∠AOD＝x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝2x，∠DOC＝x，∠AOB＝3x，∠BOC＝x，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝2x，
∴∠AOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC+∠DOB+∠COB＝x+2x+3x+x+2x+x＝10x＝190°，
∴x＝19°，
∴∠AOB＝3x＝57°．
综合以上两种情况，∠AOB＝60°或57°．
故本题答案为60或57．
4．（2023秋•鄂州期末）射线OA，OB，OC，OD是同一平面内互不重合的四条射线，∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，则∠COD的度数为 ．
【分析】分情况讨论：若∠AOD在∠AOB外部，则可分∠BOC在∠AOB外部和∠BOC在∠AOB内部两种情况；若∠BOC在∠AOB外部，同理可分∠BOC在∠AOB内部两种情况．分别画出对应图形，根据角的和差关系计算即可．
【解答】解：（1）当∠AOD在∠AOB外部时，
①如图，当∠BOC在∠AOB外部时，
∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，
∴∠COD＝∠BOC+∠AOB+∠AOD＝120°；
②如图，当∠BOC在∠AOB内部时，
∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝50°，
∴∠COD＝∠AOD+∠AOC＝100°．
（2）当∠AOD在∠AOB内部时，
①如图，当∠BOC在∠AOB外部时，
∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝10°，
∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝20°；
②当∠BOC在∠AOB内部时，
此时，射线OC与OD重合，不合题意．
综上，∠COD＝120°或100°或20°．
故答案为：120°或100°或20°．
5．（2024春•望花区期末）如图，已知△AOB＝35°，OD⊥OB，以O为顶点作射线OC，使∠AOC＝2∠AOB，则∠COD的度数为 ．（结果在0°∼180°之间）
【分析】根据题意，分两种情况：（1）OC在直线OA的下方；（2）OC在OD、OB之间．根据垂直定义，周角定义，角的和差计算即可．
【解答】解：（1）如图，当OC在直线OA的下方时，
∵∠AOB＝35°，∠AOC＝2∠AOB，
∴∠AOC＝2×35°＝70°．
∵OD⊥OB，
∴∠BOD＝90°．
∵∠COD+∠BOD+∠AOB+∠AOC＝360°，
∴∠COD＝360°﹣35°﹣70°﹣90°
＝325°﹣70°﹣90°
＝255°﹣90°
＝165°；
（2）如图，当OC在OD、OB之间时，
∵∠AOB＝35°，∠AOC＝2∠AOB，
∴∠BOC＝∠AOB＝35°．
∵OD⊥OB，
∴∠BOD＝90°，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC
＝90°﹣35°
＝55°．
故答案为：165°或55°．
6．（2023秋•随县期末）新定义：如果两个角的和为120°，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知∠AOB＝α（15°＜α＜45°），∠AOB与∠AOC互为“兄弟角”，∠AOB与∠AOD互余．
（1）如图，当点B在∠AOC的内部，且点B，点D在OA的同侧时：
①若∠BOC＝60°，则α＝ °．
②若∠AOE=13∠AOD，射线OM在∠AOC内部，且满足∠COM＝3∠AOM，求∠EOM的度数（用含α的式子表示）．
（2）直接写出∠COD所有可能的度数： （可用含α的式子表示）．
【分析】（1）①由“兄弟角”的定义可得∠AOC＝120°﹣α，再根据角的和差可得∠AOB＝60°﹣α，然后得到方程60°﹣α＝α即可解答；②先说明∠AOD＝90°﹣α，∠AOE=30°−13α，然后化成草图，再根据题意列方程求解即可；
（2）由余角的定义可得∠AOD＝90°﹣α，再由（1）可得∠AOC＝120°﹣α，然后根据角的和差即可解答．
【解答】解：（1）①∵∠AOB与∠AOC互为“兄弟角”，∠AOB＝α（15°＜α＜45°），
∴∠AOB+∠AOC＝120°，即∠AOC＝120°﹣α，
∵∠AOC＝∠BOC+∠AOB，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝120°﹣α﹣60°＝60°﹣α，
∵∠AOB＝α（15°＜α＜45°），
∴60°﹣α＝α，
解得：α＝30°．
故答案为：30．
②∵∠AOB与∠AOD互余，
∴∠AOD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣α，
∵∠AOE=13∠AOD，
∴∠AOE=30°−13α，
如图：
∴∠AOM＝∠AOE+∠EOM，∠AOC＝120°﹣α，∠AOE=30°−13α，
∴∠AOM=30°−13α+∠EOM，∠COM=120°−α−∠EOM−30°+13α=90°−23α−∠EOM，
∵∠COM＝3∠AOM，
∴90°−23α−∠EOM=3(30°−13α+∠EOM)，
解得：∠EOM=112α．
（2）
∵∠AOB与∠AOD互余，∠AOB＝α（15°＜α＜45°），
∴∠AOD＝90°﹣α，
由（1）可得∠AOC＝120°﹣α，
∴当OD在OA上面时，∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝30°，
当OD在OA下面时，
∠COD＝∠AOC+∠AOD＝90°﹣α+120°﹣α＝210°﹣2α．
故答案为：30°或210°﹣2α．
7．（2023秋•江海区期末）新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线．
（1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝ 40 °；
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．
①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝ 135 °；
②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数．
【分析】（1）根据题意可得：∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，进而得出答案；
（2）①由题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，根据∠AOC＝120°，得出∠AOP＝90°，∠BOQ＝45°，再求解即可；
②不变，根据题意得出∠COP=34∠AOC，∠COQ=34∠BOC，再代入即可得出答案；
③设∠MOC＝α，则∠NOC＝90°﹣α，根据题意得出∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，列出方程13α+α+90°−α+3(90°−α)=180°，求得∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，
∴∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，
∴∠AOP＝20°，
∴∠BOP＝40°，
故答案为：40；
（2）①∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB），
∴∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，
∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOP＝30°，∠BOQ＝15°，
∴∠COP＝90°，∠COQ＝45°，
∴∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°，
故答案为：135；
②不变，
∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB，
∴∠COP=34∠AOC，∠COQ=34∠BOC，
∴∠POQ＝∠COP+∠COQ，=34∠AOC+34∠BOC，=34(∠AOC+∠BOC)，=34∠AOB，=34×180°，＝135°；
③设∠MOC＝α，
∵∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣α，
∵OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，
∴∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，
∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°，
∴13α+α+90°−α+3(90°−α)=180°，
∴α＝67.5°，
∴∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，
∴∠AOC＝90°．
【考点8 角的旋转压轴题】
1．（2023秋•洪山区期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠COD：∠AOB＝1：7，∠COD是∠AOB补角的12（本题出现的角均指不大于平角的角）．
（1）如图1，求∠COD的值；
（2）在（1）的条件下，OC平分∠AOD，射线OM满足∠MOC＝4∠MOB，求∠MOB的大小；
（3）如图2，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒30°的速度顺时针旋转，同时射线OD以每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当射线OC与OB重合后，再以每秒5°的速度绕点O逆时针旋转．设射线OD，OC运动的时间为t秒（0＜t≤9），当|∠BOC﹣∠BOD|＝50°时，请直接写出t的值 3.5或359 ．
【分析】（1）根据“∠COD：∠AOB＝1：7，∠COD是∠AOB补角的12”列方程求解；
（2）根据“∠MOC＝4∠MOB及角的平分线的性质”列方程求解；
（3）根据“|∠BOC﹣∠BOD|＝50°”列方程求解．
【解答】解：（1）设∠COD＝x°，则∠AOB＝7x°，
则x=12（180﹣7x），
解得：x＝20，
∴∠COD＝20°；
（2）设∠MOB＝y°，
当OM在∠BOC内部时，有y+4y＝140﹣20，
解得：y＝24，
当OM在∠BOC外部时，有y+120＝4y或y﹣120＝4y，
解得：y＝40或y＝﹣40（不合题意，舍去），
∴∠MOB＝24°或40°；
（3）当OC转到与OB重合时需要的时间为：（140﹣30）÷30=113（秒），
当0≤t≤113时，∠BOC＝140°﹣30°﹣30°t＝110°﹣30°t，∠BOD＝140°﹣30°﹣20°﹣10°t＝90°﹣10°t，
∵|∠BOC﹣∠BOD|＝50°，
∴|（110°﹣30°t）﹣（90°﹣10°t）|＝50°，
解得：t＝3.5或t＝﹣1.5（不合题意，舍去），
当t＞113时，设又经过m秒，∠BOC＝5°m，∠BOD＝90°﹣10°（113+m），
∵|∠BOC﹣∠BOD|＝50°，
∴|5°m﹣[90°﹣10°（113+m）]|＝50°，
解得：m=29或m=629，
∵t＝m+113，
∴t的值为：359或959（不合题意，舍去），
故答案为：3.5或359．
2．（2023秋•江岸区期末）若∠A+2∠B＝90°，我们则称∠B是∠A的“绝配角”．例如：若∠1＝10°，∠2＝40°，则∠2是∠1的“绝配角”，请注意：此时∠1不是∠2的“绝配角”．
（1）如图1，已知∠AOB＝60°，在∠AOB内存在一条射线OC，使得∠AOC是∠BOC的“绝配角”，此时∠AOC＝ 30° ．（直接填写答案）
（2）如图2，已知∠AOB＝60°，若平面内存在射线OC、OD（OD在直线OB的上方），使得∠AOC是∠BOC的“绝配角”，∠BOC与∠BOD互补，求∠AOD大小．
（3）如图3，若∠AOB＝10°，射线OC从OA出发绕点O以每秒20°的速度逆时针旋转，射线OD绕点O从OB出发以每秒10°的速度顺时针旋转，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，运动时间为t秒（0＜t≤20）．
①当0＜t＜17时，∠AOB是∠MON的“绝配角”，求出此时t的值．
②当17＜t≤20时，t＝ 563 时，∠AOB是∠MON的“绝配角”（直接填写答案）．
【分析】（1）根据“绝配角”的定义，∠AOC是∠BOC的“绝配角”，那么2∠AOC+∠BOC＝90°，把相关数值代入计算即可；
（2）根据射线OC可能在∠AOB内部，射线OA上方，射线OB下方，分三种情况得到∠AOC的度数，然后根据∠BOC与∠BOD互补，得到∠BOD的度数，进而求得∠AOD大小；
（3）∠AOB是∠MON的“绝配角”，那么2∠AOB+∠MON＝90°，已知∠AOB的度数，即可求得∠MON的度数；
①当0＜t＜17时，可分当OC未转够180°以及超过180°，而未到340°两种情况，根据∠MON的度数求解即可；
②当17＜t≤20时，若t＝20，20×20°＝400°，射线OC旋转超过360°，20×10°＝200°，OD旋转超过180°，根据∠MON的度数求解即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，∠AOC是∠BOC的“绝配角”，
∴2∠AOC+∠BOC＝90°．
2∠AOC+（60°﹣∠AOC）＝90°，
∠AOC＝30°．
（2）①射线OC在∠AOB内部．
由（1）得∠AOC＝30°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝60°﹣30°＝30°．
∵∠BOC与∠BOD互补，
∴∠BOD＝180°﹣30°＝150°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝150°﹣60°＝90°．
②射线OC在射线OA上方．
∵∠AOB＝60°，∠AOC是∠BOC的“绝配角”，
∴2∠AOC+∠BOC＝90°．
2∠AOC+（60°+∠AOC）＝90°，
∠AOC＝10°．
∵∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝60°+10°＝70°．
∵∠BOC与∠BOD互补，
∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝110°﹣60°＝50°．
③射线OC在射线OB下方．
∵∠AOB＝60°，∠AOC是∠BOC的“绝配角”，
∴2∠AOC+∠BOC＝90°．
2∠AOC+（∠AOC﹣60°）＝90°，
∴∠AOC＝50°．
∵∠AOC＜∠AOB，
∴OC在∠AOB的内部，不符合题意，舍去．
答：∠AOD大小是90°或50°．
（3）∵∠AOB＝10°，∠AOB是∠MON的“绝配角”，
∴2∠AOB+∠MON＝90°，
20°+∠MON＝90°，
∠MON＝70°．
①Ⅰ、由题意得：∠AOC＝20t°，∠BOD＝10t°．
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM＝10t°，∠BON＝5t°．
当OC未转够180°，即0＜t＜9时，
如图：∠AOM+∠AOB+∠BON＝70°．
10t+10+5t＝70，
15t＝60，
t＝4．
Ⅱ、当OC旋转超过180°，即9≤t＜17时．
由题意得：OC转了20t°，∠BOD＝10t°．
∴∠AOC＝（360﹣20t）°
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM=12∠AOC＝（180﹣10t）°，∠BON＝5t°．
如图：∠AON﹣∠AOM＝∠MON．
∴（∠AOB+∠BON）﹣∠AOM＝70°．
∴（10+5t）﹣（180﹣10t）＝70，
10+5t﹣180+10t＝70，
15t＝240，
t＝16．
答：t的值为4或16．
②当17＜t≤20时，若t＝20，20×20°＝400°，射线OC旋转超过360°，20×10°＝200°，OD旋转超过180°．
OC转了20t°，OD转了10t°．
∴∠BOD＝（360﹣10t）°，∠AOC＝（20t﹣360）°．
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠BON=12∠BOD＝（180﹣5t）°，∠AOM=12∠AOC＝（10t﹣180）°．
∵∠BON﹣AOM﹣∠AOB＝∠MON，
∴（180﹣5t）﹣（10t﹣180）﹣10＝70．
280＝15t
t=563．
故答案为：563．
3．（2023秋•东西湖区期末）已知∠AOB＝40°．
（1）如图1，OC在∠AOB的内部，且∠AOC=13∠BOC，则∠BOC＝ 30° ；
（2）如图2，∠AOC＝20°，OM在∠AOB的内部，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；
（3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围内时，∠AON−14∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均大于0°且不超过180°）．
【分析】（1）根据角的数量关系求出∠BOC与∠AOB的关系，从而求得∠BOC的度数；
（2）设∠CON＝x°，根据角之间的数量关系表示出∠AON和∠COM，相加求和即可；
（3）设∠CON＝x°，根据角之间的数量关系表示出∠AON和∠BOM，得出代数式从而得解．
【解答】解：（1）∵∠AOC=13∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，
∴∠AOB=43∠BOC，
∵∠AOB＝40°，
∴∠BOC＝30°；
故答案为：30°；
（2）设∠CON＝x°，
∵3∠CON＝∠NOM，∠CON+∠NOM＝∠COM，
∴∠COM＝4∠CON＝4x°，
∵∠CON+∠AON＝∠AOC＝20°，
∴∠AON＝（20﹣x）°，
∴4∠AON+∠COM＝80°﹣4x+4x＝80°；
（3）当∠BOM＝180°时，t＝180÷5＝36s；
当∠COM＝180°时，t＝（180+20+40）÷5＝48s；
当∠AON＝180°时，∠CON＝180°﹣20°＝160°，此时，∠MOC＞180°，
∴ON不在左侧，即∠AON≠180°；
当ON和OA重合时，∠AOM＝3∠AOC＝60°，∠BOM＝20°，t＝（360﹣20）÷5＝68s；
当OC和OM重合时，t＝（20+40）÷5＝12s；
①当0≤t≤12时，∠BOM＝5t°，∠COM＝（60﹣5t）°，
∴∠CON=14∠COM＝（15−54t）°，
∴∠AON＝∠AOC﹣∠CON＝（54t+5）°，
∴∠AON−14∠BOM=54t+5−54t＝5°，为定值；
②当12＜t≤36时，∠BOM＝5t°，∠COM＝（5t﹣60）°，
∴∠CON＝（54t﹣15）°，
∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝（54t+5）°，
∴∠AON−14∠BOM=54t+5−54t＝5°，为定值；
③当36≤t≤48时，∠BOM＝（360﹣5t）°，∠COM＝（5t﹣60）°，
∴∠CON＝（54t﹣15）°，
∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝（54t+5）°，
∴∠AON−14∠BOM=54t+5﹣450+54t=52t﹣445，不是定值；
④当48＜t＜68时，∠BOM＝（360﹣5t）°，∠COM＝∠BOM+60°＝（420﹣5t）°，
∴∠CON＝（105﹣1.25t）°，
∴∠AON＝∠CON﹣∠AOC＝（85﹣1.25t）°，
∴∠AON−14∠BOM＝85﹣1.25t﹣90+1.25t＝5°，为定值；
⑤当68＜t＜72时，∠BOM＝（360﹣5t）°，∠COM＝∠BOM+60°＝（420﹣5t）°，
∴∠CON＝（105﹣1.25t）°，
∴∠AON＝∠AOC﹣∠CON＝（1.25t﹣85）°，
∴∠AON−14∠BOM＝1.25t﹣85﹣90+1.25t＝2.5t﹣175，不是定值；
综上所述，当0＜t≤36或48＜t＜68时，∠AON−14∠BOM会为定值5°．
4．（2023秋•云梦县期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝120°，∠COD＝20°．（本题中研究的角的度数均小于180°）
（1）如图1，求∠AOD+∠COB的大小；
（2）如图2，OM平分∠COB，ON平分∠AOD，求∠NOM的大小．
（3）如图3，若∠AOC＝30°，射线OC、OD同时绕点O旋转，其中射线OC先以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；射线OD始终以每秒20°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OC、OD运动的时间是t秒（0＜t≤15），当∠COD＝80°时，直接写出t的值．
【分析】（1）根据∠AOD+∠COB＝∠AOB+∠COD，计算求解即可；
（2）由角平分线可知，∠AON=12∠AOD，∠BOM=12∠COB，根据∠NOM=∠AOB−∠AON−∠MOB=∠AOB−12(∠AOD+∠COB)，计算求解即可；
（3）由∠AOC＝30°，∠AOB＝120°，可得∠BOC＝90°，∠BOD＝70°，当OC未到达OB时（0＜t＜9），如图1，∠C′OD′＝80°，则∠DOD′+∠COD﹣∠COC′＝80°，即20°t+20°﹣10°t＝80°，计算求解即可；当OC到达OB后返回时（9≤t≤15），如图2，∠C′OD′＝80°，则∠BOD′﹣∠BOC′＝80°，即[360°﹣（20°t﹣70°）]﹣15°（t﹣9）＝80°，计算求解即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，∠COD＝20°，
∴∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠BOD+∠COD＝∠AOB+∠COD＝140°，
∴∠AOD+∠COB＝140°；
（2）∵OM平分∠COB，ON平分∠AOD，
∴∠AON=12∠AOD，∠BOM=12∠COB，
∴∠NOM=∠AOB−∠AON−∠MOB=∠AOB−12(∠AOD+∠COB)=50°，
∴∠NOM＝50°；
（3）∵∠AOC＝30°，∠AOB＝120°，∠COD＝20°，
∴∠BOC＝90°，∠BOD＝70°，
当OC未到达OB时（0＜t＜9），如图1，∠C′OD′＝80°，则∠DOD′＝20t，∠COC′＝10t，
∴∠DOD′+∠COD﹣∠COC′＝80°，即20°t+20°﹣10°t＝80°，
解得t＝6；
当OC到达OB后返回时（9≤t≤15），如图2，∠C′OD′＝80°，则∠BOD′＝360°﹣（20°t﹣70°），∠BOC′＝15°（t﹣9），
∴∠BOD′﹣∠BOC′＝80°，即[360°﹣（20°t﹣70°）]﹣15°（t﹣9）＝80°，
解得t=1367，
综上，t的值为6或1367．
5．（2023秋•咸安区期末）如图1，在直线MN上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点O，∠AOB＝60°，∠OCD＝45°，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度顺时针方向转动，设转动时间为t秒．
（1）如图2，若OC平分∠MOB，则t的最小值为 5 ；此时∠DOB﹣∠MOC＝ 30 度；（直接写答案）（2）当三角板COD转动如图3的位置，此时OC、OD同时在直线OB的右侧，猜想∠DOB与∠MOC有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含t）
（3）若当三角板COD开始转动的同时，另一个三角板OAB也绕点O以每秒3°的速度顺时针转动，当OC旋转至射线ON上时，两三角板同时停止运动：
①当t为何值时，∠BOC＝15°；
②在转动过程中，请写出∠DOB与∠MOC的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含t）
【分析】（1）可得出∠COM＝30°，∠BOD＝60°，进而得出结果；
（2）可得出∠BOD＝∠BOC+∠COD＝∠BOC+90°，∠BOC＝∠COM﹣∠AOB＝∠COM﹣60°，从而得出∠BOD＝∠COM﹣60°+90°＝∠COM+30°；
（3）①当OC在∠BOM内部时，由∠BOM＝60°+3t，∠COM＝6t，∠BOC＝∠BOM﹣∠COM得出60°+3t﹣6t＝15°，进而得出结果；当OC在∠BOM外部时，由∠COM＝6t，∠BOM＝60°+3t，∠BOC＝∠COM﹣∠BOM得出6t﹣（60°+3t）＝15°，从而得出结果；
②由∠COM＝6t，∠BOD＝∠COM+90°﹣（60°+3t）＝3t+30°得出∠BOD=12∠COM+30°．
【解答】解：（1）如图1，
∵OC平分∠MOB，
∴∠COM=12∠BOM=12×60°=30，
∴t=306=5，
此时∠BOD＝60°，
∴∠DOB﹣∠COM＝30°，
故答案为：5，30；
（2）如图2，
∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝∠BOC+90°，∠BOC＝∠COM﹣∠AOB＝∠COM﹣60°，
∴∠BOD＝∠COM﹣60°+90°＝∠COM+30°；
（3）①如图3，
当OC在∠BOM内部时，
∵∠BOM＝60°+3t，∠COM＝6t，∠BOC＝∠BOM﹣∠COM，
∴60°+3t﹣6t＝15°，
∴t＝15，
如图4，
当OC在∠BOM外部时，
∵∠COM＝6t，∠BOM＝60°+3t，∠BOC＝∠COM﹣∠BOM，
∴6t﹣（60°+3t）＝15°，
∴t＝25，
综上所述：t＝15或25；
②如图5，
∵∠COM＝6t，∠BOD＝∠COM+90°﹣（60°+3t）＝3t+30°，
∴∠BOD=12∠COM+30°．
6．（2023秋•广水市期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：3，将一直角△MON的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．绕点O顺时针旋转△MON，其中旋转的角度为α（0＜α＜360°）．
（1）将图1中的直角△MON旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时α为 270 度；
（2）将图1中的直角△MON旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）在上述直角△MON从图1旋转到图3的位置的过程中，若直角△MON绕点O按每秒25°的速度顺时针旋转，当直角△MON的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时直角△MON绕点O的运动时间t的值．
【分析】（1）根据∠MON的度数，可得ON旋转的度数，可得答案；
（2）根据∠AOC：∠BOC＝1：3，可得∠AOC的度数，根据角的和差，可得∠AON与∠CON的关系，再根据∠AON与∠AOM的关系，可得答案；
（3）分类讨论，ON在∠AOC的平分线上，ON的反向延长线平分∠AOC，可得相应的旋转角，根据旋转的速度，可得旋转的时间．
【解答】解：（1）将图1中的直角△MON旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时α为 270度，
故答案为：270；
（2）解：∠AOM﹣∠NOC＝45°，理由如下：
∵∠AOC：∠BOC＝1：3，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝45°，∠BOC＝135°，
∴∠AON+∠NOC＝45°，∠AON＝45°﹣∠NOC
∵∠MON＝90°，
∴∠AON+∠AOM＝90°．
∴45°﹣∠NOC+∠AOM＝90°，
即∠AOM﹣∠NOC＝45°．
（3）解：①当ON平分∠AOC时，由（2）可知：∠AOC＝45°，
∴∠AON+∠NOC＝45°．
∵ON平分∠AOC，
∴∠AON＝∠NOC＝22.5°，
∵∠MON＝90°，
∴旋转角度为：90°+22.5°＝112.5°，
∴t=112.525=4.5s．
②当ON的反向延长线平分∠AOC时，旋转112.5°的基础上，再旋转180°，
∴旋转角度为：112.5°+180°＝292.5°．
∴t=292.525=11.7s．
综上所述：t＝4.5s或t＝11.7s．
7．（2023秋•海珠区期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠BON的度数．
（2）将图1中三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，同时射线OP从OC开始绕点O以每秒2°的速度沿顺时针方向旋转，当三角板停止运动时，射线OP也停止运动．设旋转时间为t秒．
①在运动过程中，当∠POM＝40°时，求t的值．
②当40＜t＜54时，在旋转的过程中∠CON与∠AOM始终满足关系m∠CON+∠AOM＝n°（m，n为常数），求m+n的值．
【分析】（1）根据角平分线的定义以及直角的定义，即可求得∠BON 的度数；
（2）①分四种情况，作出相应图形列方程求解即可；
②在①的条件下，当40＜t＜54时，在旋转的过程中∠CON与∠AOM始终满足关系m∠CON+∠AOM＝n°，（m，n为常数），求m+n的值．
【解答】解：（1）如图2中，∵OM平分∠BOC
∴∠BOM＝∠COM=12∠BOC＝55°，
∴∠BON＝90°﹣55°＝35°；
（2）①分四种情况：5t+2t+40＝110①
解得 t＝10；
或5t+2t﹣110＝40，
解得t=1507；
或5t﹣110+2t+40＝360，
解得t=4307；
或5t﹣110+2t﹣40＝360，
解得t=5107（舍）．
综上所述，满足条件的T的值为10或1507或4307；
②设旋转时间为t秒，当t＝40时，ON与OC重合，当t＝54时，ON与OA重合，
当40＜t＜54时，如图：
由已知可得：∠CON＝5°t﹣200°，∠AOM＝5°t﹣180°，
∵m∠CON+∠AOM＝n°，
∴m（5°t﹣200°）+5°t﹣180°＝n°，
∴（5°m+5°）t﹣200°m﹣180°＝n°，
∵在旋转的过程中∠CON与∠AOM始终满足关系m∠CON+∠AOM＝n°，
∴5°m+5°＝0，
解得m＝﹣1，
∴﹣200°m﹣180°＝n°，
解得n＝20，
∴m+n＝﹣1+20＝19．
∴m+n的值是19．
【考点9 平行线性质综合探究题】
1．（2023秋•温江区校级期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN．
（1）如图2，现将三角板ABC绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，三角板DEF不动，设旋转时间为t秒，当第一次旋转到BC∥EF时，t的值是多少？
（2）若三角板ABC不动，而三角板DEF绕点D以每秒1.5°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当第一次旋转到DE∥BC时，t的值是多少？
（3）若三角板ABC绕点A以每秒3°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒5°的速度顺时针旋转，设时间为t秒（0＜t＜70），若边BC与三角板DEF的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值．
【分析】（1）设直线BC与MN，GH分别交于P，Q，根据平行线的性质得到∠DFG＝∠AQP＝∠NPQ＝45°，再利用外角的性质求出∠BAQ，再除以速度可得时间；
（2）延长BC交MN于点P，根据平行线的性质得到∠1＝∠2＝∠ABC＝60°，再表示出∠2，得到方程，解之即可；
（3）分BC∥DE，BC∥DF，表示出相应角，利用平行线的性质，三角形内角和与外角的性质得到方程，解之即可得到t值．将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN．
【解答】解：（1）如图，BC∥EF，
设直线BC与MN，GH分别交于P，Q，
∴∠DFG＝∠NPQ＝45°，
∵GH∥MN，
∴∠AQP＝∠NPQ＝45°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAQ＝∠ABC﹣∠AQP＝15°，
∴t=152=7.5；
（2）如图，延长BC交MN于点P，
∵GH∥MN，
∴∠1＝∠ABC＝60°．
∵DE∥BC，
∴∠2＝∠1＝60°，
∵∠3＝1.5t°，∠EDF＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠EDF﹣∠3＝（90﹣1.5t）°，
∴90﹣1.5t＝60，
∴t＝20；
（3）如图，当BC∥DE时，
设直线BC与MN，GH分别交于P，Q，
此时∠MDF＝5t，∠BAQ＝3t，
∴∠NDE＝∠NPQ＝180°﹣90°﹣5t＝90°﹣5t，
∵GH∥MN，
∴∠NPQ＝∠AQB＝90°﹣5t，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAQ+∠AQB＝60°，即90°﹣5t+3t＝60°，
解得：t＝15；
如图，当BC∥DF时，
延长CB，AB，分别与MN交于P，Q，
此时，∠PDF＝5t﹣180°，∠HAQ＝3t，
∴∠CPD＝∠PDF＝5t﹣180°，
∵GH∥MN，
∴∠HAQ+∠AQP＝180°，即∠AQP＝180°﹣∠HAQ＝180°﹣3t，
∵∠ABC＝∠PBQ＝60°，∠PBQ+∠AQP+∠CPD＝180°，
∴60°+180°﹣3t+5t﹣180°＝180°，
解得：t＝60；
综上：所有满足条件的t的值为15或60．
2．（2023秋•长治期末）综合与探究：
已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点P在AB，CD之间，连接PE，PF．
（1）如图1，若∠AEP＝45°，∠EPF＝80°，求∠PFC的度数．
（2）如图2，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，猜想∠EPF与∠EQF之间有何数量关系？并说明理由．
（3）如图3，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，猜想∠EPF与∠EQF之间有何数量关系？并说明理由．
【分析】（1）过点P作PM∥AB，根据平行公理的推论、平行线的性质可得∠1＝∠AEP，∠2＝∠PFC，从而得到∠EPF＝∠AEP+∠PFC，代入数据计算即可；
（2）由（1）中的结论得∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∠EQF＝∠AEQ+∠CFQ，根据角平分线的定义得∠AEP＝2∠AEQ，∠CFP＝2∠CFQ，可得结论；
（3）由（1）中的结论和邻补角的定义得∠EPF与∠EQF的数量关系．
【解答】解：（1）如图，过点P作PM∥AB，
∴∠AEP＝∠1，
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠2＝∠PFC，
∴∠EPF＝∠AEP+∠PFC，
∵∠AEP＝45°，∠EPF＝80°，
∴∠PFC＝∠EPF﹣∠AEP＝80°﹣45°＝35°，
∴∠PFC的度数为35°；
（2）∠EPF＝2∠EQF，
理由：由（1）可知：∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∠EQF＝∠AEQ+∠CFQ，
∵EQ，FQ分别平分∠AEP，∠CFP，
∴∠AEP＝2∠AEQ，∠CFP＝2∠CFQ，
∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP＝2∠AEQ+2∠CFQ＝2（∠AEQ+∠CFQ）＝2∠EQF，
∴∠EPF＝2∠EQF；
（3）2∠EQF+∠EPF＝360°，
理由：由（1）可知：∠EQF＝∠AEQ+∠CFQ，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，
∵EQ，FQ分别平分∠AEP，∠CFP，
∴∠AEP＝2∠AEQ，∠CFP＝2∠CFQ，
∴2∠EQF＝2∠AEQ+2∠CFQ＝∠AEP+∠CFP，
∴2∠EQF+∠EPF＝∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP＝360°，
∴2∠EQF+∠EPF＝360°．
3．（2024春•宁江区校级月考）
（1）如图①，若AB∥CD，易证∠B+∠D＝∠E．不必证明．
（2）反之，在图①中，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请说明理由．
（3）若将点E移至图②的位置，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？请说明理由．
（4）在图③中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？（直接写出结论即可）
（5）如图④，AB∥EF，直接写出∠B+∠C+∠D+∠E＝ 540°． ．
【分析】（1）过E点作AB∥EF，由平行线的性质可知∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，再由角之间的关系即可得出结论；
（2）过E点作AB∥EF，由平行线的性质可知∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，再由平行线之间的关系即可得出结论；
（3）过点E作AB∥EF，由平行线的性质可知∠B+∠BEF＝180°，∠D+∠DEF＝180°，再由角之间的关系即可得出结论；
（4）过点F作AB∥FM，用（1）的结论可知∠E＝∠B+∠EFM，∠G＝∠GFM+∠D，再由角之间的关系即可得出结论；
（5）分别过点C和点D作AB∥CM和AB∥DN，由平行线的性质可知∠B+∠BCM＝180°，∠NDE+∠DEF＝180°，∠NDC+∠MCD＝180°，再由角之间的关系即可得出结论．
【解答】（1）证明：过E点作AB∥EF，如图所示：
∵AB∥EF，
∴∠B＝∠BEF，
∵AB∥EF∥CD，
∴∠D＝∠DEF，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D；
（2）解：AB∥CD，过E点作AB∥EF，如图所示：
∵AB∥EF，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠B+∠D＝∠BED＝∠BEF+∠DEF，
∴∠D＝∠DEF，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD；
（3）解：AB∥EF，过E点作AB∥EF，如图所示：
∵AB∥EF，
∴∠B+∠BEF＝180°，
∵AB∥EF∥CD，
∴∠D+∠DEF＝180°，
∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF＝180°+180°＝360°，
∴∠B+∠D+∠E＝360°；
（4）解：∠E+∠G＝∠B+∠D+∠F，过点F作AB∥FM，如图所示：
∵AB∥FM，结合（1）结论，
∴∠E＝∠B+∠EFM，
∵FM∥AB∥CD，结合（1）结论，
∴∠G＝∠GFM+∠D，
∵∠EFG＝∠EFM+∠GFM，
∴∠E+∠G＝∠B+∠D+∠F；
（5）解：∠B+∠C+∠D+∠E＝540°，分别过点C和点D作AB∥CM和AB∥DN，如图所示：
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠B+∠BCM＝180°，∠NDE+∠DEF＝180°，∠NDC+∠MCD＝180°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E＝540°，
故答案为：540°．
4．（2024春•江津区校级月考）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ 60 °；
（2）若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前、若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D、且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜30时，根据4t＝2×（15+t），可得 t＝15；当30＜t＜75时，根据2（15+t）+（4t﹣180）＝180，可得t＝55；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝4t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠ACB＝2t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，
∴∠BAN＝180°×13=60°，
故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜45时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴4t＝2×（15+t），
解得：t＝15；
②当45＜t＜75时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴2（15°+t）+（4t﹣180°）＝180°，
解得：t＝55；
综上所述，当t＝15秒或t＝55秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
理由如下：
设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠MAC＝4t，∠MAB＝120°，
∴∠BAC＝4t﹣120°＝4（t﹣30°），
又∵∠DBC＝2t，∠ABD＝120°，
∴∠ABC＝120°﹣2t，
∴∠BCA＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣2t，
又∵∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣60°＝2（t﹣30°），
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，即∠BAC＝2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．
5．（2024春•荆门期末）如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点，∠HAB+∠BCG＝∠ABC．
（1）求证：AD∥CE；
（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F．若α+β＝40°，求∠B+∠F的度数；
（3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝50°，则∠NBM＝ 25° （直接写出结果）
【分析】（1）过点B作BP∥AD，利用平行线的性质可得∠ABP＝∠HAB，再根据已知及角的和差关系可得∠CBP＝∠BCG，从而可得BP∥CE，然后利用平行于同一条直线的两条直线平行，即可解答；
（2）根据角平分线的定义可得∠HAF＝∠FAB＝β，从而可得∠HAB＝2β，再根据已知∠FCG＝2∠FCB＝2α，然后利用平行线的性质可得∠F＝∠HAF+∠FCG，从而可得∠B+∠F＝∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG＝3（α+β ），进行计算即可解答；
（3）利用角平分线的定义可得∠BCG＝2∠BCR，∠ABC＝2∠NBC，再利用平行线的性质可得∠BCR＝∠MBC，从而可得∠BCG＝2∠MBC，然后根据已知可得∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG＝2∠NBC﹣2∠MBC＝2∠NBM，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：过点B作BP∥AD，
∴∠ABP＝∠HAB，
∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP，∠ABC＝∠HAB+∠BCG，
∴∠CBP＝∠BCG，
∴BP∥CE，
∴AD∥CE．
（2）∵AF平分∠HAB，
∴∠HAF＝∠FAB＝β，
∴∠HAB＝2∠FAB＝2β，
∵∠BCF＝∠BCG＝α，
∴∠FCG＝2∠FCB＝2α，
由（1）可知∠B＝∠HAB+∠BCG，
∴∠F＝∠HAF+∠FCG，
∵α+β＝40°，
∴∠B+∠F＝∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG
＝2β+α+β+2α
＝3α+3β
＝3（α+β）
＝120°．
答：∠B+∠F的度数为120°．
（3）∵CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，
∴∠BCG＝2∠BCR，∠ABC＝2∠NBC，
∵BM∥CR，
∴∠BCR＝∠MBC，
∴∠BCG＝2∠MBC，
∴∠HAB+∠BCG＝∠ABC，
∵∠BAH＝50°，
∴∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG
＝2∠NBC﹣2∠MBC
＝2（∠NBC﹣∠MBC）
＝2∠NBM，
∴∠NBM=12∠HAB=25°．
故答案为：25°．
6．（2024春•湛江期末）已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数．
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数．
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝120°，求∠AME的度数.
【分析】（1）过点G作GE∥AB，根据平行线的性质得∠AMG+∠CNG＝∠MGN，再由垂直的定义得答案；
（2）过G作GE∥AB，过P作PF∥AB，通过平行线的性质，和角平分的定义及角的和差得∠MGN+∠MPN＝3∠BMG，便可求得结果；
（3）过E作ES∥AB，过G作GL∥AB，设∠AMF＝x，∠DNG＝y，通过平行线的性质，和角平分的定义及角的和差，得出∠MEN＝90°−y2−2x，∠MGN＝x+y，由2∠MEN+∠MGN＝120°，便可求得结果．
【解答】解：（1）如图1，过点G作GE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GE∥CD，
∴∠AMG＝∠MGE，∠CNG＝∠NGE，
∴∠AMG+∠CNG＝∠MGE+∠NGE＝∠MGN，
∵GM⊥GN，
∴∠AMG+∠CNG＝∠MGN＝90°；
（2）如图2，过G作GE∥AB，过P作PF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EG∥CD∥FP，
∴∠BMG＝∠MGE，∠DNG＝∠NGE，∠BMP＝∠FPM，∠FPN＝∠DNP，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠PNG，
∴∠BMP＝2∠BMG＝2∠PMG，∠PND＝∠DNG=12∠PNG，
∴∠MGN+∠MPN＝∠MGE+∠NGE+∠FPM﹣∠FPN＝∠BMG+∠PND+2∠BMG﹣∠PND＝3∠BMG，
∵∠BMG＝30°，
∴∠MGN+∠MPN＝90°；
（3）∠AME＝40°．理由如下：
如图3，过E作ES∥AB，过G作GL∥AB，
设∠AMF＝x，∠DNG＝y，
∵MF平分∠AME，
∴∠AMF＝∠EMF＝x＝∠BMG，
∴∠AME＝2x，
∵GL∥AB，ES∥AB，
∴∠MGL＝∠BMG＝x，∠SME＝∠AME＝2x，
∵AB∥CD，ES∥AB，GL∥AB，
∴GL∥CD，ES∥CD，∠SME＝∠AME＝2x，
∴∠NGL＝∠DNG＝y，
则∠MGN＝∠MGL+∠NGL＝x+y，
∵NE平分∠CNG，
∴∠CNE=12∠CNG=12（180°﹣y）＝90°−y2，
∵ES∥CD，
∴∠SEN＝∠CNE＝90°−y2，
又∵∠SEM＝2x，
则∠MEN＝90°−y2−2x，
∵∠MEN＝90°−y2−2x，∠MGN＝x+y，且2∠MEN+∠MGN＝120°，
∴2（90°−y2−2x）+（x+y）＝120°，
180°﹣y﹣4x+x+y＝120°，
﹣3x＝﹣60°，
x＝20°，
∴∠AME＝2x＝40°．
【考点10 新定义问题】
1．（2023秋•襄城区期末）探究规律，完成相关题目．王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：（+2）※（+4）＝﹣6；（﹣3）※（﹣4）＝﹣7；（﹣2）※（+3）＝+5；（+5）※（﹣6）＝+11；0※（+9）＝﹣9：（﹣7）※0＝+7．请你按照王老师定义的运算法则计算（﹣2023）※（+2024）的结果为（ ）
A．﹣4047B．0C．1D．4047
【分析】根据新运算列式计算即可．
【解答】解：（﹣2023）※（+2024）
＝+（2023+2024）
＝4047，
故选：D．
2．（2023秋•安陆市期末）定义一种关于整数n的“F”运算：
（1）当n是奇数时，结果为3n+5；
（2）当n是偶数时，结果是n2k（其中k是使n2k为奇数的正整数），并且运算重复进行．
例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74，…，若n＝9，则第2023次经F运算的结果是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】根据关于整数n的“F”运算：探究规律后即可解决问题．
【解答】解：由题意n＝9时，第一次经“F”运算是3×9+5＝32，第二次经“F”运算是3225=1，第三次经“F”运算是3×1+5＝8，第四次经“F”运算是823=1⋯⋯，
以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1，
∴第2023次运算结果8，
故选：C．
3．（2023秋•瑶海区期末）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“x←x+2”表示用x+2的值作为x的值输入程序再次计算．比如：当输入x＝2时，依次计算作为第一次“传输”，可得2×2＝4，4﹣1＝3，32＝9，9不大于2024，所以2+2＝4，把x＝4输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得第二次“传输”后可4×2＝8，8﹣1＝7，……，若输入x＝1，那么经过（ ）次“传输”后可以输出结果，结束程序．
A．11B．12C．21D．23
【分析】根据计算程序，得到第n次输入的数应该是2n﹣1，根据452＝2025＞2024可得2（2n﹣1）﹣1＝45，解得n值即可．
【解答】解：每次输入的数应该是1，3，5，7，9．⋯第n次输入的数应该是2n﹣1．
每次算出的数为[2（2n﹣1）﹣1]2，
由452＝2025＞2024，程序结束．
可得2（2n﹣1）﹣1＝45，解得n＝12．
故选：B．
4．（2023秋•洪山区期末）定义：我们称使等式b2＝4ac成立的有理数a，b，c为“唯一根数组”，记作【a，b，c】．例如：由于22＝4×13×3，因此【13，2，3】是“唯一根数组”．若【5+52k﹣k2，k，1】是“唯一根数组”，则2k﹣k2+1的值为 ﹣3 ．
【分析】根据“唯一根数组”的定义得到k2＝4（5+52k﹣k2）×1，依此即可求得2k﹣k2+1的值．
【解答】解：∵【5+52k﹣k2，k，1】是“唯一根数组”，
∴k2＝4（5+52k﹣k2）×1，
∴k2＝20+10k﹣4k2，
∴10k﹣5k2＝﹣20，即2k﹣k2＝﹣4，
∴2k﹣k2+1＝﹣4+1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
5．（2023秋•郧阳区期末）用〈m〉表示大于m的最小整数，例如〈1〉＝2，〈3.2〉＝4，〈﹣3〉＝﹣2．用max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{﹣2，4}＝4，按上述规定，如果整数x满足max{x，﹣3x}＝﹣2〈x〉+8，则x的值是 2或﹣6 ．
【分析】按照题目的规定，分两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：∵x是整数，
∴〈x〉＝x+1，
若x＞﹣3x，则max{x，﹣3x}＝x，
∴x＝﹣2〈x〉+11＝﹣2（x+1）+8，
∴x＝2，
此时符合题意．
若x＜﹣3x，则max{x，﹣3x}＝﹣3x，
∴﹣3x＝﹣2（x+1）+8，
∴x＝﹣6．
此时符合题意．
∴x的值是2或﹣6．
故答案为：2或﹣6．
6．（2023秋•越秀区期末）已知a是不为1的有理数，我们把11−a称为a的差倒数，如：3的差倒数是11−3=−12．已知a1＝﹣1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，an为an﹣1的差倒数，则a2＝ 12 ；若a1+a2+⋯+an＝55，则n＝ 113 ．
【分析】分别求出a2，a3，a4的值，根据其规律，再求相应的n值．
【解答】解：∵a1＝﹣1，
∴a2=11−(−1)=12，
a3=11−12=2，
a4=11−2=−1，
…，
∴该列数是以﹣1，12，2这三个数循环出现，
∵﹣1+12+2=32，a1+a2+⋯+an＝55，
∴55÷32=36……2，
∴36×32=54，
∴54+（﹣1）+12+2+(−1)+12=55，
∴n＝36×3+3+2＝113．
故答案为：12，113．
7．（2023秋•江汉区期末）定义：一个正整数x＝1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）．若ma﹣b＝mc﹣d，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，5923：2×5﹣9＝2×2﹣3，则称5923为“2倍数”；1940：﹣3×1﹣9＝﹣3×4﹣0，则称1940为“﹣3倍数”；2548：32×2−5=32×4﹣8．因为32不是整数，所以2548不是“m倍数”．
（1）直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值；
（2）若一个三位数x为“﹣2倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由；
（3）若一个四位数x为“1倍数”，且各数位的数字互不相等，将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为y（即10a+b），十位数字和个位数字组成的两位数记为z（即10c+d）．若y−z8为整数，求这个四位数；
（4）若一个四位数x为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”，x+6为“﹣4倍数”，直接写出满足条件的x的最大值．
【分析】（1）根据题意列出关于m的方程，进行判断．
（2）根据三位数x为“﹣2倍数”，且个位数字为7，得出b＝2c+7，表示出三位数，进行判断．
（3）根据四位数x为“1倍数”，得出a﹣c＝b﹣d，再得出11（a﹣c）为8倍数，求出a﹣c，b﹣d的值，得出答案．
（4）设x的四位数字分别为a，b，c，d．百位十位进行互换，得出新数，分两种情况进行讨论，得出答案．
【解答】解：（1）3m﹣2＝7m﹣4⇒﹣4m＝﹣2．
解得：m=12．
m不是整数，所以3274不是“m倍数“．
2m﹣9＝6m﹣1⇒﹣4m＝8．
解得：m＝﹣2．
2961是“﹣2倍数“，m为﹣2．
（2）∵x为三位数，个位为7，
∴a＝0．d＝7．
﹣2×0﹣b＝﹣2c﹣7．
整理得：b＝2c+7．
这个三位数为：100b+10c+7＝100（2c+7）+10c+7＝210c+707＝7（30c+101）．
∵30c+101是整数．
∴这三位数x能被7整除．
（3）∵这四位数为“1倍数”．
∴a﹣b＝c﹣d⇒a﹣c＝b﹣d．
∵y＝10a+b，z＝10c+d．
∴y﹣z＝10a+b﹣10c﹣d＝10（a﹣c）+10（b﹣d）＝11（a﹣c）．
∵y−z8为整数．
∴11(a−c)8为整数．
即a﹣c＝±8，b﹣d＝±8．
∵各位数的数字互不相等．
∴a，b，c，d四个数应为9，8，1，0．或1，0，9，8．
∴这四位数应为9810，1098．
（4）设x的四位数字分别为a，b，c，d．
∵x为“4倍数“．
∴4a﹣b＝4c﹣d①．
∵将百位数字与十位数字互换，新的四位数仍为“4倍数”．
∴4a﹣c＝4b﹣d②．
①﹣②得﹣b+c＝4c﹣4b⇒﹣3c＝﹣3b⇒c＝b．
将b＝c代入①得：4a﹣b＝4b﹣d．
整理得：d＝5b﹣4a．
∵x+6为“﹣4倍数“．
∴当d＜4时，﹣4a﹣b＝﹣4c﹣d﹣6．
把b＝c，d＝5b﹣4a代入﹣4a﹣b＝﹣4c﹣d﹣6得：
﹣4a﹣b＝﹣4b﹣（5b﹣4a）﹣6．
整理得：8a﹣8b＝6．
∵a，b，c，d均为小于10的非负整数，
∴8a﹣8b不可能等于6，
∴d＜4不符合题意．
当4≤d≤10时，﹣4a﹣b＝﹣4（c+1）﹣（d+6﹣10），
整理得：4a+b＝4c+d，
把b＝c，d＝5b﹣4a代入4a+b＝4c+d得：
4a+b＝4b+（5b﹣4a），
整理得：a＝b，
∴d＝5b﹣4a＝5b﹣4b＝b，
即d＝b．
∴a＝b＝c＝d．
∵x+6为四位数，
∴a＝b＝c＝d＜9．
∴a，b，c，d的最大值为8，即这个四位数最大为8888．
【考点11 日历与幻方问题】
1．（2023秋•武昌区期末）如图，在2024年1月的日历表中用图形框出10，18，19，24四个数，它们的和为71．若保持图形框的整体形状不变，在日历表中平移，还是框出四个数，则它们的和不可能是（ ）
A．35B．63C．99D．119
【分析】设最上边的那个数是x，则剩下的那个数为x+8，x+9，x+14，这四个数的和是4x+31，将每个选项逐个代入并根据日历的特点分析即可．
【解答】解：设最上边的那个数是x，则剩下的那个数为x+8，x+9，x+14，
∴这四个数的和是x+x+8+x+9+x+14＝4x+31，
当4x+31＝35时，解得x＝1，则这四个数分别1，9，10，15，符合日历特点；
当4x+31＝63时，解得x＝8，则这四个数分别8，1617，22，符合日历特点；
当4x+31＝99时，解得x＝17，则这四个数分别17，25，26，31，符合日历特点；
当4x+31＝119时，解得x＝22，则这四个数分别22，30，31，36，不符合日历特点；
∴四个选项中只有D选项符合题意．
故选：D．
2．（2023秋•随县期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方，则x﹣y的值是（ ）
A．0B．﹣3C．3D．4
【分析】设最右边一列中间的数为z，先根据幻方的定义可得x+2+z＝﹣1+z+y，然后变形即可解答．
【解答】解：设最右边一列中间的数为z，
根据题意可得：x+2+z＝﹣1+z+y，
变形可得：x﹣y＝﹣3．
故选：B．
3．（2023秋•岱岳区期末）现有一个50个偶数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，则这四个数的和有可能是（ ）
A．98B．210C．314D．386
【分析】设第一行中间这个数为x，得到四个数的和为4x+10，分别解方程逐一判断即可解题．
【解答】解：设第一行中间这个数为x，则另三个数为x﹣2，x+2，x+10，
∴这四个数的和为：x+x﹣2+x+2+x+10＝4x+10
A．当4x+10＝98，解得：x＝22是第三行的首位数字，不符合题意；
B．当4x+10＝210，解得：x＝50是第五行的末尾数字，不符合题意；
C．当4x+10＝314，解得：x＝76，符合题意；
D．当4x+10＝386，解得：x＝94是第十行的数字，不符合题意；
故选：C．
4．（2023秋•大冶市期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】如图（见解析），根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等建立方程，解方程即可得．
【解答】解：如图，
由题意得：x﹣5+8＝x+a﹣2，
解得：a＝5，
﹣2+b+8＝﹣5+b+d，
解得：d＝11，
﹣2+11+e＝8+c+e，
解得：c＝1，
﹣5+b+d＝8+1+e，即：﹣5+b+11＝8+1+e，
解得：b＝3+e，
x﹣5+8＝8+c+e，即x﹣5+8＝8+1+e，
解得：x＝6+e，
则x+b+e＝8+1+e，即6+e+3+e+e＝9+e，
解得：e＝0，
所以x﹣5+8＝8+c+e，即x+3＝9，
解得：x＝6．
故选：C．
5．（2023秋•南沙区期末）如图是2024年1月日历，用“Z”型方框任意覆盖其中四个方格，最小数字记为a，四个数字之和记为S．当S＝82时，a所表示的日期是星期（ ）
A．一B．二C．三D．四
【分析】根据“四个数字之和记为S．当S＝82”列方程求解．
【解答】解：由题意得：a+a+1+a+9+a+8＝82，
解得：a＝16，
16是周二，
故选：B．
6．（2023秋•潢川县期末）在如图所示的图案中，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“单元”，现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中的十个小三角形中，使得对于图中的四个“单元”，每个“单元”中的四个数之和都是23，若2，4，5，a已填入图中，位置如图所示，则a表示的数是 3 ．
【分析】根据每个“单元”中的四个数之和都是23可得x+y＝16，再由4+a+x+y＝23即可求出a的值．
【解答】解：如图，
由题意得，x+y+2+5＝23，
∴x+y＝16，
又∵4+a+x+y＝23，
即4+a+16＝23，
∴a＝3，
故答案为：3．
7．（2023秋•香洲区期末）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将1，﹣2，﹣3，3，4，6，﹣7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，﹣7，8这四个数填入了圆圈，则图中a+b的值为 ﹣5 ．
【分析】先求出这8个数的和，即可求出横、竖以及内外两圈上的4个数字之和，然后列式计算即可求出a、b的值．
【解答】解：如图，
1+（﹣2）+（﹣3）+3+4+6+（﹣7）+8
＝（1+3+4+6+8）+（﹣2﹣3﹣7）
＝22+（﹣12）
＝10，
∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，
∴这个和为10÷2＝5，
∴﹣7+6+b+8＝5，﹣7+c+8+d＝5，c+a+4+d＝5，
∴b＝﹣2，c+d＝4，
∴a＝﹣3，
∴a+b＝﹣3﹣2＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【考点12 数字规律问题】
1．（2023秋•汉川市期末）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是 1+2+3+⋯+n=12n（n+1），其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）＝？观察几个特殊的等式：1×2=13×（1×2×3﹣0×1×2），2×3=13×（2×3×4﹣1×2×3），3×4=13×（3×4×5﹣2×3×4），将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=13×3×4×5＝20．读完这段材料，请你思考后计算：1×2+2×3+3×4+…+50×51的值是（ ）
A．41650B．44200C．46852D．49608
【分析】根据所给等式，求出1×2+2×3+…+n（n+1）即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为1×2=13×(1×2×3−0×1×2)，
2×3=13×(2×3×4−1×2×3)，
3×4=13×(3×4×5−2×3×4)，
…，
n（n+1）=13[n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)]；
将以上等式两边相加得，
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=13n(n+1)(n+2)，
当n＝50时，
1×2+2×3+3×4+…+50×51=13×50×51×52=44200．
故选：B．
2．（2023秋•来凤县期末）正整数按如图的规律排列，请写出第15行，第18列的数字是（ ）
A．284B．296C．303D．304
【分析】首先观察出第2、3、4、5、6列的第一个数为1+1、4+1、9+1、16+1、25+1，由此进一步解决问题．
【解答】解：由于第2、3、4、5、6列的第一个数为1+1、4+1、9+1、16+1、25+1．
那么第18列的第一个数为172+1＝290，
∴第15行，第18列的数字是290+15﹣1＝304，
故选：D．
3．（2024秋•黔东南州期末）为了求1+2+22+23+…+220的值，可令S＝1+2+22+23+…+220，则2S＝2+22+23+24+…+221，因此2S﹣S＝221﹣1，所以1+2+22+23+…+220＝221﹣1，仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+52024＝（ ）
A．52024B．52023﹣1
C．14(52024−1)D．14(52025−1)
【分析】根据题目信息，设S＝1+5+52+53+⋯+52024，求出5S，然后错位相减计算即可得解．
【解答】解：设S＝1+5+52+53+⋯+52024，则5S＝5+52+53+54⋯+52025，
∴5S﹣S＝52025﹣1，
∴S=52025−14，
∴1+5+52+53+…+52024=52025−14=14（52025﹣1），
故选：D．
4．（2023秋•无为市期末）观察下面三行数：
第①行：2、4、6、8、10、12、…
第②行：3、5、7、9、11、13、…
第③行：1、4、9、16、25、36、…
设x、y、z分别为第①、②、③行的第100个数，则2x﹣y+2z的值为（ ）
A．9999B．10001C．20199D．20001
【分析】总结第①，第②，第③行的变化规律，分别求出x，y，z的值即可计算．
【解答】解：观察第①行：2、4、6、8、10、12、…
∴第100个数为100×2＝200，
即x＝200，
观察第②行：3、5、7、9、11、13、…
∴第100个数为100×2+1＝201，
观察第③行：1、4、9、16、25、36、…
∴第100个数是1002＝10000，
即x＝200、y＝201、z＝10000，
∴2x﹣y+2z＝20199，
故选：C．
5．（2023秋•恩施市期末）“转化”是一种解决问题的常用思想，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62＝36．请你观察图②，利用转化的方法计算：12+14+18+116+132+164+1128+1256= 255256 ．
【分析】通过观察可知：所求有理数的和在图形中所对的面积为1−1256，由此求和即可．
【解答】解：12+14+18+116+132+164+1128+1256=1−1256=255256，
故答案为：255256．
6．（2023秋•广水市期末）将数字1个1，2个12，3个13，4个14，…n个1n（n为正整数）按顺序排成一排：1，12，12，13，13，13，14，14，14，14，⋯1n，1n，1n⋯，记a1＝1，a2＝a1+12+12，a3＝a2+13+13+13，…S1＝a1，S1＝a1+a2，Sn＝a1+a2+a3+…+an，则S1000﹣S1008＝ 2009 ．
【分析】由题意可得：n个1n的和为1，则有a1＝1，a2＝2，a3＝3，…，从而可求解．
【解答】解：∵n个1n的和为1，a1＝1，a2＝a1+12+12，a3＝a2+13+13+13，…，
∴a1＝1，a2＝2，a3＝3，…，
∴S1＝1，S2＝1+2，Sn＝1+2+3+…+n，
∴S1000﹣S1008
＝1+2+3+…+1000﹣（1+2+3+…+1008）
＝1+2+3+…+1008+1009+1000﹣1﹣2﹣3﹣…﹣1008
＝2009．
故答案为：2009．
7．（2023秋•江陵县期末）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表：
（1）若n＝7时，则S的值为 56 ．
（2）根据表中的规律猜想：用含n的代数式表示S的公式为：S＝2+4+6+8+…+2n＝ n（n+1） ．
（3）根据上题的规律计算102+104+106+…+2020的值（要有过程）．
【分析】（1）根据表格中的数据，可以计算出n＝7时，S的值；
（2）根据表格中的数据，可以计算出S＝2+4+6+…+2n的值；
（3）根据题目中的式子可知，102+204+206+…+2020＝（2+4+…+200+202+…+2020）﹣（2+4+…+100），然后计算即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
n＝7时，S＝2+4+…+16＝7×8＝56，
故答案为：56；
（2）由题意可得，
S＝2+4+6+…+2n＝n（n+1），
故答案为：n（n+1）；
（3）102+104+106+…+2020
＝（2+4+…+100+102+…+2020）﹣（2+4+…+100）
＝1010×1011﹣50×51
＝1021110﹣2550
＝1018560．
【考点13 图形规律问题】
1．（2023秋•黄冈期末）如图，将一些形状相同的小五角星按图中所示放置，据此规律，第59个图形五角星的个数为（ ）
A．3600B．3500C．3599D．3499
【分析】依次求出图形中五角星的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1个图形五角星的个数为：3＝1×3；
第2个图形五角星的个数为：8＝2×4；
第3个图形五角星的个数为：15＝3×5；
第4个图形五角星的个数为：24＝4×6；
…，
所以第n个图形五角星的个数为n（n+2），
当n＝59时，
n（n+2）＝59×61＝3599（个），
即第59个图形五角星的个数为3599个．
故选：C．
2．（2023秋•黄石港区期末）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有l8颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（ ）
A．63B．84C．108D．152
【分析】根据第①个图形的棋子数是3＝3×1，第②个图形的棋子数是9＝3×（1+2），第③个图形的棋子数是18＝3×（1+2+3），…，可得第n个图形的棋子数是3×（1+2+…+n），据此求出第⑥个图形中棋子的颗数为多少即可．
【解答】解：∵第①个图形的棋子数是3＝3×1，
第②个图形的棋子数是9＝3×（1+2），
第③个图形的棋子数是18＝3×（1+2+3），
…，
∴第n个图形的棋子数是3×（1+2+…+n），
∴第⑥个图形中棋子的颗数为：
3×（1+2+…+6）
＝3×21
＝63．
故选：A．
3．（2023秋•郧阳区期末）如图1是一根起点为0且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成如图2，弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是0，第二个数是12，第三个数是42，…，依此规律，落在虚线上的第五个点对应的数是（ ）
A．90B．96C．150D．156
【分析】根据每圈上数字特征，找到规律求解．
【解答】解：第1个数为0，
第2个数为：2+4+6＝12，
第3个数为：12+8+10+12＝42，
第4个数为：42+14+16+18＝90，
第5个数为：90+20+22+24＝156，
故选：D．
4．（2023秋•曾都区期末）根据图中数字的规律，若第n个图中的p＝101，则q的值为（ ）
A．2500B．﹣2500C．2601D．﹣2601
【分析】观察所给图形中各部分的数字，发现规律即可解决问题．
【解答】解：观察所给图形可知，
第奇数个图形右上角的数字是正数，第偶数个图形右上角的数字是负数，且绝对值为完全平方数，
所以第n个图形右上角的数字可表示为：（﹣1）n+1n2．
图形中左上角的数字为从1开始的连续奇数，
所以第n个图形中左上角的数字可表示为：2n﹣1．
因为第p＝101，
则2n﹣1＝101，
解得n＝50，
所以q＝（﹣1）51×502＝﹣2500．
故选：B．
5．（2023秋•惠东县期末）在“互联网+”时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图中第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20＝9（其中20＝1），表示该生为9班学生，下面表示6班学生的识别图案是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题中定义求出第一行数字，即可求出其序号，进而解决问题．
【解答】解：由题知，
A选项中第一行的数字为：0，0，1，1．
则其序号为：0×23+0×22+1×21+1×20＝3，
所以该生为3班的学生．
故A选项不符合题意．
B选项中第一行的数字为：0，1，0，1．
则其序号为：0×23+1×22+0×21+1×20＝5，
所以该生为5班的学生．
故B选项不符合题意．
C选项中第一行的数字为：0，1，1，0．
则其序号为：0×23+1×22+1×21+0×20＝6，
所以该生为6班的学生．
故C选项符合题意．
D选项中第一行的数字为：0，1，1，1．
则其序号为：0×23+1×22+1×21+1×20＝7，
所以该生为7班的学生．
故D选项不符合题意．
故选：C．
6．（2023秋•海珠区期末）如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第n个图形中有 （n2+n+4） 个小圆圈．
【分析】观察图形的变化可得前几个图形的小圆圈的个数，进而可以寻找规律即可．
【解答】解：观察图形的变化可知：
第1个图形中有小圆圈的个数：1×2+4＝6个；
第2个图形中有小圆圈的个数：2×3+4＝10个；
第3个图形中有小圆圈的个数：3×4+4＝16个；
…
则第n个图形中有小圆圈的个数为：n（n+1）+4＝n2+n+4．
故答案为：n2+n+4．
7．（2023秋•汉阳区期末）问题呈现：在小学我们学习过用图示法求1+2+3+⋯+n的方法：
如图1，从第1层至第n层，分别有1，2，3，⋯，n个小圆圈；将图1旋转后拼成如图2．
①图2中，每层有小圆圈 （n+1） 个；共有小圆圈 n（n+1） 个．
②1+2+3+⋯+n＝ n(n+1)2
数学思考：如何求12+22+32+⋯+n2？小明同学根据上面的启示设计了如图3所示三角形数阵型：
第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22；⋯⋯；第n行n个圆圈中数的和为n+n+⋯+n︸n个n，即n2，这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为12+22+32+⋯+n2．
为了求这个和，他将三角形数阵型经过两次旋转可得如图4所示的三角形数阵型．
观察这三个三角形数阵型各行同一位置圆圈中的数，（如第n﹣1行的第1个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），
③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 2n+1 ；
④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+⋯+n2）＝ n(n+1)(2n+1)2 ；
⑤12+22+32+⋯+n2＝ n(n+1)(2n+1)6 ．
拓展运用：根据以上发现，
⑥计算12+22+32+⋯+n21+2+3+⋯+n的结果为 2n+13 ．
⑦求212+222+232+…+302的值．
【分析】问题呈现：根据图中的四边形的面积计算；
数学思考：根据题中的步骤，结合②中的结果求解．
【解答】解：问题呈现：①图2中，每层有小圆圈（n+1）个；共有小圆圈n（n+1）个．
②1+2+3+⋯+n=n(n+1)2，
故答案为：（n+1），n（n+1），n(n+1)2；
数学思考：③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为2n+1，
：故答案为：2n+1；
④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+⋯+n2）＝（2n+1）n(n+1)2=n(n+1)(2n+1)2，
故答案为：n(n+1)(2n+1)2；
⑤12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)2÷3=n(n+1)(2n+1)6，
故答案为：n(n+1)(2n+1)6；
拓展运用：根据以上发现，
⑥12+22+32+⋯+n21+2+3+⋯+n=n(n+1)(2n+1)6÷n(n+1)2=2n+13，
故答案为：2n+13；
⑦求212+222+232+⋯+302
＝12+22+32+⋯+302﹣（12+22+32+⋯+202）
=30×31×616−20×21×416
＝9455﹣2870
＝6585．第一档天然气用量
第二档天然气用量
第三档天然气用量
年用天然气量360立方米及以下，价格为每立方米2元．
年用天然气量超出360立方米，不足600立方米时，超过360立方米部分每立方米价格为2.5元．
年用天然气量600立方米以上，超过600立方米部分价格为每立方米3元．
消费金额（元）
小于或等于500元
500～1000
1000～1500
1500以上
返还金额（元）
0
60
100
150
商品
进价（元/件）
售价（元/件）
利润率
甲种
40
60
n
乙种
50
m
50%
顾客一次性购商品
数量
优惠措施
甲种
不超过15件
不优惠
超过15件
全部按售价8.5折
乙种
不超过15
不优惠
超过15件但不超过25件
全部按售价8.8折
超过25件
全部按售价8折
﹣1
x
2
﹣2
y
加数的个数n
S
1
2＝1×2
2
2+4＝6＝2×3
3
2+4+6＝12＝3×4
4
2+4+6+8＝20＝4×5
5
2+4+6+8+10＝30＝5×6