2024—2025学年湖南永州高二数学下册期末考试试卷【含答案】

这是一份2024—2025学年湖南永州高二数学下册期末考试试卷【含答案】，共18页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）设集合A＝{x|﹣2≤x＜1}，B＝{﹣2，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣2，0}D．{2，0，1}
2．（5分）已知，则复数z＝（ ）
A．2+iB．2﹣iC．1﹣iD．﹣1+i
3．（5分）设，均为单位向量，且＝，则|+2|＝（ ）
A．3B．C．6D．9
4．（5分）已知锐角α满足，则＝（ ）
A．﹣1B．C．D．
5．（5分）已知等比数列{an}，Sn是其前n项和，S2＝3a2，则＝（ ）
A．B．8C．7D．14
6．（5分）通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（ ）
A．种B．种C．47种D．74种
7．（5分）我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”．如图，在刍童ABCD﹣EFGH中，AB＝4，AD＝2，EF＝8，EH＝4，平面ABCD与平面EFGH之间的距离为3，则此“刍童”的体积为（ ）
A．36B．46C．56D．66
8．（5分）若M，N分别是双曲线C：的右支和圆D：（x﹣5）2+（y﹣1）2＝1上的动点，且F是双曲线C的右焦点，则|MN|+|MF|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在常数项
B．二项式系数和为1
C．第4项和第5项二项式系数最大
D．所有项的系数和为128
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（ ）
A．f′（x）＝3x2﹣1
B．f（x）有两个极值点
C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心
D．f（x）有两个零点
（多选）11．（6分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P在截面B1CD1内，且|PC1|＝，则（ ）
A．三棱锥P﹣A1BD的体积为
B．线段PA的长为
C．点P的轨迹长为
D．的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知函数为奇函数，则a的值为 ．
13．（5分）镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一．如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝40米，则云台阁的高度为 米．
14．（5分）设F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限交于点P，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的离心率为 ．若△PF1F2内切圆圆心I的横坐标为2，则△PF1F2的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2﹣a2＝bc，sinA＝sinC．
（1）求的值；
（2）若，且BD＝2，求△ABC的面积．
16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA＝AD＝2AB＝2．
（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（2）求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值．
17．（15分）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：
（1）求实数m的值．并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；
（2）假设所有购物群销售脐橙的数量X～N（μ，σ2），其中μ为（1）中的平均数，σ2＝14400．若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在[256，616）（单位：盒）内的群为“A级群”，销售数量小于256盒的购物群为“B级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“A级群”奖励100，对“B级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X＜μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ≤X＜μ+2σ）≈0.954，P（μ﹣3σ≤X＜μ+3σ）≈0.997．
18．（17分）已知椭圆及直线l：x﹣y+t＝0．
（1）若直线l与椭圆没有公共点，求实数t的取值范围；
（2）P为椭圆C上一动点，若点P到直线l距离的最大值为，求直线l的方程．
19．（17分）设函数f（x）＝ex﹣alnx．
（1）当a＝1，求f（x）在点（1，e）处的切线方程；
（2）证明：当a＞0时，f（x）≥2a﹣alna．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A＝{x|﹣2≤x＜1}，B＝{﹣2，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣2，0}D．{2，0，1}
【分析】利用不等式性质、交集定义求解．
【解答】解：集合A＝{x|﹣2≤x＜1}，B＝{﹣2，0，1，2}，
则A∩B＝{﹣2，0}．
故选：C．
【点评】本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）已知，则复数z＝（ ）
A．2+iB．2﹣iC．1﹣iD．﹣1+i
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
则＝＝＝，
所以，解得，
所以z＝1﹣i．
故选：C．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3．（5分）设，均为单位向量，且＝，则|+2|＝（ ）
A．3B．C．6D．9
【分析】利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可．
【解答】解：，均为单位向量，且＝，
则|+2|＝＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．
4．（5分）已知锐角α满足，则＝（ ）
A．﹣1B．C．D．
【分析】由已知结合二倍角公式先求出tanα，然后结合诱导公式及同角商的关系进行化简即可求解．
【解答】解：因为＝且α为锐角，
所以tanα＞0，
解得tanα＝，
则＝＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，诱导公式及同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．
5．（5分）已知等比数列{an}，Sn是其前n项和，S2＝3a2，则＝（ ）
A．B．8C．7D．14
【分析】设等比数列{an}的公比为q，根据题意求得，结合等比数列前n项和的定义即可求解．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
因为S2＝3a2，可得a1+a2＝3a2，即a1＝2a2，所以，
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
6．（5分）通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（ ）
A．种B．种C．47种D．74种
【分析】由题意每位同学都有7种选择，利用分步计数原理即可求解．
【解答】解：由题意每位同学都有7种选择，则4名同学共有74种选择方案．
故选：D．
【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，属于基础题．
7．（5分）我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”．如图，在刍童ABCD﹣EFGH中，AB＝4，AD＝2，EF＝8，EH＝4，平面ABCD与平面EFGH之间的距离为3，则此“刍童”的体积为（ ）
A．36B．46C．56D．66
【分析】根据棱台的体积公式，即可求解．
【解答】解：根据题意可得所求几何体的体积为：
＝56．
故选：C．
【点评】本题考查棱台的体积的求解，属基础题．
8．（5分）若M，N分别是双曲线C：的右支和圆D：（x﹣5）2+（y﹣1）2＝1上的动点，且F是双曲线C的右焦点，则|MN|+|MF|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先得到圆心坐标与半径，双曲线的左焦点坐标，结合双曲线的定义及两点之间线段最短转化计算．
【解答】解：圆D：（x﹣5）2+（y﹣1）2＝1的圆心D（5，1），半径r＝1，
双曲线C：，则a＝1，，，
设左焦点为F1（﹣2，0），则|MF1|﹣|MF|＝2a＝2，即|MF|＝|MF1|﹣2，
所以，
当且仅当M、N在线段DF1与双曲线右支、圆的交点时取等号．
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在常数项
B．二项式系数和为1
C．第4项和第5项二项式系数最大
D．所有项的系数和为128
【分析】利用二项展开式的通项公式及赋值法，逐项分析即得．
【解答】解：因为展开式的通项公式为，
对A，由2r﹣7＝0，得（舍去），所以展开式不存在常数项，故A正确；
对B，二项式系数和为27＝128，故B错误；
对C，展开式共有8项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故C正确；
对D，令x＝1，得所有项的系数和为（2﹣1）7＝1，故D错误；
故选：AC．
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（ ）
A．f′（x）＝3x2﹣1
B．f（x）有两个极值点
C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心
D．f（x）有两个零点
【分析】由题意，对函数f（x）进行求导，利用导数得到函数的单调性和极值，进而可判断选项A，B，D，结合函数对称性的定义可判断选项C．
【解答】解：易知f（x）的定义域为R，
可得f′（x）＝3x2﹣1，故选项A正确；
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以函数f（x）在处取得极小值，在取得极大值，
此时，，
所以f（x）只有一个零点，故选项B正确，选项D错误；
因为f（x）+f（﹣x）＝x3﹣x+1﹣x3+x+1＝2，
所以f（x）关于（0，1）对称，故选项C正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
（多选）11．（6分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P在截面B1CD1内，且|PC1|＝，则（ ）
A．三棱锥P﹣A1BD的体积为
B．线段PA的长为
C．点P的轨迹长为
D．的最大值为
【分析】对于A：根据平面B1CD1∥平面A1BD，计算两平面间的距离，以及△A1BD的面积，代入体积公式即可求解；
对于B：设△B1CD1的中心为O1，计算，，再由勾股定理即可求解；
对于C：先判断点P的轨迹是以O1为圆心，为半径的圆的一部分，再求弧长即可；
对于D：利用为在方向上的投影，当P位于点P1或P2的位置时，最小，此时取得最大值，建立空间直角坐标系，求数量积即可．
【解答】解：在正方体中，AC1⊥平面B1CD1，平面B1CD1∥平面A1BD，
且两平面间的距离为，又△A1BD的面积，
∴三棱锥P﹣A1BD的体积，A正确；
设△B1CD1的中心为O1，则，，
，，B错误；
如图，由知，∠P1O1P2＝60°，点P的轨迹是以O1为圆心，为半径的圆的一部分，
由三段R1P6，P2P3，P4P5劣弧构成，其长度为圆O1周长的一半，C正确；
，
为在方向上的投影，
由图可知，当P位于点P1或P2的位置时，最小，
此时取得最大值，如图所示，
建立空间直角坐标系，则C（1，1，0），，，
，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查三棱锥体积以及空间向量的应用，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知函数为奇函数，则a的值为 ﹣1 ．
【分析】根据函数奇偶性定义即可得．
【解答】解：为奇函数，
则f（x）+f（﹣x）＝+＝＝＝0，
此式在定义域内恒成立，
则a2＝1，则a＝1（舍）或a＝﹣1．经检验符合题意．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查函数的奇偶性，属于基础题．
13．（5分）镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一．如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝40米，则云台阁的高度为 米．
【分析】根据题意，设PO＝h，利用锐角三角函数的定义算出OA＝h，OB＝h，OC＝h．然后根据OB是AC边上的中线，可得＝（+），平方化简得到•＝，再根据|﹣|＝||＝80，两边平方得到关于h的方程，解出h的值即可得到本题的答案．
【解答】解：设云台阁的高度PO＝h，则Rt△PAO中，tan30°＝＝，可得OA＝h，
同理，在Rt△PBO、Rt△PCO中，算出OB＝h，OC＝h．
因为△AOC中，AB＝BC＝40米，所以OB是AC边上的中线，可得＝（+），
两边平方得||2＝（+）2＝，即（+）2＝，可得||2+||2+2•＝，
即3h2+h2+2•＝，整理得•＝，
又因为﹣＝，两边平方得（﹣）2＝||2＝802＝6400，
所以||2+||2﹣2•＝6400，即3h2+h2+＝6400，解得h＝米．
故答案为：．
【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义、三角形中线的性质、向量的数量积等知识，属于中档题．
14．（5分）设F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限交于点P，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的离心率为 ．若△PF1F2内切圆圆心I的横坐标为2，则△PF1F2的面积为 6 ．
【分析】利用题给条件结合双曲线定义求得a，c关系，进而求得双曲线C的离心率；利用题给条件求得a的值，进而求得△PF1F2的面积．
【解答】解：设以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点设为P，
则∠F1PF2＝90°，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2|PF2|，
所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，由勾股定理得，
即有9a2+a2＝4c2，即c2＝a2，
则e＝＝．
设△PF1F2内切圆与x轴相切于M，M点横坐标为t，
则|PF1|﹣|PF2|＝|MF1|﹣|MF2|，则3a﹣a＝t+c﹣（c﹣t）＝2t，
解得t＝a，
又由△PF1F2内切圆圆心I的横坐标为2，得a＝2，
故．
故答案为：，6．
【点评】本题考查双曲线的定义和性质，以及圆的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2﹣a2＝bc，sinA＝sinC．
（1）求的值；
（2）若，且BD＝2，求△ABC的面积．
【分析】（1）由题意及余弦定理可得csA的值，再由角A的范围，可得角A的大小；
（2）由题意可得＝+＝+，两边平方可得c，b的值，代入三角形的面积公式，可得△ABC的面积．
【解答】解：（1）因为b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得：b2+c2﹣a2＝2bccsA，
所以csA＝，而A∈（0，π），
所以A＝，
又因为sinA＝sinC，可得a＝c，可得角C为锐角，
且sinC＝＝，
csC＝，
所以sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+csAsinC＝×+×＝，
所以＝＝＝3．
（2）由（1）可得b＝3c，，且BD＝2，
因为＝+＝+，
所以2＝2+2+•＝c2+b2+c•bcs（π﹣A）
＝c2+c2﹣c2＝c2，
可得c＝2，b＝6，
所以S△ABC＝bcsinA＝×2×6×＝3．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，向量的运算性质的应用，属于中档题．
16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA＝AD＝2AB＝2．
（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（2）求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值．
【分析】（1）由题意可得PA⊥CD，AD⊥CD，可证CD⊥平面PAD，进而可证结论；
（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面PBC的一个法向量与平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式可求得平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD．
因为底面ABCD是矩形，所以AD⊥CD．
又PA∩AD＝A，AD，PA⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．
又因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD．
（2）解：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，2，0），P（0，0，2），A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），
所以．
设平面PCD的一个法向量为，则
⇒，取y2＝1，则x2＝0，z2＝1，
可得平面PCD的一个法向量为．
设平面PBC的一个法向量为，则
⇒，取x1＝2，则y1＝0，z1＝1，
可得平面PBC的一个法向量为．
设平面PBC与平面PCD的夹角为θ，则
，
所以平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查面面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属中档题．
17．（15分）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：
（1）求实数m的值．并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；
（2）假设所有购物群销售脐橙的数量X～N（μ，σ2），其中μ为（1）中的平均数，σ2＝14400．若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在[256，616）（单位：盒）内的群为“A级群”，销售数量小于256盒的购物群为“B级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“A级群”奖励100，对“B级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X＜μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ≤X＜μ+2σ）≈0.954，P（μ﹣3σ≤X＜μ+3σ）≈0.997．
【分析】（1）利用频数之和等于样本总数易得m值，利用与频数分布表有关的平均数公式计算即得；
（2）由题意，结合（1）的结果易得μ，σ的值，根据“A级群”，“特级群”的范围，利用正态分布曲线的对称性，求出对应的概率，再计算出需准备的奖金即可．
【解答】解：（1）由题意得，12+18+m+32+18＝100，
解得m＝20，
则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为：；
（2）由题意，μ＝376，σ＝120，则256＝μ﹣σ，616＝μ+2σ，
故P（256≤X＜616）＝P（μ﹣σ≤X＜μ+2σ）＝
，
故“A级群”约有1000×0.8185＝818.5≈819个，
，
故“特级群”约有1000×0.023＝23个，
则依题意，需要资金为819×100+23×600＝95700元，即该脐橙基地大约需要准备95700元．
【点评】本题主要考查了平均数的计算，考查了正态分布曲线的对称性，属于中档题．
18．（17分）已知椭圆及直线l：x﹣y+t＝0．
（1）若直线l与椭圆没有公共点，求实数t的取值范围；
（2）P为椭圆C上一动点，若点P到直线l距离的最大值为，求直线l的方程．
【分析】（1）联立方程组，根据题意，利用Δ＜0，即可求得实数t的取值范围；
（3）根据题意，把点P到直线l距离的最大值，转化为直线l平行且与椭圆C相切的直线l1与直线l间的距离，由（1）直线l1：x﹣y﹣4＝0或直线l2：x﹣y+4＝0与椭圆C相切，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．
【解答】解：（1）联立方程组，消去y得：4x2+6tx+3t2﹣12＝0，
因为直线l与椭圆C没有公共点，
所以Δ＝36t2﹣4×4×（3t2﹣12）＜0，解得t＞4或t＜﹣4，
所以实数t的取值范围为（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）；
（2）由题意，点P到直线l距离的最大值，
等价于与直线l平行且与椭圆C相切的直线与直线l间的距离，
由（1）中，Δ＝36t2﹣4×4×（3t2﹣12）＝0，解得t＝4或t＝﹣4，
此时直线l1：x﹣y﹣4＝0或直线l2：x﹣y+4＝0与椭圆C相切，
当l1与l之间的距离为时，可得，解得t＝8或t＝﹣16（舍去），
当l2与l之间的距离为时，可得，解得t＝﹣8或t＝16（舍去），
综上，所求直线l的方程为x﹣y﹣8＝0或x﹣y+8＝0．
【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合应用，属于中档题．
19．（17分）设函数f（x）＝ex﹣alnx．
（1）当a＝1，求f（x）在点（1，e）处的切线方程；
（2）证明：当a＞0时，f（x）≥2a﹣alna．
【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可；
（2）先证明f′（x）在（0，+∞）上存在唯一零点，设为x0，再由导数求出最小值f（x）min＝f（x0）结合基本不等式和对数的运算证明即可．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣lnx，
则，即f′（1）＝e﹣1，
所以f（x）在点（1，e）处的切线方程为y﹣e＝（e﹣1）（x﹣1），即y＝（e﹣1）x+1．
（2）证明：因为，
因为y＝ex为单调递增函数，也为单调递增函数，
所以f′（x）为单调递增函数，又f′（a）＝ea﹣1＞0，且，
所以f′（x）在（0，+∞）上存在唯一零点，设为x0，
当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为单调递减函数；
当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为单调递增函数；
所以f（x）min＝f（x0），
由f′（x0）＝0可得，即，
所以，
当且仅当x0＝1时取等号，
所以当a＞0时，f（x）≥2a﹣alna．脐橙数量/盒
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[200，300）
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12
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