人教版新八年级暑期成果验收卷【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）（愿卷版+解析版）

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一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：，，选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．要使五边形木架（用五根木条钉成）不变形，至少要再钉上 根木条．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据三角形的稳定性，添加的木条把五边形分成三角形即可．
【解答】解：如图，至少需要2根木条．
故选：．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
3．从边形的一个顶点出发可以连接8条对角线，则
A．8B．9C．10D．11
【分析】根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可得，求出的值．
【解答】解：由题意得：，解得，
故选：．
【点评】本题考查了多边形的对角线，熟记边形从一个顶点出发可引出条对角线是解答此题的关键．
4．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：点关于轴对称的点的坐标是，
故选：．
【点评】此题主要考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5．在等腰中有一个角是，那么另外两个角分别是
A．、B．、或、
C．、D．无法确定
【分析】根据等腰三角形的性质分为顶角或底角两种情况求解即可．
【解答】解：当为顶角时，
此时；
当为底角时，
此时另一底角为，顶角为，
故另外两个角分别是，或，．
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，注意此题有两种情况．
6．如图，，，若和分别垂直平分和，则等于
A．B．C．D．
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：和分别垂直平分和，
，，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
7．以下列数据为三边长能构成三角形的是
A．1，2，3B．2，3，4C．14，4，9D．7，2，4
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
、，能构成三角形，故此选项符合题意；
、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
、，不能构成三角形，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．
8．如图，△，若，，，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据全等三角形的性质求出，由三角形内角和定理求出，进而求出的度数．
【解答】解：△，，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解决问题的关键．
9.如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【分析】连接BE，由等边三角形的性质可求得∠ABC＝60°，∠ABE＝∠CBE＝30°，结合直角三角形的性质可求∠EBC＝∠D＝30°，BE＝2，由等腰三角形的性质可求得ED的长，进而可求解．
【解答】解：连接BE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵E为AC的中点，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
∵EF⊥AB，EF＝1，
∴∠D＝90°﹣∠ABC＝30°，BE＝2EF＝2，
∴ED＝BE＝2，
∴DF＝ED+EF＝2+1＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，证明BE＝ED是解题的关键．
10．如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是
A．5B．C．4.8D．4.9
【分析】作关于直线的垂直平分线，过作于，交于，则此时，的值最小，且等于，延长交于，根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：作关于直线的垂直平分线，
过作于，交于，
则此时，的值最小，且等于，
是的平分线，
点在上，
点，点关于直线对称，
，，
延长交于，
，，
，
在与中，
，
，
，，，，
，
，
故的最小值是，
故选：．
【点评】本题考查了轴对称最短路线问题以及三角形全等的判定和性质，三角形面积公式的应用，找出点、的位置是解题的关键．
二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知一个等腰三角形的一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长是 12 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：腰为5时，周长是：．
故答案为：12．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
12．如图，五边形的外角中，，则的度数是 ．
【分析】根据多边形的外角和求出与相邻的外角的度数，然后根据邻补角的和等于列式求解即可．
【解答】解：，
与相邻的外角，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了多边形的外角和，利用多边形的外角和等于360度进行计算是解决问题的关键．
13．已知中，，是的角平分线，是的外角角平分线，交点为，则 ．
【分析】由角平分线的定义可得，，再由三角形的外角性质可得，，从而可求解．
【解答】解：是的角平分线，是的外角角平分线，
，，
是的外角，是的外角，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
14．在平面直角坐标系中，，，点在第四象限．若为等腰直角三角形，且，则点的坐标为 ．
【分析】作轴于点，作轴交于点，可证明，得，，可推导出，则，所以，则，即可求得．
【解答】解：如图，作轴于点，作轴交于点，则，
，，
，，
为等腰直角三角形，且，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点评】此题重点考查图形与坐标、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
15．如图所示，已知中，，．点，在底边上，若，．那么线段与之间的数量关系为 ．
【分析】作，且，连接，，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，进而利用等式的性质可得，然后利用证明，从而可得，，进而可得，再利用三角形内角和定理可得，最后利用证明，从而可得，进而利用平角定义求出，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：作，且，连接，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16．如图，中，，平分，为边上的点，连接，，下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的结论有 ①②④ ．（填写序号即可）
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质可得，从而证明，可得，再利用三角形外角的性质即可判断①；证明，可得，再利用等量代换即可判断②③；根据，可得，，再由，可得，即可判断④．
【解答】解：过点作于点，
，平分，
，，
又，
，
，
，
，故①正确；
，，，
，
，
，故②正确；
，
，
，
，
，故③错误；
，
，
，
又，
，
，故④正确，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质及邻补角的定义，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．如图，中，，点在上，，且．
求证（1）；
（2）．
【分析】求出、、的度数，根据等腰三角形的判定方法以及含30度直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】证明：（1），，
．
．
（2），
又，
，
，
，
．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、含30度角直角三角形性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．
18．如图，在与中，与交于点，且，．
（1）求证：；
（2）求证：．
【分析】（1）根据，，，由即可证明；
（2）由得到，则是等腰三角形，即可得到．
【解答】（1）证明：在和中，
，
；
（2），
，
是等腰三角形，
．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
19．如图所示，在等腰中，，点，，在的边上，满足，．
（1）求证：；
（2）当时，求的大小．
【分析】（1）由，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得；
（2）先由，求得，再由，根据平角定义和三角形内角和定理推导出，则．
【解答】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
的度数是．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．
20．如图，在中，平分，且平分，于点，于点．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
【分析】（1）连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，根据角平分线的性质可得，可得，即可得证；
（2）易证，可得，从而可得，即可求出的长．
【解答】（1）证明：连接，，如图所示：
且平分，
，
平分，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
又，
，
，，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，构造全等三角形是解决本题的关键．
21．如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请写出关于轴对称的△的各顶点坐标；
（2）请画出关于轴对称的△；
（3）在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标 ．
【分析】（1）关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可得答案．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接，此时点到、两点的距离和最小，即可得出点的坐标．
【解答】解：（1）与△关于轴对称，
点，，．
（2）如图，△即为所求．
（3）如图，点即为所求，
点的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
22．已知中，；中，；，点、、在同一直线上，与相交于点，连接．
（1）如图1，当时，
①请直接写出和的形状；
②求证：；
③请求出的度数；
（2）如图2，当时，请直接写出：
①的度数；
②若，，线段的长．
【分析】（1）①由等边三角形的判定可求解；
②由“”可证，可得；
③由全等三角形的性质可得，由平角的性质可求解；
（2）①由“”可证，可得，可得结论；
②由全等三角形的性质可得，由外角的性质和等腰三角形的性质可求，即可求解．
【解答】解：（1）①，，，
和是等边三角形；
②和均为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
③，
，
又，
；
（2）①和均为等腰直角三角形，，
，，，
即，，
，
在和中，
，
，
，
，
②，
，
，，
，
，
，，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
23．（1）在中，，，求边上的中线的取值范围．
（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接．求证：
【分析】（1）延长到点，使，连接，根据三角形的中线定义可得，从而利用可证，然后利用全等三角形的性质可得，最后在中，利用三角形的三边关系进行计算即可解答；
（2）延长到点，使，连接，，根据线段中点的定义可得，从而利用可证，然后利用全等三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，最后在中，利用三角形的三边关系进行计算即可解答．
【解答】解：（1）延长到点，使，连接，
是边的中线，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
；
（2）延长到点，使，连接，，
是边上的中点，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
在中，，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．如图1所示，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连．
（1）求证：；
（2）求证：平分；
（3）设，，，若，直接写出，，之间满足的数量关系．
【分析】（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为的性质可证得，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得；
（2）过点作于，于，设交于．由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）在上取一点，使得，连接，证明是等边三角形，同理（1）可证，，得出，由三角形面积关系可得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1中，与都是等边三角形，
，，，
，
，，
即．
在和中，
，
．
．
（2）证明：过点作于，于，设交于．
，
，
，，
，，
，，
，
平分；
（3）解：．
理由：在上取一点，使得，连接，
，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
同理（1）可证，
，
，
同法可证，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定和性质的运用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．