江西省九江市2025届高三第三次高考模拟统一考试数学试卷（解析版）

这是一份江西省九江市2025届高三第三次高考模拟统一考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合M=xx+3x-1≤0, N=xy=x+2，则M∩N=（ ）
A．x-2≤x≤1B．x-2≤x4>12D．PY6
【答案】AD
【解析】PX=3=C103p31-p7,PX=7=C107p71-p3
由C103=C107，等式化简为：p31-p7=p71-p3⇒1-p4=p4=1-p=p⇒p=12，故A正确；
二项分布方差为：DX=10p1-p
当p=12时，DX=10×12×12=2.5，此时DX=52.对于其他p，DX4=12，故C错误；
由正态分布的对称性，2和6关于μ=4对称，
根据对称性，PY6，故D正确.
故选：AD
10．如图，在五面体ABCDEF中，底面CDEF是边长为2的正方形，AE=AF=BD=BC，AB//平面CDEF，AB=1，AB到底面的距离为2，点S为BC的中点，点P在四边形CDEF内部（含边界）．则下列选项中正确的是（ ）
A．存在点P，使得SP//平面ABDE
B．存在点P，使得AP+BP=352
C．该五面体的体积为523
D．若BP=32，则点P的轨迹长度为π
【答案】ACD
【解析】对于A，取CD,EF中点M,N，连接SM,MN,SN，
∵S,M,N分别为BC,CD,EF中点，四边形CDEF为正方形，
∴SM//BD，MN//DE，
∵SM,MN⊄平面ABDE，BD,DE⊂平面ABDE，
∴SM//平面ABDE，MN//平面ABDE，又SM∩MN=M，SM,MN⊂平面SMN，
∴平面SMN//平面ABDE，
则当P∈MN时，SP⊂平面SMN，此时SP//平面ABDE，A正确；
对于B，作点A关于平面CDEF的对称点A'，连接A'B，
∵A,A'关于平面CDEF对称，∴AP=A'P，
∴AP+BP=A'P+BP≥A'B（当且仅当A',P,B三点共线时取等号），
∵AB到平面CDEF的距离为2，∴AA'=22，又AB=1，∴A'B=8+1=3，
则AP+BP≥3>352，即不存在点P，使得AP+BP=352，B错误；
对于C，取CD,EF中点M,N，作AA'⊥MN，BB'⊥MN，垂足分别为A',B'，
∵BD=BC，M为CD中点，∴BM⊥CD，
∵四边形CDEF为正方形，∴MN⊥CD，又BM∩MN=M，BM,MN⊂平面ABMN，∴CD⊥平面ABMN，
又BB'⊂平面ABMN，∴CD⊥BB'，
∵MN∩CD=M，MN,CD⊂平面CDEF，∴BB'⊥平面CDEF，
同理可得：AA'⊥平面CDEF，∴AA'=BB'=2；
∵AE=AF=BD=BC，CD=EF，∴△AEF≌△BCD，∴AN=BM，
则△AA'N≌△BB'M，∴A'N=B'M=12DE-AB=12；
作GH//QT//EF//CD，分别交DE于G,Q，交CF于H,T，可将五面体ABCDEF拆分为直三棱柱AGH-BQT、四棱锥A-EFHG和四棱锥B-QTCD，
∵VAGH-BQT=S△AGH⋅A'B'=12×2×2×1=2，VA-EFHG=VB-QTCD=13S▱EFHG⋅AA'=13×2×12×2=23，
∴VABCDEF=VAGH-BQT+VA-EFHG+VB-QTCD=523，C正确；
对于D，∵点B到平面CDEF的距离BB'=2，BP=32，∴B'P=94-2=12，
则P点轨迹是以B'为圆心，12为半径的圆在正方形CDEF内部（含边界）的部分，
作出正方形CDEF的平面图如下图所示，
∴P点的轨迹长度为2π×12=π，D正确.
故选：ACD.
11．已知函数fx=eax-x和gx=x-lnx的最小值相等，则下列说法正确的是（ ）
A．a=1
B．y=fx+gx的最小值为2
C．y=fx-gx在0, +∞上单调递增
D．若直线y=m与fx和gx的图象从左到右的交点分别为A, B, C, D，则AB=CD
【答案】ACD
【解析】对于A，∵g'x=x-1x，所以易得gx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以gx的最小值为g1=1；
f'x=aeax-1，当a≤0时，f'x≤0，fx在R上单调递减，不符合题意；
当a>0时，fx在-∞,1aln1a上单调递减，在1aln1a,+∞上单调递增，
所以fx的最小值为f1aln1a=1a+1alna=1，即a-1=lna，解得a=1，故A正确；
对于B，因为fx≥1当且仅当x=0时取等号；gx≥1当且仅当x=1时取等号，两者不能同时取等号，所以y=fx+gx>2，故B错误；
对于C，y=ex-2x+lnx,x>0,y'=ex-2+1x，
当01,1x≥1，∴y'=1-2+1=0；
当x>1时，∵ex>e,1x>0，∴y'>e-2+0>0，
总之，当x>0时，y'x>0，
所以y=fx-gx在0, +∞上单调递增，故C正确；
对于D，如图所示，
当直线y=m与fx和gx交点的上方时，不妨设Ax1,m,Bx2,m,Cx3,m,Dx4,m，
则ex1-x1=x2-lnx2=ex3-x3=x4-lnx4，
∵ex1-x1=elnx2-lnx2，x10的左、右焦点分别为F1, F2，P是C上一点，线段PF1, PF2的中点分别是M, N．若四边形PMON是周长为6、面积为2的矩形（O为坐标原点），则C的离心率为 ．
【答案】53
【解析】因为M，N分别是PF1，PF2的中点，O是F1F2的中点，
根据三角形中位线定理，可得|OM|=12|PF2|，|ON|=12|PF1|.
已知四边形PMON是矩形，其周长为6，则2(|OM|+|ON|)=6，
即|OM|+|ON|=3，所以12|PF2|+12|PF1|=3，进而可得|PF1|+|PF2|=6.
由椭圆的定义可知2a=6，则a=3.
又因为四边形PMON的面积为2，所以|OM|×|ON|=2，
即14|PF1|×|PF2|=2，则|PF1|×|PF2|=8.
在△PF1F2中，∠F1PF2=90°，根据勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.
对(|PF1|+|PF2|)2进行展开：(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|×|PF2|.
已知|PF1|+|PF2|=6，|PF1|×|PF2|=8，代入上式可得62=|F1F2|2+2×8，
即36=|F1F2|2+16.
解得|F1F2|2=20，而|F1F2|=2c，所以(2c)2=20，即4c2=20，c2=5，则c=5.
椭圆的离心率e=ca，已知a=3，c=5，所以e=53.
故答案为：53
14．如图，有一款合成2048游戏．游戏规则如下：在一个4*4的方格中，游戏开始时，方格中会随机出现两个数字小方块，只能是2或4．手指向一个方向（上、下、左、右）滑动，所有含有数字的小方块都会向这个方向移动到不能移动为止，滑动过程中相同数字的两个小方块相撞时数字会相加，称为一次合并运算．每次滑动时，空白处会随机刷新出一个含有数字（只能是2或4）的小方块．当界面中最大数字是2048时，最少合并运算的次数为 ．
【答案】511
【解析】由题意可知算式1024+1024=2048只需出现1次，而算式中有2个1024，
故算式512+512=1024需出现21次，
算式256+256=512需出现22次，⋯⋯以此类推，算式4+4=8需出现28次，
故每次出现的都是数字4，最少合并运算的次数是1+2+22+⋯+28=1×1-291-2=29-1=511.
故答案为：511.
四、解答题
15．在△ABC中，角A, B, C的对边分别是a, b, c，已知a+b=c3sinA+csA
（1）求C；
（2）若点D满足AD=2AC，且BD⊥AB, BD=3，求c．
解：（1）由正弦定理及a+b=c3sinA+csA，
得sinA+sinB=3sinAsinC+csAsinC，
∵B=π-A-C，∴sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC，
∴sinA+sinAcsC=3sinAsinC，
∵sinA≠0，∴1+csC=3sinC，∴sinC-π6=12
∵0b”的概率等于事件“a