吉林省松原市2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份吉林省松原市2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了本卷主要考查内容， 在中，内角的对边分别为， 下列说法不正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第八章8.5.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，，
故选：B.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，∵，
∴，即，∴.
故选：D.
3. 如图，斜二测画法的直观图是，的面积为6，那么的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，则，
如图，
作出还原后，则，
故，所以.
故选: A.
4. 已知平面，且，，则直线的关系为（ ）
A. 一定平行B. 一定异面
C. 不可能相交D. 相交、平行或异面都有可能
【答案】C
【解析】由平面，且，可知直线没有公共点，故它们一定不相交，即可能是平行或异面．
故选：C．
5. 已知圆锥的母线长为2，轴截面面积为，则圆锥的侧面积为（ ）
A B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】已知圆锥的母线长，设圆锥的底面半径为，高为，
由已知得
解得或，
由于圆锥的侧面积为：，
所以，或，
故选：D.
6. 在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（ ）
A. 无解B. 有一解
C. 有两解D. 解的个数不确定
【答案】C
【解析】由正弦定理，得，解得.
因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解.
故选：C.
7. 如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】，，，，，
，
在中，米.
在中，由正弦定理得米.
在中，由余弦定理得：
，
米.
故选：D.
8. 如图所示，在正方体中，分别为，上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，取的中点，的中点为，连接，
则∥，，且∥，，
可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥，
且平面，平面，可得∥平面，
同理可得：∥平面，
且，平面，可知平面∥平面，
又因为P点是正方形内的动点，平面，所以点在线段上，
由题意可知：，可得，
所以P点的轨迹长度为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的虚部为
B. 复数在复平面中对应点在第三象限
C.
D
【答案】BC
【解析】的虚部为5，故A错误；
在复平面中对应的点在第三象限，故B正确；
，故C正确；
虚数不能比较大小，故D错误，
故选：BC.
10. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若直线a，b不共面，则a，b为异面直线
B. 若直线平面，则a与内任何直线都平行
C. 若直线平面，平面平面β，则
D. 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
【答案】BCD
【解析】A.直线a，b不共面，即不平行，不相交，则a，b为异面直线，故正确；
B. 直线平面，则a与内的直线平行或异面，故错误；
C. 直线平面，平面平面β，则或，故错误；
D. 空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故错误；
故选：BCD
11. 在中，角的对边分别为，角的角平分线交于点，，则下列说法正确的是（ ）
A B.
C. D. 的面积为
【答案】AD
【解析】对A，由余弦定理得，即，所以，又，为三角形内角，所以，，解得（负舍）.在中，，故A正确；
对B，在中，，代入，解得.故B错误；
对C，，解得，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 已知平面向量，，满足，，且，则________.
【答案】
【解析】因，
而，，，则，所以.
故答案为：.
13. 将一实心铁球放入圆柱形容器中（厚度忽略不计），铁球恰好与圆柱的内壁相切，且铁球的最高点与圆柱上底面在同一平面内，则铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为______.
【答案】
【解析】设铁球的半径为r，则圆柱的高为2r，所以铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为．
故答案为：
14. 拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在中，已知，且，现以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为______.
【答案】
【解析】设的三个内角，，的对边分别为，，.
连接，则由题设得，，
因为以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，
所以，，所以
在中，由余弦定理可得
即
又，∴
即（等号当时成立），
由题意可得为等边三角形，故
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知复数，且为纯虚数.
（1）求复数；
（2）若复数，求复数的模.
解：（1）由题意得，
，
∵是纯虚数，
∴，，
∴，
∴；
（2）由（1）得，代入得
，
∴，
∴，
∴.
16. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，交于点，点是棱上的一点，且平面．
（1）求证：点是的中点；
（2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）因为四边形是平行四边形，则点是的中点，
因为平面，平面平面，平面，
所以，
所以，所以点是的中点．
（2）存在点，使得平面平面，此时，
因为，所以为中点，
又因为点是的中点，所以
又平面，平面，所以平面，
由（1）知，同理可得，平面，
又，平面，所以平面平面．
17. 在平面直角坐标系xOy中，，，．
（1）若，求实数x，y的值；
（2）若，求实数m的值．
解：（1）由，有，
有解得
故；
（2）由，，
又由，有，
解得，故．
18. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边分别交于点.

（1）若，求的值；
（2）若，求的最小值.
（1）解：因为，
所以
因为是线段的中点，所以，
设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，
所以，所以.
（2）解：因为，同理可得，
由（1）可知，，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
19. 在中，设角所对的边分别为，已知 ，且三角形的外接圆半径为．
（1）求C的大小；
（2）若的面积为，求的值；
（3）设的外接圆圆心为O，且满足，求m的值．
解：（1）在中，，
即，
由余弦定理得，，
即，
即，
即，
在中，，则，
又∵，∴；
（2），
由正弦定理得，∴，
则
，
由余弦定理得，
∴＝；
（3）∵，
∴，
，上式两边同时除以得，
两边同时乘以：，
∴①，
如图，
∵是的外心，∴，
∴，
同理，，
代入①式得，
由正弦定理，得，，
代入化简得，
∴．