山西省晋城市部分学校2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山西省晋城市部分学校2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷（解析版），共20页。
1、本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
1.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人救A版选择性必修第一册，选择性必修第二册（50%），选择性必修第三册第六章、第七章（50%）.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】直线的斜率，解得.
故选：D.
2. 随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，
由两点分布方差公式可得，又，
所以，解得，
所以，
故选：A.
3. 已知为抛物线的焦点，过的直线交于，两点，若弦的中点的横坐标为4，则（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 16
【答案】C
【解析】设，
则，所以，
由抛物线的焦点弦公式可得.
故选：C.
4. 已知随机变量的分布列如下表：
则（ ）
A. 1.2B. 1.04C. 1.02D. 1
【答案】A
【解析】由题意可得，
解得或，由概率不能大于1，所以舍掉，
所以，
.
故选：A
5. 从人中选择人去，，三地调研，一个地方安排人另外两个地方各安排人的安排方法共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】D
【解析】满足条件的安排方法可分两步完成，
第一步，从人中选择人，完成该步有种方法，
第二步，将所选人按要求分去，，三地调研，完成该步的方法数为，
由分步乘法计数原理可得满足要求的方法共有种.
故选：D.
6. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为有意义，
所以，，，，，
所以，
所以，
故选：C
7. 某次数学测试的单项选择题，学生甲有把握答对其中4道题，余下4道题中，有3道有思路，1道完全没有思路.若甲答对每道有思路的题的概率为，答对每道完全没有思路的题的概率为，他从这8道题中任抽一题作答，答对的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设“学生甲从这8题中任选1题且作对”为事件，“选到能完整做对的4道题”为事件，“选到有思路的3道题”为事件，“选到完全没有思路的题”为事件，
则，，，
，
由全概率公式可得
.
故选：C.
8. 已知函数，过点可向曲线引3条切线，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设切点为，
由可得，所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
由点在切线上代入可得，
即三次方程有三个不同的实数根，
令，则，
所以极值点为和，
又极值点处函数值为，
三次方程有三个不同实数根的充要条件是极值点处函数值异号，
所以，解得.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的五位数构成集合，则下列说法正确的是（ ）
A. 中有偶数60个
B. 中数字1，2相邻的数有36个
C. 中2，4不相邻的数有72个
D. 将中的元素从小到大排列，第55个数为31024
【答案】ABD
【解析】对于A：
若个位数为，则有个；
若个位数不为，则个位数只能是之一，
只能在中间3个位置任选一个位置，
剩余3个数字在剩余的三个位置上任意排列，
则有个.
所以偶数有60个，故A正确；
对于B，将看成一个整体，首位不为，
则有个，
所以中数字1，2相邻的数有36个，故B正确；
对于C，种共有个元素，
其中相邻有个，
所以中2，4不相邻的数有个，
故C错误；
首位为，则有个，
首位为，则有个，
首位为，则有个，
所以将中的元素从小到大排列，第55个数的首位为，
则第个数为，第个数为，第个数为，第个数为，
第个数为，第个数为，第个数为，故D正确.
故选：ABD.
10. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A. 事件，相互独立B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A，已知，将，，代入可得：

因为，所以事件，相互独立，A选项正确．
对于B，根据条件概率公式，将，代入可得：
，B选项错误．
对于C，先求，．
再根据条件概率公式，
将，代入可得：
，C选项正确．
对于D，，而，
所以，D选项错误．
故选：AC．
11. 已知曲线，直线，为上一点，则（ ）
A.
B. 当时，
C. 对任意，，直线与的交点个数不超过个
D. 当，时，直线与有3个交点
【答案】ABD
【解析】当时，方程可化为，
所以，，
当或时，方程可化为，
所以，，
所以曲线是中心为原点，焦点为，，
长半轴为的椭圆在轴上方的部分
和中心为原点，焦点为，，
实半轴为的双曲线在轴上方的部分和点，组成,
所以曲线的图象为：

对于A，因为为上一点，
若，则，，
所以，
若或，则，，
故，A正确；
对于B，由可得，，所以，，
所以，所以，又，
所以，故，B正确，
对于C，当，时，直线与的交点个数为个，C错误；
对于D，当，时，
联立，化简可得，
所以，
所以方程的根为，，
因为在上单调递减，在上单调递减，
所以，
假设，
则，
则，矛盾，故，
所以曲线，与直线，有两个交点，
，化简可得，
所以，解得，
函数在上单调递增，所以，满足条件，
所以曲线，与直线，有一个交点，
故当，时，直线与有3个交点，D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量的概率分布密度函数，若.则________.
【答案】
【解析】因为随机变量的概率分布密度函数，
所以，
所以.故答案为：.
13. 已知（，且）的展开式中没有常数项，则________.
【答案】
【解析】由于的展开式中没有常数项，
所以和都不是常数，
则，，又因为，所以，故取．
故答案为：8.
14. 已知实数，，，满足，，则的最大值为________.
【答案】18
【解析】设，．
根据向量模的计算公式，可得，已知，所以；
同理，因为，所以．
根据向量数量积的坐标运算公式，，所以．
由向量的数量积公式，可得，即，因为，
所以，这表明与同向．
所以存在实数，使得，即，．
又因为，所以，即，
结合，可得，那么，．
化简
将，代入，可得．
设，，则原式可化为．
由，根据，可得．
令，．
当且时，，与矛盾，此情况不存在．
当且时，，
其最大值为．
当且时，，
其最大值为．
当且时，
当时，取得最大值．
综上，的最大值为18．
故答案为：18．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球.从中不放回地依次摸出3个小球.
（1）求前两次摸出的球均为黑球的概率；
（2）记表示摸出的小球中红球的数量，求的分布列及其数学期望.
解：（1）由题意，前两次摸出的球均为黑球的概率；
（2）由题意，可取，
则，
，
，
，
所以的分布列为
.
16. 如图，在直三棱柱中，为的中点，，，.
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
解：（1）以为原点，以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，，所以，
则，
，
设平面的法向量，
则，令，则，
设与平面所成角为，
则与平面所成角的正弦值为.
（2）设平面的法向量，
则，令，则，，
，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17. “科学技术是第一生产力”.科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek.某公司部门有员工100名，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工一轮至三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮相互独立，有两轮及两轮以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek.
（1）估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数（去尾法精确到个位）；
（2）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元.DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将部门的部分员工随机调至公司其他部门，然后对其余员工开展DeepSeek培训.要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润，部门最多可以调多少人到其他部门？
解：（1）由题意每个员工“优秀”的概率
，
则估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数为个，
按去尾法取整，有人；
（2）设调出人，
调整前的利润为（万元），
调整后的利润为，
要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润，
则，解得，
因为为整数，所以最大值为，
即部门最多可以调人到其他部门.
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若存在零点，求实数的取值范围；
（3）证明：
解：（1）的定义域为，，
当时，因，所以恒成立，
即在为单调递减函数；
当时，令，所以当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数，
综上，当时， 在为单调递减函数；
当时，时，为单调递减函数；时，为单调递增函数.
（2）当时，，，，则，
令，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
因为存在零点，所以，
即实数的取值范围为.
（3）由（2）可得，当时，，
令，则，
所以
，
即，
两边同时取指数可得，
又上式中，所以.
19. 若数列满足：，且（，且），则称该数列为“非线性递增数列”.
（1）设数列为“非线性递增数列”，且.
（i）求，；
（ii）记数列的前项和为，是否存在实数，使得对任意的，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
（2）若数列为“非线性递增数列”，且满足，，，记数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）（i）已知，则，，.
根据“非线性递增数列”的定义，可得：
；
；
.
（ii）当为奇数时：已知，又因为，所以.
这表明数列是以为首项（假设），为公差的等差数列.
根据等差数列通项公式，则.
令，则，将代入，可得（为奇数）.
当为偶数时：已知，
又因为，
所以.
这表明数列是以为首项，为公差的等差数列.
根据等差数列通项公式，对于数列，
则.
令，则，将代入，可得（为偶数）.
所以.
当为偶数时：.
其中是以为首项，为公差的等差数列，项数为项；
是以为首项，为公差的等差数列，项数为项.
根据等差数列求和公式得到：
.
.
所以.
当为奇数时：为偶数，则.
因为为偶数，所以，.
.
所以.
当为奇数时，已知，变形得到，设.
对于二次函数，图象开口向下，对称轴为.
因为且为奇数，，则，当（即）时，取得最大值，所以.
当为偶数时，由可得，设.
因为且为偶数，，函数中，随着的增大，减小，所以单调递减.
那么当时，取得最大值，所以.
综合两种情况，要使得成立，需同时满足为奇数和偶数时的条件，故的取值范围是.
（2）当为偶数时，令，先分析数列的性质，
由可知是以为首项，为公差的等差数列，
且.
又，则
根据裂项相消法，.
因为，函数随着的增大而增大，所以.
不等式恒成立，将其变形为，
即恒成立.
对于，在上，；对于，
所以.
当为奇数时，
令，.
因为为递减数列，当时，取得最大值，且，所以.
同样由，即恒成立.
对于，在上，；
对于，所以.
综合两种情况，要使不等式在为奇数和偶数时都恒成立，取两种情况交集，故的取值范围是.
0
1
2
3
0.12
0.24