广东省汕头市金平区2024~2025学年高一上学期教学质量监测数学试卷（解析版）

这是一份广东省汕头市金平区2024~2025学年高一上学期教学质量监测数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
又，则.
故选：D．
2. 已知是实数，则“且”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由且，得，反之，不成立，如取满足，
而且不成立，
所以“且”是“”充分不必要条件．
故选：B.
3. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，，，，
所以.
故选：C.
4. 下列角的终边落在射线上的是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】在射线上取一点，则点位于第三象限，
因为和的终边都在第一象限，所以A、B、D错误，
又，符合题意，故C正确.
故选：C.
5. 已知角α满足，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，.
故选：C.
6. 已知，则，且与，且的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因，所以，，
若，则，排除C，
若，则，排除AB.
故选：D.
7. 已知，关于的不等式的解集是，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】由题设是方程的两个不等根，
所以，
又，则，
当且仅当，即时取得最小值.
故选：B.
8. 已知函数对任意的x∈R都有，若的图象关于直线对称，且对于，当时，，则（ ）
A. B. 是奇函数
C. 是周期为4的周期函数D.
【答案】D
【解析】由的图象关于直线对称，知的图象关于y轴对称，
所以是偶函数，所以B错误.
在中，令得，
又，所以，所以，知是周期为6的周期函数，所以C错误.
对于，当时，，
故在上单调递减，所以，所以A错误.
对于D，，，
由在上单调递减，得即，D正确.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列选项中与的值不恒相等的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】，，，
.
故选：BCD.
10. 对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】当时，，此时解集为或，
当时，，此时解集为，
当时，，此时解集为或，
当时，不等式为，此时解集为，
当时，，此时解集为，故A正确，B、C、D错误.
故选：BCD.
11. 已知定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是（ ）
A. 函数的值域为
B. 关于的方程的所有实数根之和为11
C. 关于的方程有且只有两个不等的实根
D. 当时，的解析式为
【答案】ABD
【解析】当时，有，
当时，，所以，
由于是定义在上奇函数，所以.
，由此画出的图象如下图所示，
由图可知的值域为，A选项正确.
当时，令，解得，
所以关于的方程的所有实数根之和为，B选项正确.
关于的方程的根为，所以C选项错误.
当时，，所以D选项正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数的图象过点，则____________.
【答案】3
【解析】设，则，，即，∴．
13. _______.
【答案】
【解析】.
14. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围__________．
【答案】
【解析】若函数有三个零点，
则y=fx与的图象有个交点，
，
当时，，
当时，，
当，时，，的大致图象如下，
要使y=fx与的图象有个交点，
则，解得或.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）求；
（2）已知集合，若，求实数的取值范围.
解：（1）由题设，，
所以.
（2）由，若，则满足题设；
若，则，即；
综上，.
16. 已知函数，.
（1）求A；
（2）函数的最小正周期；
（3）求函数在上的最大值及相应x的值．
解：（1）由于函数，，
则，解得.
（2）由（1）知：，
则的最小正周期.
（3）由，得，
则，所以，
所以函数的最大值为，
此时，解得.
17. 已知正数x，y满足x+y=6，xy=9k.
（1）求k的最大值；
（2）求的最小值；
（3）若恒成立，求实数m的取值范围.
解：（1）因为，所以由基本不等式可得：，得；
当且仅当时，等号成立，
即，则，故的最大值为1．
（2）由，得，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最小值为．
（3）因为恒成立，所以，
即，解得，
所以，实数的取值范围为.
18. 美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.
（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；
（2）现在公司准备投入0千万元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.
解：（1）因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设，
因为当时，，所以，所以，
即生产芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式为，
对于生产芯片的，因为函数图像过点，
所以，解得，所以，
即生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为.
（2）设投入千万元生产芯片，则投入千万元生产芯片，
则公司所获利用，
所以当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元.
19. 已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求a、b的值；
（2）判断的单调性并证明；
（3）对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）由于是R上的奇函数，
，即，所以，
又，所以，解得，
经检验符合题意.
（2）在R上单调递增，证明如下：
由于，可得，
设，
则，
由于，故
因此，
，
故在R上单调递增.
（3）由于为奇函数，故由可得，
又在R上单调递增，因此对任意实数恒成立，
故，
由于对勾函数在单调递减，故当取最小值，
因此，故.