广西南宁市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试题

这是一份广西南宁市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）若复数z＝1+i﹣2i3，则|z|＝（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，3，5}，0，1，3}，B＝{﹣2，0，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{﹣1，5}B．{﹣2，5}C．{﹣2，0，5}D．{﹣2，﹣1，5}
3．（5分）“a＞3”是“a2﹣3a＞0”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知平面α∥平面β，a，b是平面α，β外两条不同的直线（ ）
A．若a∥α，则a∥βB．若b⊥α，则b⊥β
C．若a∥α，b∥β，则a∥bD．若a⊥α，b⊥β，则a∥b
5．（5分）已知球O的半径R＝5，球O的内接圆锥的高h与底面半径r的比为3：1，则该圆锥的体积为（ ）
A．15πB．18πC．27πD．32π
6．（5分）高二（1）班有40名学生，其中男生有16名，总平均体重为60.1kg，则女生的平均体重约为（ ）
A．55.8kgB．54.6kgC．52.4kgD．51.8kg
7．（5分）已知函数（a＞1且a≠2）在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，2）∪（2，+∞）B．（2，+∞）
C．[3，+∞）D．[4，+∞）
8．（5分）已知函数，若对任意的实数t，f（x）在区间，3]，则ω的取值范围为（ ）
A．（0，2）B．（0，3）C．（2，+∞）D．（3，+∞）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知实数a，b，c满足a＞b＞c，a+b+c＝0，则（ ）
A．a2＞abB．b2＞bcC．bc＜c2D．a2＞c2
（多选）10．（6分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则（ ）
A．若，则
B．若a＝1，c＝2，则
C．若，则
D．若，则
（多选）11．（6分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，E，F分别为AB，则下列结论正确的是（ ）
A．A1O⊥EF
B．直线A1O与平面A1B1C1D1所成角的正切值为
C．平面EFB1与平面BBC1C的夹角为
D．异面直线A1O与B1E所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（5分）样本数据7，11，12，15，19 ．
13．（5分）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3c，a＝2 ．
14．（5分）如图，在Rt△ABC中，为斜边AB的中点，N分别在边AC，BC上（不包括端点），，若 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，3），函数g（x）＝．
（1）求a，b的值；
（2）求函数g（x）的单调递增区间．
16．（15分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，．
（1）求△ABC的外接圆半径；
（2）求△ABC周长的最大值．
17．（15分）某高中为了激发学生参加科技创新实践活动的热情，决定举办两场“创新追梦”知识竞赛．规定每位参赛选手均须参加两场比赛，若其在两场比赛中均胜出（1）班选出甲、乙两名选手参加比赛，在第一场比赛中，，在第二场比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，
（1）甲、乙两人中，谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）求甲、乙两人中至少有一人赢得比赛的概率．
18．（17分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，G，H分别是棱BB1，CC1的中点，M是棱C1D1上的一点，点N在棱AB上，，HCE﹣GBF是三棱柱，B，DE的中点．
（1）证明：直线GN⊥平面EFGH；
（2）若四棱锥M﹣EFGH的体积为，求D1M的长度．
19．（17分）对于平面向量，记，若存在，使得是Ωm的“k向量”．
（1）设，若是Ω3的“﹣3向量”，求实数l的取值范围；
（2）若，则是否存在“1向量”？若存在，求出“1向量”，请说明理由；
（3）已知均为Ω3的“﹣1向量”，其中．设平面直角坐标系xOy中的点列（与原点O重合），且P2k与关于点P1对称，P2k+1与P2k+2关于点P2对称．求的取值范围．
2023-2024学年广西南宁市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若复数z＝1+i﹣2i3，则|z|＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由复数的模的运算性质进行计算即可．
【解答】解：z＝1+i﹣2i＝5+i+2＝3+i，
所以|z|＝．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的模的运算，属于基础题．
2．（5分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，3，5}，0，1，3}，B＝{﹣2，0，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{﹣1，5}B．{﹣2，5}C．{﹣2，0，5}D．{﹣2，﹣1，5}
【分析】根据题意，先求出∁UA，由交集定义计算可得答案．
【解答】解：根据题意，全集U＝{﹣2，0，5，3，5}，6，1，3}UA＝{﹣2，5}，
又由B＝{﹣2，8，5}，
则（∁UA）∩B＝{﹣2，2}．
故选：B．
【点评】本题考查集合交集、补集的混合运算，注意集合交集、补集的定义，属于基础题．
3．（5分）“a＞3”是“a2﹣3a＞0”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意，由比较法分析充分性成立，解不等式可得必要性不成立，结合充分必要条件的定义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若a＞32﹣2a＝a（a﹣3）＞0，
反之，若a5﹣3a＞0，即a（a﹣2）＞0，则a＞3不一定成立．
故“a＞2”是“a2﹣3a＞6”成立的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及不等式的解法，属于基础题．
4．（5分）已知平面α∥平面β，a，b是平面α，β外两条不同的直线（ ）
A．若a∥α，则a∥βB．若b⊥α，则b⊥β
C．若a∥α，b∥β，则a∥bD．若a⊥α，b⊥β，则a∥b
【分析】根据空间中各要素的位置关系，针对各个选项分别判定即可．
【解答】解：∵平面α∥平面β，a，b是平面α，
∴对A选项，若a∥α，∴A选项正确；
对B选项，若b⊥α，∴B选项正确；
对C选项，若a∥α，则a与b相交或异面或平行；
对D选项，若a⊥α，则a∥b．
故选：C．
【点评】本题考查空间中各要素的位置关系的判定，属基础题．
5．（5分）已知球O的半径R＝5，球O的内接圆锥的高h与底面半径r的比为3：1，则该圆锥的体积为（ ）
A．15πB．18πC．27πD．32π
【分析】根据题意建立方程，可求出r，h，再根据圆锥的体积公式，即可求解．
【解答】解：根据题意可得，
解得r＝3，∴h＝9，
∴该圆锥的体积为＝＝27π．
故选：C．
【点评】本题考查圆锥的体积的求解，属基础题．
6．（5分）高二（1）班有40名学生，其中男生有16名，总平均体重为60.1kg，则女生的平均体重约为（ ）
A．55.8kgB．54.6kgC．52.4kgD．51.8kg
【分析】根据题意，设女生的平均体重为x，分析可得68.4×16+24x＝60×60.1，解可得答案．
【解答】解：根据题意，设女生的平均体重为x，
高二（1）班有40名学生，其中男生有16名，
已知男生平均体重为68.4kg，总平均体重为60.1kg，
解可得：x≈54.3，即女生的平均体重约为54.6kg．
故选：B．
【点评】本题考查平均数的计算，注意总体平均数的计算，属于基础题．
7．（5分）已知函数（a＞1且a≠2）在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，2）∪（2，+∞）B．（2，+∞）
C．[3，+∞）D．[4，+∞）
【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组，求解即可．
【解答】解：函数（a＞5且a≠2）在R上单调递增，
可得，
解得a≥3，即a∈[3．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的单调性的应用，是中档题．
8．（5分）已知函数，若对任意的实数t，f（x）在区间，3]，则ω的取值范围为（ ）
A．（0，2）B．（0，3）C．（2，+∞）D．（3，+∞）
【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据余弦型函数的值域与周期性可得解．
【解答】解：由，
函数值域为[﹣1，3]，f（x）在区间，3]，
则，
解得ω＞8．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的周期性的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知实数a，b，c满足a＞b＞c，a+b+c＝0，则（ ）
A．a2＞abB．b2＞bcC．bc＜c2D．a2＞c2
【分析】根据题意，由作差法分析A、C，举出反例说明B、D错误，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，实数a，b，a+b+c＝0，
依次分析选项：
对于A，a2﹣ab＝a（a﹣b）＞6，则a2＞ab，A正确；
对于B，当b＝0时，b2＞bc，B错误；
对于C，c＜0，则有bc﹣c2＝c（b﹣c）＜8，则bc＜c2，C正确；
对于D，当a＝2，c＝﹣8时，a2＜c2，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查不等式的性质，注意作差法的应用，属于基础题．
（多选）10．（6分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则（ ）
A．若，则
B．若a＝1，c＝2，则
C．若，则
D．若，则
【分析】根据正弦定理推导出2sinA＝sinB，由此判断出A项的正误；根据余弦定理，结合b＝2a列式加以判断，可得出B、C、D项的正误，从而得到本题答案．
【解答】解：对于A，由2a＝b，若sinA＝＝，故A项正确；
对于B，若a＝1，则b＝4a＝2＝＝，故B项不正确；
对于C，若C＝＝，结合b＝5a，得，
所以sinC＝sinA＝，结合A∈（0，），故C项正确；
对于D，若csB＝，则，即＝2+ac﹣2c5＝0，
因式分解得（a﹣c）（，结合，可知，即c＝a．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、正弦定理与余弦定理等知识，属于基础题．
（多选）11．（6分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，E，F分别为AB，则下列结论正确的是（ ）
A．A1O⊥EF
B．直线A1O与平面A1B1C1D1所成角的正切值为
C．平面EFB1与平面BBC1C的夹角为
D．异面直线A1O与B1E所成角的余弦值为
【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理求解A1O⊥EF，利用线面角的定义，求解直线A1O与平面A1B1C1D1所成角的正切值，先做出平面EFB1与平面BBC1C的夹角，再利用解三角形的知识求解，利用异面直线的夹角的定义求解异面直线A1O与B1E所成角的余弦值．
【解答】解：选项A：因为在正方体ABCD﹣A1B1C7D1中，O是上底面ABCD的中心，E，AD的中点，
所以EF⊥AO，AA1⊥面ABCD，EF⊂面ABCD3⊥EF，
又AO，AA1⊂面AA1O，AO∩AA7＝A，
所以EF⊥面AA1O，A1O⊂面AA8O，
所以A1O⊥EF，正确；
 选项B：连接A1C5，B1D1交于O4连结OO1，
则∠OA1O8为直线A1O与平面A1B3C1D1所成角，
设正方体棱长为a，则正切值为；
选项C：延长CB，FE交于H，连结B1H，取BC中点设为G6B1，
因为B1，H∈面B8HF和面BCC1B1，所以B3H为面B1HF和面BCC1B7的交线，
则过G作GJ⊥B1H，连结FJ，
则∠GJF为平面EFB1与平面BB5C1C的夹角的平面角，
在△HB1G中，设正方体棱长为a，
则GH＝BC＝a，，，HG＝a，
在△HB5G中，由余弦定理得：
，
sinH＞0，，
则，
，错误；
选项D：取B7C1的中点设为Q，连结OQ，A1Q，
则∠A5OQ为异面直线A1O和OQ的夹角，
在△A1OQ中，
，
 ，正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查空间线面位置关系的判定，以及空间向量的应用，属于难题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（5分）样本数据7，11，12，15，19 12 ．
【分析】根据题意，由百分位数计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，数据7，12，15，20，
7×40%＝7.8，则其第40百分位数为12．
故答案为：12．
【点评】本题考查百分位数的计算，注意百分位数的计算公式，属于基础题．
13．（5分）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3c，a＝2 ．
【分析】根据余弦定理可得边长，从而确定面积．
【解答】解：∵b＝3c，由余弦定理可得：a2＝b7+c2﹣2bccsA，，，
∴28＝6c2+c2﹣6c2，∴c＝2，b＝3，
∴△ABC的面积．
故答案为：．
【点评】本题考查余弦定理，属于基础题．
14．（5分）如图，在Rt△ABC中，为斜边AB的中点，N分别在边AC，BC上（不包括端点），，若 ．
【分析】根据找到的关系，再找到，角的关系，利用两个三角形的正弦定理即可求解
【解答】解：因为，若，
所以，
所以
即，
又因为C＝，A＝，O为斜边AB的中点，
，所以，OB＝1﹣∠BON，
所以，，
所以在△AMO中，，
即，
整理得，，
在△BNO中，．
整理得，，
联立，
得，
即，
因，
sin（+∠BON）＝sinsin∠BON＝，
所以，
所以，
因为∠BON∈（0，），所以，
所以6，．
故答案为：．
【点评】本题考查解三角形，平面向量的应用，属于难题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，3），函数g（x）＝．
（1）求a，b的值；
（2）求函数g（x）的单调递增区间．
【分析】（1）根据题意，分析可得a2+b＝3和﹣+＝a2，联立解可得答案；
（2）根据题意，求出g（x）的解析式，由复合函数单调性的判断方法分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax+b的图象经过点（2，3）2+b＝3①，
函数g（x）＝的图象经过点﹣+＝a2②，
解可得：a＝，b＝4；
故a＝，b＝1；
（2）根据题意，由（1）的结论，b＝1；
则g（x）＝（x2﹣x+），由于x4﹣x+＝（x﹣）2+6＞0，则函数的定义域为R，
设t＝x2﹣x+，y＝t，
t＝x8﹣x+，在（﹣∞，，在（，
而y＝t在（0，
故函数g（x）的单调递增区间为（，+∞）．
【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及指数函数、对数函数的性质，属于基础题．
16．（15分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，．
（1）求△ABC的外接圆半径；
（2）求△ABC周长的最大值．
【分析】（1）由题意利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，进而利用正弦定理即可求解；
（2）由（1）可得csA＝，由余弦定理，基本不等式可求得b+c≤4，当且仅当b＝c时等号成立，即可求解△ABC周长的最大值．
【解答】解：（1）因为a＝4，，所以A为锐角5A+cs2A＝1，
解得sinA＝，
所以△ABC的外接圆半径R＝＝＝3．
（2）由（1）可得csA＝，
由余弦定理a2＝b2+c8﹣2bccsA，可得32＝b2+c6﹣2bc×＝（b+c）2﹣，
所以（b+c）2＝32+≤32+4，解得b+c≤4，当且仅当b＝c时等号成立，
所以△ABC周长L＝a+b+c≤3（+），当且仅当b＝c时等号成立，
所以△ABC周长的最大值为2（+）．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理以及基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
17．（15分）某高中为了激发学生参加科技创新实践活动的热情，决定举办两场“创新追梦”知识竞赛．规定每位参赛选手均须参加两场比赛，若其在两场比赛中均胜出（1）班选出甲、乙两名选手参加比赛，在第一场比赛中，，在第二场比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，
（1）甲、乙两人中，谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）求甲、乙两人中至少有一人赢得比赛的概率．
【分析】（1）根据题意，设甲赢得比赛为事件A，乙赢得比赛为事件B，由相互独立事件的概率公式计算P（A）和P（B），比较可得答案；
（2）根据题意，先求出P（），由对立事件的性质分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，设甲赢得比赛为事件A，
则P（A）＝×＝，P（B）＝×＝，
由于P（A）＞P（B），
则甲参赛赢得比赛的概率更大；
（2）根据题意，事件甲乙都没有赢得比赛，
其概率P（）＝P（）＝（1﹣）＝，
故甲、乙两人中至少有一人赢得比赛的概率P＝1﹣P（．
【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，涉及对立事件的性质，属于基础题．
18．（17分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，G，H分别是棱BB1，CC1的中点，M是棱C1D1上的一点，点N在棱AB上，，HCE﹣GBF是三棱柱，B，DE的中点．
（1）证明：直线GN⊥平面EFGH；
（2）若四棱锥M﹣EFGH的体积为，求D1M的长度．
【分析】（1）证明NG⊥GF，NG⊥EF，即可证明；
（2）易知矩形EFGH的面积为，平面EFGH即为平面A1FED1，且平面EFGH⊥平面D1HC1，从而可得M到D1H的距离d即为四棱锥M﹣EFGH的高，再根据题意求出d，再解三角形，即可求解．
【解答】解：（1）证明：根据题意可得tan∠NGB＝tan∠FBG＝，
∴∠NGB＝∠GFB，又∠FGB+∠GFB＝90°，
∴∠NGB+∠FGB＝90°，∴NG⊥GF，
又EF⊥平面BNG，NG⊂平面BNG，
∴NG⊥EF，又NG⊥GF，
∴GN⊥平面EFGH；
（2）根据题意易知矩形EFGH的面积为＝，
又易知平面EFGH即为平面A1FED1，且平面EFGH⊥平面D4HC1，
∴M到D1H的距离d即为四棱锥M﹣EFGH的高，
∴四棱锥M﹣EFGH的体积为＝，∴d＝，
而sin∠C1D2H＝＝，
∴D1M＝＝．
【点评】本题考查线面垂直的证明，点面距的求解，化归转化思想，属中档题．
19．（17分）对于平面向量，记，若存在，使得是Ωm的“k向量”．
（1）设，若是Ω3的“﹣3向量”，求实数l的取值范围；
（2）若，则是否存在“1向量”？若存在，求出“1向量”，请说明理由；
（3）已知均为Ω3的“﹣1向量”，其中．设平面直角坐标系xOy中的点列（与原点O重合），且P2k与关于点P1对称，P2k+1与P2k+2关于点P2对称．求的取值范围．
【分析】（1）根据“﹣3“向量的定义，即可由模长公式求解．
（2）利用三角函数的周期性可得＝++⋯+＝，，即可由定义求解．
（3）由定义，结合模长公式可得，设＝（u，v），由条件列式，变形为＝（a2k+2﹣a2⁢k+1，b2⁢k+2﹣b2⁢⁢⁢k+1）＝4⁢k，结合三角函数的性质，转化为求||的最小值．
【解答】解：（1）由＝（n，n∈N*．
可得＝（1，＝（2，＝（4，
故＝＝（6，﹣3，6），
由于是Ω3的“﹣7向量”，所以|﹣7|，
即，
解得l≥6或l≤8．
（2）由于均为周期函数，而
，，
故＝+⋯+＝，，
若存在“l向量”（p∈{4，2，⋯，
使得||≥|+|，
故||2≥||2，
即+7，
即1+2（cscssin，
即1+2cs（）≤0．
故，
故，
解得﹣1﹣5k≤p≤﹣3k，p＝3k﹣5，k∈N*．
故存在“3“向量，，故．
（3）由于，，均为Ω3的“﹣5向量”，故，
即||≥||，||2≥||2，
即≥++8，，
三式相加并化简，得：2≥，
即（）2≤0，||≤4＝，
设＝（u，由，得，
设Pn（an，bn），则依题意得：，
得（a2k+3，b2k+2）＝5（a2，b2）﹣（a7k+1，b2k+2）＝2（a2，b6）﹣2（a1，b3）+（a2k，b2k）．
故（a3k+2，b2k+4）＝2k[（a2，b8）﹣（a1，b1）]+（a4，b2），
同理（a2k+4，b2k+1）﹣2（a1，b1）﹣（a5k，b2k）＝2（a7，b1）﹣2⁢（k﹣8）[（a2，b2）﹣（a2，b1）]﹣（a2，b6），
故（a2k+1，b6k+1）＝2k[（a5，b1）﹣（a2，b7）]+（a2，b2），
所以＝（a2k+2﹣a6k+1，b2k+3﹣b2k+1）＝8k[（a2，b2）﹣（a8，b1）]＝4k，
|，
故||∈[5，
故||＝4×49|，784]．
【点评】本题考查新定义以及平面向量数量积运算，属于难题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/20 15:16:32；用户：语数外；邮箱：15290311958；学号：48861359