2024-2025学年上海外国语大学附属浦东外国语学校高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海外国语大学附属浦东外国语学校高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.“a=0”是“函数f(x)=x3−ax是增函数”的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
2.若圆C1:(x−1)2+(y−2)2=4与圆C2:(x+a)2+(y+1)2=9外切，则实数a的值为( )
A. 3B. 5C. 3或−5D. 5或−3
3.如图是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )
A. f(x)在(−3,1)上是增函数B. f(x)在(1,2)上是减函数
C. 当x=2时，f(x)取得极小值D. 当x=4时，f(x)取得极小值
4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)，点F为抛物线C的焦点，点A、B在抛物线C上(A在第一象限)，点D为点A关于原点O的对称点，且DF⊥AB，若AF=λFB，①点A在一条定直线上；②λ是定值.则( )
A. ①正确，②不正确B. ①不正确，②正确
C. ①正确，②正确D. ①不正确，②也不正确
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.抛物线y2=12x的准线方程是 ．
6.双曲线x22−y23=1的焦距为 ．
7.设函数f(x)= 2x−1，则limℎ→0f(1+ℎ)−f(1)ℎ= ．
8.已知点A−1,0，B(2,0)，动点M满足2|MA|=|MB|.则动点M的轨迹方程 ．
9.已知圆M:x2+y2−4x=0，点A1, 3，则经过点A且与圆M相切的直线方程为 ．
10.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线l:x+3y+2025=0垂直，则C的离心率为 ．
11.已知P为抛物线C:x2=2y上的动点，F为C的焦点，若点A(1,2)，则|PF|+|PA|的最小值为 ．
12.某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度ℎ(单位：m)与跳起后的时间t(单位：s)存在函数关系ℎ(t)=−4.9t2+4.8t+11，ℎ(t)的图象如图所示，已知曲线ℎ(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，根据图象，给出下列四个结论：
①在t=t0时高度ℎ关于时间t的瞬时变化率为0；
②曲线ℎ(t)在t=t2附近比在t=t1附近下降得慢；
③曲线ℎ(t)在t=t3附近比在t=t4附近上升得快；
其中所有正确结论的序号是 ．
13.已知函数y=f(x)的导函数为y=f′(x)，且f(x)=13x3+f′(1)x2+1，则y=f(x)的图象在x=3处的切线方程为 ．
14.设a∈R,f(x)=x2+ax+lnx，若函数y=f(x)存在两个不同的极值点，则a的取值范围为 ．
15.定义两个点集S、T之间的距离集为d(S,T)= |PQ|P∈S,Q∈T，其中|PQ|表示两点P、Q之间的距离，已知k、t∈R，S= (x,y)y=kx+t,x∈R，T= (x,y)y= 4x2+1,x∈R，若d(S,T)=(1,+∞)，则t的值为 ．
16.已知实数x,y满足x>e2y>12，且ylnx−ylny=2x2e2x，若实数a,b使得关于x的方程xy+ax+b=0在区间[1,2]上有解，则a2+b2的最小值是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知函数f(x)=x3−ax2+ba,b∈R的图象过点(2,4)，且f′(1)=1．
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间和极值．
18.(本小题14分)
某公司生产的某批产品的销售量x万件(生产量与销售量相等)，x>0，已知生产该批产品共需投入成本x3+12x2+36x万元，产品的销售价格定为180+200x元/件．
(1)将该产品的利润y万元表示为销售量x万元的函数；
(2)当销售量x投入多少时，该公司的利润最大，最大值多少？
19.(本小题14分)
已知抛物线C:y2=4x，定点M(0,1)．
(1)过点M且过抛物线C的焦点F的直线，交抛物线C于A、B两点，求|AB|；
(2)求过点M且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线方程．
20.(本小题14分)
已知椭圆Γ:x22+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l与椭圆Γ交于A、B两点．
(1)求Γ的短轴长及▵F1AB的周长；
(2)若直线l过点M(2,1)，求弦长|AB|；
(3)若直线l不平行于坐标轴，点R为点A关于x轴的对称点，直线BR与x轴交于点N，求▵BF1N面积的最大值．
21.(本小题14分)
设P是坐标平面xOy上的一点，曲线Γ是函数y=f(x)的图像．若过点P恰能作曲线Γ的k条切线(k∈N)，则称P是函数y=f(x)的“k度点”．
(1)判断点O(0,0)是否为函数y=lnx的1度点，并说明理由;
(2)已知00，y′=cst，
则曲线y=sinx在点(t , sint)处的切线方程为y−sint=(x−t)cst，
则该切线过点(0 , π)，当且仅当π−sint=−tcst，
设G(t)=sint−tcst−π，则当00时，y=ℎ(t)仅(−∞ , 0)上有一个零点，也不合要求，
因此y=ℎ(t)两个不同的零点当且仅当ℎ(0)=0或ℎ(a)=0，
若a