2024-2025学年上海外国语大学附属浦东外国语学校高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海外国语大学附属浦东外国语学校高二（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.数据x1，x2，…，xn的方差是5，则数据2x1−1，2x2−1，…，2xn−1的方差是( )
A. 9B. 10C. 19D. 20
2.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n B. 若α⊥β，m//α，n//β，则m⊥n
C. 若m⊥α，n⊥β，m//n，则α⊥β D. 若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
3.抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用(x,y)表示一次试验的结果.定义事件：事件A为“x+y为奇数”，事件B为“xy为奇数”，事件C为“x为奇数”，则下列结论错误的是( )
A. A与B互斥B. A与B对立C. P(C)=0.5D. A与C相互独立
4.在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=max{|x1−x2|，|y1−y2|}为两点A(x1y1)、B(x2,y2)的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q，称d(P,Q)的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d(P,t)，给出下列三个命题：
①对任意三点A、B、C，都有d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)；
②已知点P(3,1)和直线l：2x−y−1=0，则d(P,l)=43；
③定点F1(−c,0)、F2(c,0)，动点P(x,y)满足|d(P,F1)−d(P,F2)|=2a(2c>2a>0)，则点P的轨迹与直线y=k(k为常数)有且仅有2个公共点；
其中真命题的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.直线y= 3x−3在y轴上的截距是______．
6.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中m的值______．
7.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石；(结果四舍五入，精确到个位)．
8.从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(A∪B)= ______.(结果用最简分数表示)
9.已知一个圆锥的高为6，且侧面展开图恰是一个半圆，则该圆锥的侧面积为______．
10.两条平行直线2x+3y−7=0与4x+6y+7=0之间的距离为______．
11.直线(2+λ)x+(λ−1)y−2λ−1=0经过的定点坐标为______．
12.在四面体O−ABC中，空间的一点M满足34OM=14MA+16OB+λOC，若M、A、B、C四点共面，则λ= ______．
13.已知点A(2,3)，点B(−2, 3)，直线l过点P(−1,0)，若直线l与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是______．
14.已知A，B，C是表面积为36π的球O的球面上的三个点，且AC=AB=BC=3，则球心O到平面ABC的距离为______．
15.线从P(2,0)出发，先后经x=4，y=x两直线反射后，仍返回到P点.则光线从P点出发回到P点所走的路程为______．
16.编号为1，2，3，4的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记m表示前两个球号码的平均数，记n表示三个球号码的平均数，则m与n之差的绝对值不超过0.2的概率是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知点A(1,0)，B(−1,2)．
(1)设m∈R，若直线AB与直线x−my+1=0垂直，求m的值；
(2)求过点B且与直线2x−y+1=0夹角的余弦值为2 55的直线方程．
18.(本小题12分)
如图，在圆柱OO1中，AB是底面圆O的直径，P为半圆弧AB上一点，AA1是圆柱的母线.已知AP= 3,BP=1，圆柱的体积为3π．
(1)求圆柱OO1的表面积；
(2)求异面直线A1P与AB所成角的大小．
19.(本小题12分)
某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间[50,100]，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数；
(2)现学校准备利用分层随机抽样方法，从[80,90)和[90,100]的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件A为“至少有1人测试成绩位于区间[90,100]”，求事件A发生的概率．
20.(本小题12分)
甲、乙二人进行一次羽毛球比赛，有五局三胜制和三局两胜制两种赛制.五局三胜制中，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束；三局两胜制中，约定先胜2局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束.假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．
(1)若采用五局三胜制，且已知前2局中，甲、乙各胜1局．
①求再赛2局结束这次比赛的概率；
②求甲获得这次比赛胜利的概率．
(2)采用五局三胜制还是三局两胜制对甲更有利，并通过计算说明理由．
21.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=AC=PC=4，PA=PB=2 2，M是线段PC上的点．
(1)求证：平面ABP⊥平面ABC；
(2)若直线PM与平面ABM所成角的正弦值为 64，求PM的长；
(3)若MQ⊥平面ABC，Q为垂足，直线PQ与平面ABM的交点为N，当三棱锥M−ABQ体积最大时，求PN的长．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.D
5.−3
6.3
7.169
8.726
9.24π
10.21 1326
11.(1,1)
12.712
13.[45°,120°]
14. 6
15.2 10
16.38
17.解：(1)因为A(1,0)，B(−1,2)，
所以直线AB的斜率为2−0−1−1=−1，
因为直线AB与直线x−my+1=0垂直，
所以1m×(−1)=−1，
解得m=1；
(2)如图：

点E为过点B且与直线2x−y+1=0夹角的余弦值为2 55的直线与直线y=2x+1的交点，
点C(−12,0)为直线y=2x+1与x轴的交点，点D(0,1)为直线AB与直线y=2x+1的交点，
点E′(−1,−1)为过点B作x轴的垂线交直线y=2x+1的交点，∠α=∠BED，∠β=∠BDE，
设夹角为α，因为csα=2 55，所以sinα= 55，
因为|AC|=32，|CD|= 12+(−12)2= 52，
所以在△ACD中，sinβ|AC|=sin45°|CD|，所以sinβ=3 22 5，
因为|BD|= 12+12= 2，所以在△BDE中，sinβ|BE|=sinα|BD|，
所以3 22 5|BE|= 55 2，所以|BE|=3，易知|BE′|=|BE|=3，
设交点E坐标为(x,2x+1)，所以(x+1)2+(2x+1−2)2=32，
所以x=75或−1，所以交点坐标为(75,195)或(−1,−1)，
所以直线方程为x−75y−195=−1−752−195或x−(−1)y−(−1)=−1−(−1)2−(−1)，
即3x−4y−11=0或x=−1．
18.解：(1)在圆O中，由AP= 3,BP=1，得AB=2，
∴圆柱的底面半径为r=1，设圆柱的高为ℎ，由π×12×ℎ=3π，得ℎ=AA1=3．
则圆柱OO1的表面积为2πr2+2πrℎ=2π+6π=8π；
(2)由题意知A1B1/​/AB，则异面直线A1P与AB所成角即为∠PA1B1，
又A1P= AA12+AP2= 32+( 3)2=2 3，
在△PA1B1中，又A1B1=AB=2，B1P= BB12+BP2= 32+12= 10，
∴cs∠PA1B1=(2 3)2+22−( 10)22×2 3×2= 34．
则异面直线A1P与AB所成角的大小为arccs 34．
19.解：(1)根据题意可得(0.015+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，解得a=0.030，
所以这40名学生测试成绩的平均数为55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74.5；
(2)因为80，90]和[90,100]这两组的频率之比为0.25：0.1=5：2，
所以在[80,90]中抽5人，在[90,100]中抽2人，
设从[80,90]学生中抽取的5人为a，b，c，d，e，从[90,100]学生中抽取的2人为1，2，
则这个试验的样本空间为Ω={ab,ac,ad,ae,a1,a2,bc,bd,be,b1,b2,cd,ce,c1,c2,de,d1,d2,e1,e2,12}，
故n(Ω)=21，
又A={a1,a2,b1,b2,c1,c2,d1,d2,e1,e2,12}，则n(A)=11，
所以事件A的概率为P(A)=n(A)n(Ω)=1121．
20.解：(1)①根据题意，设Ai=“第i局甲胜”，Bj=“第j局乙胜”(i,j=3,4,5)，
设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A=A3A4+B3B4，
由于各局比赛结果相互独立，且事件A3A4与事件B3B4互斥．
所以P(A)=P(A3A4+B3B4)=P(A3A4)+P(B3B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52．
故再赛2局结束这次比赛的概率为0.52．
②根据题意，记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，则B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5，
由于各局比赛结果相互独立，且事件A3A4，B3A4A5，A3B4A5两两互斥，
所以P(B)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648．
故甲获得这次比赛胜利的概率为0.648．
(2)记“三局两胜制下甲获胜”为事件C，则C=A1A2+A1B2A3+B1A2A3
由于各局比赛结果相互独立，且事件A1A2，A1B2A3，B1A2A3互斥．
P(C)=0.6×0.6+0.6×0.4×0.6+0.4×0.6×0.6=0.648，
记“五局三胜制下甲获胜”为事件D，
分三种情况讨论：
①若3局赛完，甲连胜3局，
②若4局赛完，第4局甲获胜，前3局中，甲胜2局，
③若5局赛完，第5局甲获胜，前4局中，甲胜2局，
由于各局比赛结果相互独立，且以上事件均两两互斥，P(D)=0.63+3×0.63×0.4+6×0.63×0.42=0.68256，
因为P(D)>P(C)，故五局三胜制对甲更有利．
21.解：(1)证明：取AB的中点O，连接OC、OP，
因为AB=4，PA=PB=2 2，则PO⊥AB，
所以PA2+PB2=AB2，所以PA⊥PB，所以PO=12AB=2，
又因为AB=BC=AC=4，所以OB⊥OC，则CO= BC2−BO2= 42−22=2 3，
又因为PO2+CO2=PC2，所以PO⊥OC，
又因为PO⊥AB，AB∩OC=O，AB、CO⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC，
又因为PO⊂平面APB，所以平面ABP⊥平面ABC．
(2)因为OP⊥平面ABC，OC⊥AB，
以点O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A(−2,0,0)、B(2,0,0)、C(0,2 3,0)、P(0,0,2)，
所以BP=(−2,0,2)，
因为M为棱PC上的点，
设PM=λPC=λ(0,2 3,−2)=(0,2 3λ,−2λ)，其中0≤λ≤1，
所以BM=BP+PM=(−2,0,2)+(0,2 3λ,−2λ)=(−2,2 3λ,2−2λ)，且AB=(4,0,0)，
设平面ABM的法向量为m=(x1,y1,z1)，
则m⊥ABm⊥BM，则m⋅AB=4x1=0m⋅BM=−2x1+2 3λy1+(2−2λ)z1=0，
不妨取y1=λ−1，可得m=(0,λ−1, 3λ)，
因为线PM与平面ABM所成角的正弦值为 64，
所以|cs|=|2 3λ|4λ× (λ−1)2+( 3λ)2= 64，
则24λ2−2λ+1=1，
化简可得：4λ2−2λ−1=0，Δ>0，
解得：λ=1+ 54或λ=1− 54(舍去)．
所以PM=λPC=1+ 5．
(3)设M(x0,y0,z0)，
因为PM=λPC=(0,2 3λ,−2λ)=(x0,y0,z0−2)，其中0