2024-2025学年上海市行知中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市行知中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设平面向量a=(4,2),b=(m,−1)，若a与b不能作为平面向量的一组基底，则a⋅b=( )
A. 2B. −10C. −6D. 0
2.已知i为虚数单位，若复数(a+i)2i为正实数，则实数a的值为( )
A. 2B. 1C. 0D. −1
3.已知函数f(x)=cs2x+π4，将y=f(x)的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移|φ|个单位长度，所得的图象关于原点对称，则φ的一个值是( )
A. 3π4B. 3π8C. 5π16D. 3π16
4.已知f(x)是定义在R上的偶函数，若任意x1,x2∈[0,+∞)且x1>x2时，f(x1)−f(x2)x1−x2>x1+x2恒成立，且f(3)=0，则满足f(m+3)≤m2+6m的实数m的取值范围为( )
A. [−6,0]B. [0,1]C. [−3,2]D. [−2,2]
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.函数f(x)=1x2的导数f′(x)= ．
6.已知i为虚数单位，复数z满足z=2i，则z= ．
7.若sinθ=23，则cs(θ+π2)= ．
8.已知全集U={x|y= lg2x},A=[1,5]，则A= ．
9.已知向量a=(1,3)，b=(2,−4)，则a在b上的投影数量是 ．
10.若扇形的面积为4，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为 ．
11.已知向量a=(−2,3)，点A(2,−1)，向量AB与a方向相同，且AB=2 13，则点B的坐标为 ．
12.若关于x的方程x2−x+m=0的一个虚根的模为2，则实数m的值为 ．
13.若函数f(x)=2x(x+a)−1在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是 ．
14.在△ABC中，过中线AD的中点E作一条直线分别交AB、AC于M、N两点，若AM=xAB，AN=yAC(x>0,y>0)，则3x+2y的最小值为 ．
15.设z1,z2∈C且z1=iz2，满足z1−2i=2，则z1−z2的取值范围为 ．
16.若对任意的x∈R，存在θ∈0,π2，满足不等式|x+1|+|x−a|≥1sin2θ+1cs2θ，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知函数f(x)=lg2(4x+1)−kx是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若f(x)>lg25−1，求x的取值范围．
18.(本小题14分)
已知复数z1=a+2+(a2−3)i,z2=2−(3a+1)i(a∈R,i是虚数单位)．
(1)若复数z1−z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；
(2)设a=1，分别记复数Z1,Z2在复平面上对应的点为A,B，求OA与OB的夹角．
19.(本小题14分)
设▵ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知C=π3，且2cs2A+4cs(B+C)+3=0．
(1)求角A的大小；
(2)如图，D是BC延长线上的一点，在▵ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=4.过点P分别作直线CA,CD的垂线PM,PN，垂足分别是M,N.设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．
20.(本小题14分)
已知函数f(x)=sinx−csx．
(1)求方程f(x)=cs2x在[0,π]上的解集；
(2)设函数F(x)=f(x)+2lnx；
①证明：y=F(x)在区间π4,π2上有且只有一个零点；
②记函数y=F(x)的零点为x0，证明：−120，向量组a1,a2,a3,⋯,a7是否存在“−1向量”？给出你的结论并说明理由；
(3)已知a1,a2,a3均是Γ3的“−1向量”，其中a1=(sinx,csx),a2=(2csx,2sinx).设在平面直角坐标系中有一点列P1,P2,P3,⋯,Pn满足：P1为坐标原点，P2为a3的位置向量的终点，且P2k+1与P2k关于点P1对称，P2k+2与P2k+1(k∈N且k>0)关于点P2对称，求P2025P2026的最小值．
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.A
5.−2x−3/−2x3
6.2i
7.−23
8.(5,+∞)
9.− 5
10.2
11.(−2,5)
12.4
13.(−12,1)
14.5+2 64
15.[0,4+2 2]
16.(−∞,−5]∪[3,+∞)
17.(1)f(x)的定义域为R，
f(−x)=lg24−x+1+kx=lg24x+1−2+kx，
因为f(x)=lg24x+1−kx是偶函数，
所以f(x)=f(−x)对任意x∈R恒成立，
所以lg24x+1−2x+kx=lg24x+1−kx对任意x∈R恒成立，
则2(k−1)x=0恒成立，因此k=1；
(2)若lg24x+1−x>lg25−1，则lg24x+15>x−1
所以4x+15>2x−1，所以4x−5×2x−1+1>0，
令t=2x，则有t2−52t+1>0，即2t2−5t+2>0，
解得t2，所以2x2，
所以x< −1，或x>1．
18.(1)由题意，z1−z2―=a+a2−3a−4i，
第一象限需满足：a>0a2−3a−4>0，解得a>4．
(2)当a=1时，点A(3,−2)，B(2,−4)，OA→=(3,−2),OB→=(2,−4),
设OA→,OB→的夹角为θ，则θ∈[0,π]，
且csθ=14 13⋅2 5=7 65,θ=arccs7 6565．
19.(1)由2cs2A+4cs(B+C)+3=0，可得2(2cs2A−1)−4csA+3=0
即4cs2A−4csA+1=0，即得(2csA−1)2=0，故得csA=12，
因0