2024-2025学年北京市顺义区杨镇一中高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市顺义区杨镇一中高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算A33=( )
A. 1B. 3C. 6D. 9
2.函数y=1x的导数是( )
A. y′=exB. y′=lnxC. y′=1x2D. y′=−x−2
3.小王同学在完成了高中必修课程的学习后，准备在物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课程中选择三门来学习，他已经选择了物理，那么他选择另外两门的不同选法种数为( )
A. 10B. 15C. 20D. 30
4.已知数列{an}满足a1=3，an+1=an+2(n∈N∗)，则a5=( )
A. 7B. 11C. 13D. 2n+1
5.在(x−2x)6的展开式中，常数项为( )
A. −20B. 20C. −160D. 160
6.设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则S4a2( )
A. 152B. 172C. 2D. 4
7.已知函数f(x)的图象如图所示，那么下列各式正确的是( )
A. f′(1)0
C. f′(3)0
8.某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求数学不排在第一节和第四节，则该班周一上午不同的排课方案共有( )
A. 24种B. 18种C. 12种D. 6种
9.已知{an}是等比数列，则“0>a1>a2”是“{an}为递减数列”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10.设P为曲线y=ex上一点，Q为曲线y=lnx上一点，则|PQ|的最小值为( )
A. 22B. 1C. 2D. 2
二、填空题：本题共5小题，共30分。
11.C53−C42= ______.(用数字作答)
12.求函数f(x)=ln(2x)，在x=1处切线斜率k= ______．
13.(2x+1)6的二项展开式中系数最大的项为______.(结果中含有未知数x)
14.在0，1，2，3，4，5这6个数中任取4个，可组成无重复数字的四位数的个数______．
15.已知函数f(x)=lnxx．
(1)函数的最大值等于______；
(2)若对任意x1，x2∈[a,+∞)，都有f(x1)−f(x2)≤1e成立，则实数a的最小值是______．
三、解答题：本题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知(x+m)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5(m≠0)满足a2=a3．
(1)求实数m；
(2)求a4，a5．
17.(本小题12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=4，S4=20.等比数列{bn}满足b2是a1和a2的等差中项，且a1+b2=a2+b1．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题14分)
已知函数f(x)=13x3−x2−3x−2(x∈R)．
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)判断函数f(x)零点的个数，并说明理由．
19.(本小题14分)
数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=2an+1，n=1，2，3，⋯．
(Ⅰ)求a2，a3，a4的值；
(Ⅱ)求{an}的通项公式；
(Ⅲ)设Tn=a2+a4+a6+⋯+a2n，求Tn的表达式．
20.(本小题14分)
已知函数f(x)=ex切线方程为y=x+1．
(1)求切点坐标；
(2)若对任意x∈R，都有f(x)≥k(x+1)恒成立，求k最大值．
21.(本小题14分)
已知函数f(x)=eaxx，其中a>0．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当x10时，判断f(x1)−f(x2)与1x1−1x2的大小，并说明理由．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.B
5.C
6.A
7.A
8.C
9.A
10.C
11.4
12.1
13.240x2
14.300
15.1e 1
16.(1)∵(x+m)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5(m≠0)的通项公式为Tr+1=C5r⋅mrx5−r(0≤r≤5,r∈N)，
且满足a2=a3，
∴C53⋅m3=C52⋅m2，解得m=1或m=0(舍去)，
∴实数m=1；
(2)根据通项公式为Tr+1=C5r⋅mrx5−r(0≤r≤5,r∈N)，
得当5−r=4时，即r=1时，a4=5m=5，
当5−r=5，即当r=0时，a5=1．
17.解：(Ⅰ)∵S4=a1+a42×4=2(a1+a4)=2(a2+a3)=20，即a2+a3=10，
又a2=4，∴a3=6，
所以等差数列{an}的公差d=a3−a2=2，
等差数列{an}的首项a1=a2−d=4−2=2，
∴an=a1+(n−1)×d=2+(n−1)×2=2n，
(Ⅱ)b2是a1和a2的等差中项，
∴2b2=a1+a2=2+4=6，即b2=3，
又a1+b2=a2+b1，
∴2+3=4+b1，
∴b1=1，
所以等比数列{bn}的公比q=b2b1=3，
∴Tn=1×(1−3n)1−3=3n−12(n∈N∗).
18.解：(Ⅰ)由f(x)=13x3−x2−3x−2，得f′(x)=x2−2x−3，
由f′(x)>0，解得x3；
由f′(x)