四川省成都市成华区某校2025届高三下学期4月三诊模拟数学试卷（Word版附解析）

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符合要求的．
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的定义域化简集合 ，再利用交集的定义求解即可.
【详解】依题意， ，函数 有意义，则 ，即 ，
所以 .
故选：B
2. 某中学随机抽取了 60 名学生，统计了他们某天学习数学的时间，数据如下表，则该组数据的第 75 百分
位数是（ ）
学习时间／分钟 60 70 80 90 100 110 120
人数 9 10 14 12 8 5 2
A. 75 分钟 B. 90 分钟 C. 95 分钟 D. 100 分钟
【答案】C
【解析】
【分析】应用百分位数定义计算求解.
【详解】因为 ，所以第 75 百分位数是所有数据从小到大排列的第 45 项和第 46 项的平均数，
由表中数据可知，第 45 项为 90，第 46 项为 100，所以第 75 百分位数是 分钟．
故选：C.
3. 已知平面向量 ，则 在 方向上的投影向量坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
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【解析】
【分析】根据向量 坐标运算结合投影向量的定义运算求解.
【详解】因为 ，则 ，
所以 在 方向上的投影向量坐标为 .
故选：B.
4. 已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴非负半轴，若角 的终边过点 ，则 =（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据条件求 ，再代入二倍角正切公式，即可求解.
【详解】由条件可知， ，
则 .
故选：A
5. 甲､乙等 5 名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择
一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲､乙两人恰好选择同一岗位的选择方法有（ ）种.
A. 18 B. 27 C. 36 D. 72
【答案】C
【解析】
【分析】对人数分 、 两种情况讨论，先分组，再分配.
【详解】若甲､乙两人恰选择同一岗位且人数配比为 时，则有 种不同安排方法；
若甲､乙两人恰选择同一岗位且人数配比为 时，则有 种不同安排方法；
所以共有 种不同安排方法.
故选：C
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6. 已知抛物线 ，点 ，直线 ，记 关于 的对称点为 ，且
在 上，则 的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先应用点关于直线对称得出对称点 ，再把点代入抛物线求出 ，进而得出准线方程.
【详解】设 ，因为 的斜率为 ，所以直线 的斜率为 ，
故直线 方程为 4，
将直线 的方程与 联立，设两直线的交点为 ，则 ，
所以 ，解得 ，将 的坐标代入 的方程，
有 ，解得 ，故 的准线方程为 .
故选:B.
7. 已知函数 的定义域为 ，且 为奇函数， 为偶函数， ，则
=（ ）
A. 4036 B. 4040 C. 4044 D. 4048
【答案】D
【解析】
【分析】根据题中 为奇函数， 为偶函数，从而可得出 为周期为 4 的函数，从
而可求解.
【详解】由题意得 为奇函数，所以 ，即
，所以函数 关于点 中心对称，
由 为偶函数，所以可得 为偶函数，则 ，所以函数 关于直线
对称，
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所以 ，从而得 ，所以函数 为周期为 4 的函数，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 关于直线 对称，所以 ，
又因为 关于点 对称，所以 ，
又因为 ，又因为 ，所以
，
所以 ，故 D 正确.
故选：D
8. 在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左焦点为 ，过 的直线 交圆
于点 ，交 的右支于点 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过 作 ，设 ，利用几何关系计算得出 ，再在 中利用勾股
定理即可得.
【详解】设双曲线的右焦点为 ，连接 ，过 作 ，垂足为 ，
则 ，所以 ．
因为 ，所以 ，即 为线段 的中点．
因为 为 的中点，所以 ，所以 ， ．
设 ，则 ，
所以 ， ， ，
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所以 ．
在 中，由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，所以 ， ．
在 中，由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，所以 ．
故选：C．
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 若 的展开式的各二项式系数之和为 32，则（ ）
A.
B. 展开式中只有第三项的二项式系数最大
C. 展开式中 项的系数为 1960
D. 展开式中系数为有理数的项共有 2 项
【答案】AC
【解析】
【分析】由题设得 即可求解 n 判断 A；由 得二项式系数最大的是 即可求解判断 B；
求出展开式的通项公式，再令 即可求解判断 C；由通项公式令 即可求解判断 D.
【详解】对于 A，由题意得 ，故 A 正确；
对于 B，因为 ，所以展开式中的二项式系数最大的是 ，
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分别为展开式中的第三项和第四项的二项式系数，故 B 错误；
对于 C， 的展开式的通项公式为 ，
令 ，则 ，即展开式中 项的系数为 1960，故 C 正确；
对于 D，因为 的展开式的通项公式为 ，
所以若 ，则 时，对应的项为 ，均为有理项，
所以展开式中系数为有理数的项共有 3 项，故 D 错误.
故选：AC
10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 的值域为
B. 若函数 关于 对称，则 的最小值为
C. 若函数 在 上单调，则 的取值范围是
D. 若 ，当 时，函数 的所有零点的和为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，化简可得 ，结合正弦函数性质可得出值域；对于 B，利用对
称性，可得出 ，得出 的最小值；对于 C，结合正弦函数的单调性列不等式，即可求出
的取值范围；对于 D，求出零点的值，即可求和．
【详解】因为 ，
又 ，
所以函数 的值域为 ，所以选项 A 正确；
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由函数 关于 对称可得， ，
，
， 的最小值为 ，所以选项 B 正确；
若函数 在 上单调，
则 ， ，
解得 ， ，
，所以选项 C 错误；
若 ，则 ，
令 ，即 ，
当 时，则 ，
，
则 ，
，所以选项 D 正确．
故选：ABD．
11. 法国天文学家乔凡尼•多美尼科•卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的
距离之积为常数的点的轨迹，并称之为卡西尼卵形线（Cassini Oval）．已知在平面直角坐标系 中，
， ，动点 满足 ，其轨迹为 ．下列结论中，正确的是（ ）
A. 曲线 关于 轴对称
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B. 原点始终在曲线 的内部
C. 当 时， 面积的最大值为
D. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】设 ，由题意求得轨迹方程，将 代入方程可判断 A；当 时，将 代入方程
计算可判断 B；令 ，则 ，求得 ，可求得最大面积判
断 C；令 ，可得 ，利用二次函数的性质可求得最大值.
【详解】设 ，由 ，得 ．
将 代入上式，等式仍成立，知曲线 关于 轴对称，所以选项 A 正确；
当 时，将 代入等式成立，知原点在曲线上，所以选项 B 错误；
当 时，方程整理得 ．
令 ，则 ，
若方程有两个负根，则 ，推出 无解，故方程至少有一个正根，
由 得 ， 面积的最大值为 ，所以选项 C 正确．
由 ，得 ．
令 ，得 ，所以 ．
所以 ．所以 ．所以选项 D 正确．
故选：ACD．
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 复数 z 满足 （ 为虚数单位），则 z 的虚部为_______.
【答案】
【解析】
【分析】设 化简式子求得 值即可.
【详解】设 ，则 ，即 得 ，故 z 的虚部为 .
故答案为：
13. 在平行四边形 中， ， 与 交于点 ， ，则该平行四边形
的面积为____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理和三角形面积公式求解.
【详解】
如图，因为四边形 是平行四边形，所以 ，设 .
在 中， ， ，根据余弦定理 ，
在 中， ， ，根据余弦定理
，
两式相减可得， .
所以
故答案为： .
14. 在三棱锥 中， 两两垂直，且 ．若 M 为该三棱锥外接球上的
一动点，则 的最小值为____________.
【答案】
【解析】
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【分析】将三棱锥放入正方体中建立空间直角坐标系，表示出相关点的坐标，再结合空间向量的线性运算
将 用三角函数表示，最后利用余弦函数的有界性求解即可．
【详解】三棱锥 中， 两两垂直，且 ．若 为该三棱锥外接球上
的一动点，
如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
球心为正方体对角线的交点，以 为原点建立空间直角坐标系，
得到 ，
设三棱锥外接球的半径即正方体外接球半径为 ，则 ，
故 ，
故 ，
由向量模长公式得 ，
而 ，
设 ，
由数量积的定义得 ，
所以 ，由余弦函数性质得当 时，
取得最小值 ．
故答案为： ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 2023 年 5 月 15 日至 21 日是第二个全国家庭教育宣传周，为进一步促进家校共育，某校举行“家教伴成
长，协同育新人”主题活动，最终评出了 8 位“最美家长”，其中有 6 位妈妈，2 位爸爸，学校准备从这 8 位“最
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美家长”中每次随机选出一人做家庭教育经验分享．
（1）若每位“最美家长”最多做一次家庭教育经验分享，记第一次抽到妈妈为事件 A，第二次抽到爸爸为事
件 B，求 和 ；
（2）现需要每天从这 8 位“最美家长”中随机选 1 人，连续 4 天分别为低年级、中年级、高年级和全体教师
各做 1 场经验分享，1 天只做 1 场，且人选可以重复，记这 4 天中爸爸做经验分享的天数为 X，求 X 的分布
列和数学期望．
【答案】（1） ，
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由题可得 ，第二次抽到爸爸，则第一次抽到妈妈或第一次抽到爸爸，据此可得 ；
（2）由题可得爸爸做经验分享的天数 X 的所有可能取值，且 ，据此可得 X 的分布列和数学
期望.
【小问 1 详解】
根据题意可知， ，
．
【小问 2 详解】
爸爸做经验分享的天数 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，且 ，
故 ， ，
， ，
，
故 X 的分布列为：
X 0 1 2 3 4
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P
根据二项分布的期望公式可知， ．
16. 如图，在多面体 中，底面 是边长为 的正方形， 是等边三角形， ，
，且平面 平面 .
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质可得出 平面 ，可得出 ，再结合 可证得结论成
立；
（2）解法一：在平面 内过 作 ，推导出 平面 ，以点 为坐标原点建立空间直
角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得直线 与平面 所成角的余弦值；
解法二：取 中点 ，连接 ，分析可知直线 与平面 所成的角即为直线 与平面 所
成的角，利用等体积法计算出点 到平面 的距离，设直线 与平面 所成角为 ，可得出
，再结合同角三角函数的基本关系可得结果.
【小问 1 详解】
因为四边形 是正方形，则 ，
而平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，
又 平面 ，于是 ，
又 ，所以 .
【小问 2 详解】
解法一：在平面 内过 作 ，
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由平面 平面 ，平面 平面 ，得 平面 ，
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 、 、 、 ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ,
令 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
，
直线 与平面 所成角的余弦值为 .
解法二：取 中点 ，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，则 ， ，则四边形 为矩形，
则 且 ， ，则 ，
取 的中点 ， 的中点 ，连接 、 .
因为 为等边三角形， 为 的中点，则 ，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
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所以， 平面 ，且 ，
因为 平面 ，所以， ，则 ，
直线 与平面 所成的角即为直线 与平面 所成的角.
因为 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
故点 到平面 的距离等于 ，设 点到平面 的距离为 ，
由 ，则 ，
因为 ， ，则 ，
且 ，所以，四边形 为平行四边形，则 ，
且 ，
在 中， ， ，取 的中点 ，连接 ，则 ，
所以， ，则则 ，
则 ，则 ，
直线 与平面 所成角的余弦值为 .
17. 已知数列 满足 ， （ ），记 ．
（1）求证： 等比数列；
（2）设 ，数列 的前 n 项和为 ．若不等式 对一切 恒成立，求
实数 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明 为常数即可证明 为等比数列，根据等比数列通项公式即可求 通项公式，从
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而得证；
（2）先求出 ，根据 通项公式的特征，采用错位相减法求其前 n 项和 ，题设化简为
，通过讨论 为奇数或偶数，即可求λ的范围.
【小问 1 详解】
由已知， ，
， ， ，
又 , ，
数列 中任意一项不为 0, ，
数列 是首项为 2, 公比为 2 的等比数列， .
【小问 2 详解】
由第（1）问知， ，
则 ，设数列 的前 项和为 ,
所以 ①，
②，
所以①-②可得：
，
所以 .
由 ，得 ，
化简得 .
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当 为奇数时，有 ，即 ，
而 ，所以 ；
当 为偶数时，有 ，
而 ，所以 .
综上， 的取值范围为 .
18. 已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 轴， 轴，且过 两点．
（1）求 的方程；
（2）过点 ，斜率不为 0 的直线 与椭圆交于 两点，点 ，直线 与 轴交于 ，与
轴交于 ，直线 与 轴交于 ，与 轴交于 ．若 ，求直线 的斜率．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据椭圆所过的点求参数，即可得方程；
（ 2） 设 直 线 ， 联 立 椭 圆 并 应 用 韦 达 定 理 ， 再 由 直 线
， 直 线 求 交 点 坐 标 ， 根 据 面 积 关 系 得
，进而求得 ，即可得.
【小问 1 详解】
设 的方程为 且 ，
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将 两点代入得 ，解得 ，
故 的方程为 ．
【小问 2 详解】
依题意，设直线 ，
联立 ，消去 整理得 ，
则 ，即 ，且 ．
直线 ，直线 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，
整理得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以直线 的斜率为 ．
19. 定义：若函数 与 在公共定义域内存在 使得 ，则称 与 为“契合
函数”．
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（1）判断函数 和 是否为“契合函数”；
（2）若函数 和 不为“契合西数”，求 的取值范围；
（3）若函数 和 在区间 上为“契合函数”，求 的取值范围．
【答案】（1） 与 为“契合函数”
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用“契合函数”的定义直接求解即可；
（2）构造函数 ，由于 与 不为“契合函数，则
可将原问题转化为 在 上无零点，结合导数知识以及参变分离的思想分 在 上
恒成立与若 在 上恒成立两种情况进行讨论即可求得 a 的取值范围；
（3）令 ，结合“契合函数” 定义，将原问题转化为 在 上
存在零点，利用导数知识即可求得 m 的取值范围.
【小问 1 详解】
根据定义，若 与 为“契合函数”，则 在公共定义域内有解．
又 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 与 为“契合函数”．
【小问 2 详解】
令 ，
因为 与 不为“契合函数，又 为 上的连续函数，
所以 在 上无零点，即恒为负或恒为正．
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若 在 上恒成立，取 ，则 ，即 ，
又当 时， ，
令 ，所以 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，所以 ，与
假设矛盾，
所以不存在 使得 在 上恒成立．
若 在 上恒成立，即 ，
令 ，所以 ，
又 在 上单调递减， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，即 的取值范围是 ．
【小问 3 详解】
令 ，则 ，
因为 与 在 上为“契合函数”，所以 在 上存在零点，
即 在 上存在零点．又因为 ，
当 且 时，因为 ，所以 ，所以 在 上
单调递增，则 ，
此时 在 上不存在零点，不满足题意；
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当 时，当 时， ，所以 ，
当 时，令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，且 ，故 在 上存在
唯一零点，设为 ，使得 ，
所以当 时， ；当 时， ；
又当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上存在唯一极小值点 ，
因为 ，所以 ，又因为 ，所以 在 上存在唯一零点 ，
所以函数 与 在 上为“契合函数”．
综上， 的取值范围是 ．
【点睛】对于函数新定义问题，重要的是读懂定义.不等式恒成立求参数的问题，一般情况下会优先考虑参
变分离，参变分离无法求解时才会考虑含参讨论的方法，最重要的是熟记导数的方法研究函数单调性，最
值等.
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