重庆市西南大学附属中学2025届高三下学期全真模拟集训（二）数学试卷（Word版附解析）

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一、单项选择题
1. 若复数 z 使得 为纯虚数，则 （ ）.
A. B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算及复数的概念、复数的模的定义运算即可.
【详解】设 ，
则 ，
所以 ， ，
即 ，所以 .
故选：B
2. 已知集合 ， ，则 （ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】集合 A，B 可化为分母相同的元素，其中分子分别为除 3 余 2 整数，除 2 余 1 整数，据此可得出交
集.
【详解】集合 ， ,
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所以 ，
故选：C
3. “缤纷艺术节”的表演比赛中，某节目结束后，100 位观众评委的打分情况如下图所示.计算该节目最终
得分时，需去掉一个最高分和一个最低分，关于处理后的打分数据，下列说法一定正确的是（ ）.
A. 中位数不变，极差变小 B. 极差不变，平均数变小
C. 平均数变大，方差变小 D. 方差变小，中位数变大
【答案】A
【解析】
【分析】根据去掉最大最小值的影响求解即可.
【详解】去掉一个最大值和一个最小值，所以中位数没有变化，
因为极差为极大值与极小值之差，所以极差会变小.
所以 BD 错误；
由于去掉最大值与最小值，平均值的变化不确定，故 C 错误.
故选：A
4. 已知 ， 是双曲线 C： 的焦点，过 C 上一点 P 作两条渐近线的平行线，分别交 x 轴于 M，
N 两点，记 ， 的面积分别为 ， ，若 的最小值为 ，则 C 的离心率为（ ）.
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，由题意求出 ，得出 ，化简后利用基本不等式求出最值，
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即可得出离心率.
【详解】由双曲线的对称性，不妨设 ，如图，
则过点 P 作两条渐近线的平行线分别为 ，
令 ，可得 ，
所以 ， ，
由 ，代入得 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
此时， ，所以 .
故选：A
5. 某化工厂园区内有 4 个仓库，现要将 A，B 等 6 种化工原料储存在仓库中.为了方便使用，每种原料平分
为 2 份储存在 2 个不同的仓库中，每个仓库储存 3 种不同的原料，且考虑到安全因素，原料 A，B 不能储存
在同一个仓库，则不同的储存方案数为（ ）.
A. 240 B. 270 C. 480 D. 540
【答案】D
【解析】
【分析】先安排好 A，B，再分类讨论安排 C 的组合方式及放法，由计数原理得解.
【详解】先把 A 分成两份放入两个仓库，再把 B 分成两份放入剩余两个仓库，共有 种方法，
再把 C 分成两份，从剩余 D、E、F 中取出一种分成两份与 C 组成一组，放入两个仓库，剩余的两种组合
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放入另外两个仓库，共有 种放法，
也可从剩余的 D、E、F 中取出两种，与 C 组合成两份，则剩余的两种组合成两份，共有四种不同的组合，
分别放入四个仓库，共有种 种放法，
由分类加法计数原理与分步乘法计数原理可得，
共有 种不同的方法，
故选：D
6. 已知 ， 均为正项等差数列， ，对 有 ，若数列 中
第 3 项为最小项，则 k 的取值范围是（ ）.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 的公差为 ， 的公差为 ，利用 时求出 ，再由 、 求出
可得 ，令 ，利用二次函数的性质可得答案.
【详解】设 的公差为 ， 的公差为 ，
当 时， ，又 ，且 ，所以 ，
当 时， ，即 ①，
当 时， ，即 ②，
由①②得 ，
所以 ，
令 ，
因为数列 中第 3 项为最小项， 是关于 的二次函数，
其对称轴为 ，根据二次函数性质，对称轴应满足 ，
解得 .
故选：B.
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7. 在等边 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC，BC 上，将 沿直线 DE 折叠后，点 A 恰好与点
F 重合，若 ， ，则 （ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对称性可得三角形全等，再由三角形相似得出 ，解出 后由余弦定理求
解.
【详解】如图，
因为将 沿直线 DE 折叠后，点 A 恰好与点 F 重合，
所以 ，
设 ，则 ，
，
，
，
，即 ，
解得 ，
由余弦定理， ，
故选：A
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8. 如果函数 在区间 D 上有定义，且对 ， ，均有 ，则称 D 为
的“平稳区间”.已知函数 有“平稳区间”，则 a 的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题意将题设问题等价转化成存在“平稳区间”D，对任意 有 ，再利用导数
工具分 和 两种情况结合一元二次函数性质即可求解.
【详解】由题可得函数 有“平稳区间”，设为 D，
则对 ， ，均有 ，即对任意 ，均有 ，
所以函数 存在“平稳区间”D，对任意 有 ，
又 ，所以对任意 ， ，
当 时有 ，故函数 有“平稳区间” ，符合；
当 时，函数 有最值 ，
要使函数存在“平稳区间”，则 或 ，
解得 或 .
综上，满足题意 a 的取值范围是 .
故选：D
二、多项选择题
9. 已知函数 ( ， )的图象上两个相邻的最高点与最低点之间的距
离为 ，方程 的最小的正根为 ，则下列说法正确的是（ ）
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A.
B. 的对称轴为
C.
D. 将 的图象左移 个单位后得到的新函数为奇函数
【答案】BC
【解析】
【分析】先将函数 的解析式化简，利用已知条件求出 ， ，进而判断 A，C 选项，再利
用函数 的解析式求出对称轴，判断 B 选项；最后利用图象平移判断 D 选项.
【详解】
，
方程 的最小的正根为 ，
，即 ，
因为 为最小正根，故 ， ，故 A 错误；
函数 的图象上两个相邻的最高点与最低点之间的距离为 ，
，其中 ，
当 时， ， ，故 C 正确；
将 ， 代入得 ，
令 ，则 ，故 B 正确；
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将 的图象左移 个单位后得到 ，
，
不是奇函数，故 D 错误.
故选：BC.
10. 空间中有一个球体和一个棱长为 2 的正方体，正方体有且仅有两个面所在的平面与球体相切，又有且仅
有两个顶点在球面上，则满足条件的球体的半径可以是（ ）.
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】分情况讨论，易知球直径为 2 时可以，研究第二种情况，根据球及正方体的性质，列出方程求解.
【详解】当如图时，
易知球的半径为 1；
当如下图时，
设球 的半径为 ，
球 与正方体 相切于 两点，
且过顶点 ， 为 的中点，连接
的延长线交平面 于点 ，连接 ，
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根据对称性及球体、正方体的特点，易知 ，
则 ， ，
而 ，故 ，解得
又由 ，解得 ，所以
故选：AC
11. 若实数 a，b 满足 ，则下列表达式中有最小值的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】先由题设条件求出两变量的取值范围，对于 A，由二次函数性质即可分析得解；对于 B，求出
即可判断；对于 C，判别式法可判断 是否有最小值；对于 D，利用导数求得 的最大值后可判断其
正误.
【详解】因为实数 a，b 满足 ，所以 ，
所以 即 .
对于 A， ，
所以 有最大值，无最小值，A 错误；
对于 B，因为 ，所以 ，无最小值，B 错误；
对于 C， 设 ，则 可化为 ，
故 在 上有解，故 ，
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故 ，故 ，
当 时， ，故 ，
故 C 正确；
对于 D， ，令 ，
则 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，故
故 有最小值，D 正确；
故选：CD
三、填空题
12. 已知 ， 均为锐角， ， ，则 __________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据两角和差的正弦公式求解 ，再由角的范围得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ， 均为锐角， ，所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为：
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13. 平面直角坐标系中，点 A，B 在 x 轴上，直线 AC 与函数 的图象相切于 C，直线 轴，
则 ___________.
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出斜率，建立斜率的方程即可得解.
【详解】设切点 ，
因为 ，
所以 ，
所以可得 ，即 .
故答案为：
14. 在一条线段上标出所有的 等分点 ，从中任选 2 个点，将该线段从这 2 个点处截断，则形
成的 3 条新线段可以构成三角形的概率是__________（用含 n 的式子表示）.
【答案】
【解析】
【分析】利用三条线段能构成三角形的条件进行分析，再利用古典概型的概率公式进行求解.
【详解】假设我们选择的两个点将线段分成三段，长度分别为 ，其中 ，
为了构成三角形，必须满足以下条件： ，即 ，
，
这意味着，为了构成三角形，任意两边的和必须大于线段总长度的一半.
在一条线段上标出所有的 等分点，即需标出 个点，
从 个点中选出 2 个点的选法有 ，
要使任意两边的和必须大于线段总长度的一半，
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则需在左侧的 个点中选一个，右侧的 个点中选一个，以使得第一段与第二段和、第二段与第三段和满
足要求;
同时还要求第一段与第三段之和也满足要求，因此共有 种不同的取法，
则形成的 3 条新线段可以构成三角形的概率是 .
故答案为： .
四、解答题
15. 如图，在 中， 的平分线与 AB 交于点 ， .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理结合二倍角的余弦公式求解余弦值即可.
（2）利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系求出 ，再依据 求出 的长
度，再利用余弦定理求出 ，最后用正弦定理求解结果即可.
【小问 1 详解】
如图，在 中，由题意得 ，
设 ，则 ， ，
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则由余弦定理得 ，
因为 是 的平分线，所以 ， ，
由二倍角公式得 .
【小问 2 详解】
由（1）知 ，易得 ，
所以 ，
由余弦定理得 ，
结合诱导公式得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ， ，
由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，由正弦定理得 .
16. 底面为菱形的四棱锥 中， 与 交于点 ，平面 平面 ，平面 平
面 ．
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（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求平面 与平面 夹角
的余弦值．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到 ⊥ ， ⊥ ，故 平面 ；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设 ， ，根据线面角的正弦值得到方程，求出
，求出两个平面的法向量，根据面面角夹角余弦公式求出答案.
【小问 1 详解】
因为四边形 为菱形，所以 ⊥ ，
因为平面 平面 ， 为交线， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为平面 平面 ， 为交线， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ；
【小问 2 详解】
由（1）知， 两两垂直，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
，则 ， ，
设 ， ，则 ， ，
设平面 一个法向量为 ，
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，
令 得 ，故 ，
直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
即 ，
化简得 ，负值舍去，则 ，
平面 一个法向量为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
，
所以平面 与平面 夹角余弦值为 .
17. 在平面直角坐标系 中，已知 ，动点 到 轴的距离为 ，且 .
（1）求动点 的轨迹方程 ；
（2）过点 作直线交曲线 于 轴右侧两点 、 ，且 .求经过 、 且与直线 相
切的圆的标准方程.
【答案】（1） ， ；
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）根据题意列等量关系，化简即可求解，
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（2）根据点差法可得直线 的斜率，进而联立直线与抛物线方程可得焦点弦长度，根据圆的性质可判断
圆心在 的中垂线上，进而根据勾股定理列等量求解即可.
【小问 1 详解】
，设 ，因为 ，所以 ，
整理得 ，所以，当 时， ；当 时， ；
所以 的轨迹方程为 ： ，
【小问 2 详解】
根据题意可知曲线 ： ，
过 的直线不与 轴的负半轴相交， 为 中点，
设 ， ，联立 ，
即 ，∴ ， .
∴直线 ： .
此时 ： 为抛物线的准线， 为焦点，联立 ,
由韦达定理可得 ， ，所以 ，
故弦长 ，
所以直线 的中垂线的方程为： ，
由圆心在弦的中垂线上，故可设圆心为 ，半径为 ，
因为圆 与直线 相切，故 ，
又 ，
所以 ，即 ，解得 或 ；
故 或 ，半径 或 45，
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故圆 的方程为： 或 .
18. 在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为 ，接下来比赛规则如下：两人轮
流各发一个球，谁赢此球就获得 1 分，直到有一方得分超过对方 2 分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，
且甲此球取胜的概率为 0.6，若上一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为 0.8，若上一球乙获胜，
则甲在下一球比赛中获胜的概率为 ，其中 ，设甲在接下来第 球比赛中获胜的概率为 .
（1）若 ，求甲以 获胜的概率；
（2）求 与 的关系；
（3）证明： .
【答案】（1）0.176；
（2） ；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）将所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再结合已知求出概率.
（2）根据给定条件，利用全概率公式列式即可.
（3）由（2）的结论，利用构造法，结合等比数列定义求出通项，再作差判断单调性即可推理得证.
【小问 1 详解】
依题意，甲以 获胜，在接下来的比赛中的情况为：甲乙甲甲或乙甲甲甲，
所以甲以 获胜的概率为 .
【小问 2 详解】
设 “在第 球比赛中甲获胜”为事件 ，“在第 球比赛中甲获胜”为事件 ，
， ， ，
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依题意， ，
所以 .
【小问 3 详解】
由（2）知， ，
而 ，则 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
因此 ，即 ，
由 ，得 ，则数列 递增，
所以 .
【点睛】关键点点睛：利用全概率公式求随机事件 B 的概率问题，把事件 B 分拆成两个互斥事件 与
的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.
19. 已知函数 ， ．
（1）求 的极值；
（2）当 时，证明： ；
（3）当 恰有四个零点 ， ， ， 时，证明：
．
【答案】（1） ，无极小值
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数分析单调性可得；
（2）作差后构造函数 ，利用导数分析最值可得；
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（3）先由当 时， ，令 ，得到 ，再结合对数的单调性和运算性质以及与指数
的关系可得.
【小问 1 详解】
由题知 ，
令 ，则 ．
当 时， ，此时 在 上为减函数，
当 时， ，此时 在 上为增函数，
故 ，无极小值．
【小问 2 详解】
．
令 ，
，故 在 上为减函数．
，即 ．
由（1）可知 在 上为增函数， ， ，
即 ．
【小问 3 详解】
由（2）同理可证，当 时， ．
令 ，得 ，
由题意得直线 与两条曲线 ， 共有四个交点．
如图所示， ，且 ．
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由 ，得 ．
， ，且 在 上为增函数，
，即 ． ．同理： ．
故 ，即 ，得证．
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