黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

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1. 与 角终边相同的角的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在 找到与 的角终边相同的角 ，然后写出与 终边相同的角的集合即可.
【详解】 ,所以 角与 角的终边相同,
所以与 角终边相同的角的集合是 .
故选：C
2. 如图，在四边形 中， ， ，设 ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得.
【详解】因为 ，
所以
.
故选：C.
3. （ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简求值，即得答案.
【详解】
,
故选：D
4. 为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ）
A. 向右平行移动 个单位长度 B. 向左平行移动 个单位长度
C. 向右平行移动 个单位长度 D. 向左平行移动 个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数平移思想，来求解析式，结合三角函数诱导公式即可得出正确判断.
【详解】因为 ，
所以把 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度可得
的图象，故 B 正确；
经检验，ACD 错误.
故选：B.
5. 在 中，若 ，则 一定是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状.
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【详解】由 ,
所以： .
因为 为三角形内角，所以 .
所以 为等腰三角形.
故选：A
6. 已知 ，且 ，则下面正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】已知 ，则可依据其范围求 ，以及 再利用两角和差公
式计算 .
【详解】对于 A，因为 ，则 ，A 错误；
对于 B，因为 ，
所以 ，B 错误；
对于 C，
，故 C 错误.
对于 D， ，D 正确.
故选：D.
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7. 如图，这是下列四个函数中的某个函数在区间 上的大致图象，则该函数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊点及特殊区间的函数值，结合排除法可确定选项.
【详解】B.对于函数 ，当 时， ，不合题意，B 错误.
C.当 时， ，与图象不符，C 错误.
D.当 时， ， ， ，故 ，与图象不符，D 错误.
A.令 ，定义域为 ，
∵ ，∴ 为奇函数，
，与图象相符.
当 时， ， ，故 ，与图象相符，A 正确.
故选：A.
8. 函数 的图象在区间 上恰有 2 个最高点，则 的取值范围为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 得到 ，结合正弦函数性质构造不等式即可求解.
【详解】解：由于 ，所以 ，
由于图象在区间 上恰有 2 个最高点，
则 ，
解得： .
所以 的取值范围为 ；
故选：A
二、多选题（每题 6 分，共 18 分）
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 化成弧度是
B. 关于 的不等式 的解集为 ，则
C. 命题“ ， ”的否定是 ，
D. 若一扇形的弧长为 2，圆心角为 ，则该扇形的面积为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据弧度制、一元二次不等式、全称量词命题的否定、扇形面积等知识对选项进行分析，从而确
定正确答案.
【详解】A 选项， 化成弧度是 ，A 选项正确.
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B 选项，关于 的不等式 的解集为 ，
，所以 B 选项错误.
C 选项，命题“ ， ” 否定是 ， ，
C 选项正确.
D 选项，若一扇形的弧长为 2，圆心角为 即 ，
所以扇形的半径为 ，
所以扇形面积为 ，D 选项错误.
故选：AC
10. 已知函数 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是
（ ）
A.
B. 点 是函数 的图象的对称中心
C. 函数 在区间 上是增函数
D. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后所得的函数为偶函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】对于 ：由函数 的图象，可得 ，且 ，
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所以 ，又 ，所以 ，所以 ，
又由 ，
则 ， ，可得 ， ，
因为 ，可得 ，所以 ，故 正确；
对于 ：因为 ，
所以点 是函数 的图象的对称中心，故 正确；
对于 ：当 ，则 ，因为 在 上不单调，
所以 在区间 上不单调，故 错误；
对于 ：将函数 的图象向右平移 个单位长度，
得到 为偶函数，故 正确.
故选：ABD.
11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图 1），明朝
科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图 2）．若一半径为 2 米的筒车水轮圆心 O
距离水面 1 米（图 3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动 4 圈，当水轮上点 P 从水中浮现时（图 3 中点
）开始计时，点 P 距水面的高度可以用函数 （ ）表示．
下列结论正确的有（ ）
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A. 点 P 所满足的函数表达式为
B. 点 P 第一次到达最高点需用时 5 秒
C. P 再次接触水面需用时 10 秒
D. 当点 P 运动 2.5 秒时，距水面的高度为 1.5 米
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数模型 的定义与性质，求出 A、B 和 T、ω、φ，写出函数解析式，再
判断选项中的命题是否正确．
【详解】函数 中 ，所以 ，
时， ，解得 ，因为 ，所以 ，
所以 ，A 错误；
令 得 ，则 ，解得 ，
所以 x 的最小值为 5，即点 P 第一次到达最高点需用时 5 秒，B 正确；
由题意知，点 P 再次接触水面需用时 （秒），C 正确；
当 时， ，点 P 距水面的高度为 2 米，D 错误．
故选：BC
三、填空题（每题 5 分，共 15 分）
12. 已知角 的终边过点 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】由三角函数的定义求解.
【详解】因为角 的终边过点 ，故 ，
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原式 ，
故答案为： .
13. 某人在静水中游泳，速度为 km/h．若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为 4km/h，则
此人实际沿与水流方向成________（填弧度数）方向前进，速度为_____km/h
【答案】 ①. ②. 8
【解析】
【分析】利用向量加法法则即可求得此人实际沿与水流方向成 60°的方向前进，速度为 8km/h.
【详解】将此人的游泳速度 与水的流速 平移至共同起点，作出其和速度 ，
由此人 游泳速度为 km/h，水的流速为 4km/h，
可得此人实际速度为 km/h，且与水流方向成 .
故答案为： ；8.
14. 在平面直角坐标系中，对任意角 ，设 的终边上异于原点的任意一点 的坐标为 ，它与原点的
距离是 .我们规定：比值 分别叫做角 的正割､余割､余切，分别记作 ， ， ，把
分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填
上所有正确的序号)
① ；
② ；
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③ 定义域为 ；
④ ；
⑤ .
【答案】②④⑤
【解析】
【分析】由题设新定义知： ， ， ，由 、
、 、 以及正切二倍角公式，即可判断
各项的正误.
【详解】
① ，故错误；
② ，故正确；
③ ，即 ，有 ，故错误；
④ ，故正确；
⑤ ，所以 ，故正确.
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故答案为：②④⑤
【点睛】关键点点睛：新定义有 ， ， ，结合三角恒等变换判断
各项的正误.
四、解答题 15 题 13 分，16、17 题每题 15 分，18，19 题每题 17 分，共 73 分）
15. （1）已知角 以 轴的非负半轴为始边， 为终边上一点.求
的值；
（2）已知 ， 都是锐角， ， ，求 的值.
【答案】（1）3；（2） .
【解析】
【分析】（1）由三角函数定义以及诱导公式化简求值即可；
（2）由题意结合两角差的余弦公式以及平方关系、角的范围即可求解.
【详解】因为 为终边上一点，则 ，
；
（2）由 ， ，可得 ，
又 ， ，则 ，
，
所以 .
16. 已知函数 （其中 ， ， ）的图象过点 ，且图象上与点
最近的一个最低点的坐标为 .
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（1）求函数 解析式并用“五点法”作出函数在 内的图象简图（要求列表）；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度得到的函数 ；若 是偶函数，
求 的最小值.
（3）利用上一问 的结果，若对任意的 ，恒有 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ，作图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用已知条件依次确定 的值，即得函数解析式，通过函数的一个周期，运用五点法作图
即得；
（2）利用平移变换和题设条件，求得 ，即可求得 的最小值；
（3）根据不等式恒成立等价于求函数 在 上的最大值，接着求解一元二次不等式即得.
【小问 1 详解】
设函数 的最小正周期为 ，由题意， ，
且 ，解得 ，则 ，即有 ，
将点 代入，化简可得 ，则 ，
即 ，因 ，故得 ，即 .
取函数 在一个周期 上的五点列表如下：
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0
2 0 0
在直角坐标系中作图如下：
【小问 2 详解】
依题意 是偶函数，
故 ，解得 ，即 ，
因 ，则得 ，则 时， 取得最小值为 .
【小问 3 详解】
由（2）分析可得 ，因 ，则 ，
结合余弦函数的性质可得 ，故得 ，
因对任意的 ，恒有 成立，故得 ，
解得 或 ，即 的取值范围为 .
17. 已知函数 .
（1）求 的最小正周期和 的单调递减区间；
（2）当 时，求函数 的最小值及取得最小值时 x 的值.
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【答案】（1）π； ；（2）当 时，函数 取得最小值，最小值
为 ．
【解析】
【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出 ，利用周期公式可计算出函
数 的最小正周期，解方程 可得出函数 的对称中心坐标；解不等式
，可得出函数 的单调递减区间；
（2）由 ，计算出 的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的
的值.
【详解】（1）
，
所以，函数 的最小正周期为 .
由 ，可得 ，
函数 的对称中心为 ；
解不等式 ，解得 .
因此，函数 的单调递减区间为 ；
（2）当 时， ，
当 时，即当 时，函数 取得最小值，最小值为 ．
【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数
解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
18. 已知函数 ．
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（1）求函数 的最小正周期；
（2）将函数 的图象上的各点________；得到函数 的图象，当 时，方程
有解，求实数 的取值范围．
在①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答.
①向左平移 个单位，再保持纵坐标不变横坐标缩小为原来的一半；
②纵坐标保持不变横坐标缩小为原来的一半，再向右平移 个单位．
【答案】（1） ；（2）若选①， ；若选②， ．
【解析】
【分析】（1）用正弦余弦的半角公式整理 可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期；
（2）选①先平移变换后周期变换可得对应的 ，由 的值域可得 范围；
选②先周期变换后平移变换得对应的 ，同样由 值域得 的范围.
【详解】（1） ，最小正周期为 ；
（2）选①时， ，
由 ，得 ，故 ， ， 有解，
故 ．
选②时，
由 ，得 ，故 ，
有解，故 ．
点睛】本题考查三角函数变换，正弦函数余弦函数得图像变换及性质，属于基础题.
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19. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰
四周的景色（如图 1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为 90 米，最低点距离地面 10 米，摩天轮上均匀设
置了 36 个座舱（如图 2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，
摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要 30 分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
（1）经过 t 分钟后游客甲距离地面的高度为 H 米，求 的解析式．
（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为 30 米？
【答案】（1） ，
（2）5 分钟或 25 分钟
【解析】
【分析】（1）利用正弦型函数的一般式 结合题意，求出 ；
（2）根据（1）求出的表达式，将 化简求得 .
【小问 1 详解】
设
由题意知： ，
，故 ，
可取 ，
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故解析式为： ， .
【小问 2 详解】
令 ，则 ，即 ．
因为 ，则 ，所以 或 ，
解得 或 ，
故游客甲坐上摩天轮 5 分钟或 25 分钟时，距离地面的高度恰好为 30 米
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