福建省福州市八县市联盟校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份福建省福州市八县市联盟校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，则实数的值为（ ）
A. 5B. 3C. 10D. 5或3
【答案】A
【解析】因为，
所以或，
所以
故选：A.
2. 年福清市元宵晚会共有个语言类节目，个杂技魔术类节目，个歌舞类节目,假设从中依次不放回地随机抽取两个节目参加福州市元宵晚会，求第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设事件第一次抽到杂技魔术类节目为，事件第二次抽到语言类节目为，
则，
，
则第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率
，
故选：D.
3. 函数在处可导，若，则（ ）
A .1B. C. D.
【答案】B
【解析】，故，
由导数的定义可知，.
故选：B
4. 离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题知，解得，所以，
又，
故选：B.
5. 近几年，网购已逐渐成为透视消费市场和经济发展的一扇窗户.小米直播间共有位主播（男女），现需安排两人分别担任“主推官”和“推荐官”，要求：主推官和推荐官必须由不同性别的主播担任，且小李（男）和小红（女）至少有一人被选中，则不同的安排方案有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分三种情况讨论：
小李（男）被选中，小红（女）没被选中，则需在另外名女主播中再选择一人，
此时，不同的安排方案种数为种；
小李（男）没被选中，小红（女）被选中，则需在另外名男主播中再选择一人，
此时，不同的安排方案种数为种；
小李（男）和小红（女）都被选中，此时不同的安排方案种数为种.
综上所述，不同的安排方案种数为种.
故选：C.
6. 定义的实数根叫函数的“躺平点”.若函数，，的“躺平点”分别为，则大小为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
令可得，所以，
所以是函数的“躺平点”，故，
因为，所以，
令可得，所以，
所以是函数的“躺平点”，故，
因为，所以，
令可得，
设函数，
因为函数为增函数，在上单调递减，
所以函数在上为单调递增，
又，，
所以函数在上有且只有一个零点，
设其零点为，则，
所以方程的解集为，
所以是函数“躺平点”，
即，， ，且，
所以，
故选：C.
7. 已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由可得，
函数，的导函数，，
若，当时，，函数在上单调递增，的最大值为，不符合题意；
若，当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
由函数在上的最大值为，可得，
所以，又，
所以；
若，当时，，函数在上单调递减，
函数在上的最大值为，满足条件，
所以时，函数在上的最大值为.
综上所述，的范围是.
故选：D
8. 随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设事件为选择文心一言，事件为选择豆包，事件为选择DeepSeek，事件为报告有误，
，，，，
所有，
.
故选：C
二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则（ ）
A.
B.
C. 展开式常数项为
D. 展开式中各项系数和为
【答案】AC
【解析】展开式的二项式系数的和，得，故A正确；故B错误；
由二项式，常数项为，故C正确；
令， 展开式中各项系数和为，故D错误；
故选：AC．
10. 随机变量分布列如下表，下列说法正确的是（ ）
A.B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】由已知结合分布列的性质可得，，，，B正确，
当，，，时，，
所以
所以，
即，A错误；
，
所以
，
所以，当，时等号成立，
所以，当或时等号成立，C正确；
，又，
所以，故，D正确；
故选：BCD.
11. 函数存在3个零点，则实数的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】函数的定义域为R，求导得，
当时，函数在上单调递增，函数最多一个零点，不符合题意；
当时，由，得或；由，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
由函数存在3个零点，得，解得，
所以实数的取值可以是，ACD是，B不是.
故选：ACD
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，，若，则________．
【答案】
【解析】对求导，因为是常数，所以.
将代入，可得.
已知，即，那么.
因为，在这个区间内满足的的值为.
故答案为：.
13. 某校“星火”与“冲锋”两支排球队采用五局三胜制比赛，“星火”队获胜的概率为0.4，且每轮比赛都分出胜负，则“星火”队不超过四局获胜的概率为_______．
【答案】0.1792
【解析】计算“星火”队三局获胜的概率：
“星火”队三局获胜，即前三局“星火”队都获胜.
因为每轮比赛结果相互独立，且“星火”队每局获胜的概率为0.4，根据独立事件概率的乘法公式，可得“星火”队三局获胜的概率为：
计算“星火”队四局获胜的概率：
“星火”队四局获胜，意味着前三局“星火”队胜局，第四局“星火”队获胜.
从三局中选两局“星火”队获胜的组合数为，前三局“星火”队胜局的概率为，第四局“星火”队获胜的概率为0.4，根据独立事件概率的乘法公式，可得“星火”队四局获胜的概率为：
计算“星火”队不超过四局获胜的概率：
“星火”队三局获胜与四局获胜这两个事件是互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式，可得“星火”队不超过四局获胜的概率为：.
故答案为：0.1792.
14. 某市青少年机器人编程大赛进入决赛阶段，共有10支队伍参赛，其中4支队伍由女生主导（记为F组），6支队伍由男生主导（记为M组）．组委会通过随机抽签决定决赛展示顺序．设事件A为“第1个进行展示的队伍来自F组”，事件B为“第2个进行展示的队伍来自F组”．则__________，__________．
【答案】；
【解析】由题意可得事件B可以分为两种情况，即第一个进行展示的队伍来自组和第一个进行展示的队伍来自组，
所以；
，，
所以，
故答案为：；.
四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在的展开式中，求．
（1）含项的系数；
（2）求展开式中所有的有理项．
解：（1）由题知展开式的通项为，，
令，解得，
所以展开式中含项，
所以展开式中含项的系数为60.
（2）令，
∴
当时，
当时，
当时，
当时，
综上所述，展开式中所有的有理项分别为
16. 某社区随机调查了100名居民的每日睡眠时长（小时），得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求该100名居民的每日睡眠时长的第50百分位数（保留两位小数）；
（2）为进一步调查睡眠质量，采用分层抽样从每日睡眠时长在内的居民中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每日睡眠时长在内的调查人数的分布列和数学期望．
解：（1）由题意得
所以
所以该100名居民的每日睡眠时长的第50百分位数：
法1：因为：
所以50%分位数一定位于内，
由（小时），
法2：由题意得
所以
所以该100名居民的每日睡眠时长的第50百分位数：
设第50百分位数为x，则，
解得
（2）每日睡眠时长在内居民人数的频率分别为，
所以采用分层抽样从每日睡眠时长在内的居民中抽取10人中每日睡眠时长在内居民人数分别为，即人数分别为2，4，4 ，
所以X可取0，1，2，3
，
，
，
，
所以X的分布列为
数学期望
17. 设曲线在处的切线与轴交于点.
（1）求的值；
（2）求函数的极值．
解：（1）由，
得
令，则
所以曲线在点处的切线方程为
∵点在切线上，可得解得.
（2）由（1）知且的定义域为，
则
令，
解得
则、、的变化情况如下：
所以在和上单调递增，在上单调递减；
所以的极大值为，的极小值为.
18. 甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制．在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答正确的概率为，回答错误的概率为，每轮比赛的结果是独立的，即每轮比赛甲回答正确的概率不受其他轮次结果的影响．
（1）当时，求甲最终获胜的概率；
（2）为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案.方案一：最终获胜者得5分,失败者得2分；方案二：最终获胜者得3分，失败者得0分.请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
解：（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件
于是，与为互斥事件，
由于，
则，
即甲最终获胜的概率为.
（2）由（1）可知，
若选用方案一，记甲最终获得积分为分，
则可取
则的分布列为：
则
若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取3，0

则的分布列为：
则
所以
答：方案一始终更优
19. 在计算机图形学中，若某曲线在内具有“单侧光反射”特性（即存在一条基准线，曲线在该区间内始终上升，并且与基准线在某一点处相切），则称该曲线为“光洁曲线”.曲线对应的函数为“光洁函数”，即函数在上单调递增，此时称为“超光洁函数” ．
（1）若是“超光洁函数”，求的取值范围；
（2）已知光洁曲线的一条基准线与曲线相切，求的方程；
（3）若，，，.证明：.（可用结论：当时，）
解：（1）方法一：设，
则 ，
由题意可知恒成立，故在上恒成立，
即在上恒成立，
故，解得，
方法二：设，
则，
由题意可知恒成立，
故在上恒成立，
即，在上恒成立，
，
（2）方法一：设直线与曲线相切于点，直线的斜率为，
因为，则，
设直线与曲线相切于点，
因为，则，
因此有，
整理得，解得或，
当时，的方程为，
当时，的方程为，
方法二：设直线与曲线相切于点，
则，，
设直线与曲线相切于点，
则，，
所以，
整理得，解得或，
当时，的方程为，
当时，的方程为，
（3）方法一：设，
则，
令，
则，
设，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，
故，当且仅当时取等号，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，
故，当且仅当时取等号，
所以ex-lnx-32≥x+1-x-1-32=12>0，即，
所以在上单调递增，又时，，
所以时，，所以，
所以g'x>0，即g(x)=fxx在上单调递增，
所以，即fa+b+ca+b+c>f(a)a，
所以，同理，，
累加可得，
即，
方法二：，
令，则 ，
设，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，
故，当且仅当时取等号，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，
故，当且仅当时取等号，
所以ex-lnx-32≥x+1-x-1-32=12>0，即，
所以在上单调递增，
令，，
则，又单调递增，
所以，则在上单调递增，
又当，，
所以时，，，
所以，即fx+a>fx+fa，
所以，
所以fc+a+b>fc+fa+b>fc+fa+fb，
即.
X
0
1
2
3
P
单调递增
单调递减
单调递增
5
3
0