上海市浦东新区2024-2025学年高一下学期期中教学质量检测数学试卷（解析版）

这是一份上海市浦东新区2024-2025学年高一下学期期中教学质量检测数学试卷（解析版），共17页。
【答案】或
【解析】由题意得.
故答案为：.
2. 若，，则角在第__________象限．
【答案】二
【解析】，说明在一、二象限，，说明在二、三象限，所以在第二象限．故答案为二．
3. 半径为1，圆心角为的扇形的面积为______.
【答案】
【解析】扇形面积.
故答案为：.
4. 若，则的值为________.
【答案】 或
【解析】因为,
所以两边平方得，
所以由二倍角公式得.
故答案为：.
5. 已知，则__.
【答案】
【解析】因为，
所以.
故答案为：．
6. 若函数（其中常数）是上的偶函数，则的值为________
【答案】
【解析】函数的对称轴为，
可得：，
因为函数是上的偶函数，
所以，可得，
因为，所以时，，
故答案为：.
7. 已知函数，.则函数所有零点组成的集合为______.
【答案】
【解析】令，则，
因为，所以和，
则函数所有零点组成的集合为.
故答案为：.
8. 代数式可化为的形式，则的值为______.
【答案】
【解析】由辅助角公式可得，
其中，则，
由可知，在第一象限，且，
所以.
故答案为：
9. 函数的最小值为______.
【答案】
【解析】，
令，则，
则，
当时，有最小值为.
故答案为：
10. 已知，则______．
【答案】
【解析】因则.
又，则，
.
则
；
故答案为：.
11. 一根长为的材料（材料粗细忽略不计）欲水平通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽，则能够通过这个直角走廊的材料的最大长度（即求的最小值）为______m.
【答案】
【解析】由题意，因为,,
所以,
所以,,
令,
因为，
所以，即，则，
所以，
易知在上单调递增，
则在上单调递减，
所以，
即能够通过这个直角走廊的材料的最大长度为.
故答案：.
12. 已知，且函数的图像关于点对称.若（其中），则的最小值为______.
【答案】
【解析】
，
又函数的图像关于点对称，
即，即，
则，
所以的最大值为，最小值为，
对称轴：令，
当的取值最小时，
，，
且是在轴右侧连续的最值点，
则的最小值为.
故答案为：
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.
13. 下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，的最小正周期为，故A错误；
对于B，的最小正周期为，故B错误；
对于C，的最小正周期为，故C错误；
对于D，因为的最小正周期为，
将函数的图像轴上方不变，下方部分向上翻折，
得到的图像，则其周期减半，所以的最小正周期为，故D正确；
故选：D
14. 下列诱导公式中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，，正确；
对于B，，正确；
对于C，，正确；
对于D，，错误.
故选：D.
15. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ）
A. 正三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形
【答案】B
【解析】由，可得，，
所以，
，故，
因为，所以，，
即是直角三角形.
故选：B.
16. 关于x方程在区间上解的情况，下列说法不正确的是（ ）
A. 存在实数m使得方程无解
B. 存在实数m使得方程有无数个解
C. 存在唯一的实数m使得方程只有1个解
D. 存在唯一的实数m使得方程只有2个解
【答案】C
【解析】因为，所以关于x的方程，可化为，
在上为周期为的函数，值域为，
在上单调递减，值域为，且时，时，对于，在时，过程中与图象接近，且过程中图象呈现周期性波动，第个周期值域为，()逐渐变小且接近于1，(逐渐变小且接近于，
综上，函数的大致图象如下，
当时，无解，A对；
当时，有无数个解，B对；
当且时，有个解，此时时，D对；
当且时，有个解，
当时，有1个解，C错；
故选：C.
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤.
17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边恰好与单位圆O相交于点.
（1）求，的值；
（2）求，的值.
解：（1）由单位圆中三角函数定义可得，.
（2）由二倍角公式可得，
.
18. 在中，已知，，.
（1）求；
（2）求的面积S及外接圆半径R.
解：（1）由余弦定理可得.
（2）由（1）可知，且，则，
则，
由正弦定理可得，即，则.
19. 已知.
（1）求函数的最小正周期和单调减区间；
（2）若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围.
解：（1），所以函数的最小正周期为，
由，得：，
所以函数的单调减区间为（）.
（2）由，可得，
即，由，可得，
则，，即.
所以的取值范围为.
20. 在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表：
（1）请从，，这3个函数中选择一个函数近似描述某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系，不需要说明理由；
（2）请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式；
（3）依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？
解：（1）以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在平面直角坐标系中作出对应的各点，
根据图象可考虑用函数近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，
（2）由已知数据结合图象可得，，，，
故.又，可取，
所以；
（3）由题意可得，则，，
所以，解得，
又，取可得：，取，可得，
所以该船可以1点进港，5点离港，或点进港，点离港，所以卸货最多只能用4小时时间.
21. 已知函数的定义域.若实数a，，且满足，则称a和b是“f相关”的.
（1）若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b；
（2）若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b；
（3）若，求所有满足a和b是“f相关”的实数b的取值范围.
解：（1）由题意可得，即，即，
且，故或.
（2）由题意可得，整理可得，
即，故或，
且，因此或.
（3）由题，，
整理可得，
转化为，
即，
由正弦函数的值域可得，
即，化简可得，
即，且，
解得，
所以b取值范围为.
x（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0