吉林省吉林市第二十三中学2024-2025学年七年级下学期期中教学质量检测 数学试题（含解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题：（本题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列各数是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了立方根，算术平方根，无理数的定义，根据无限不循环小数即为无理数，进行逐个分析，即可作答．
【详解】解：不是无限不循环小数，即不是无理数；
依题意，，，
则，都不是无限不循环小数，即都不是无理数；是无限不循环小数，即为无理数，
故选：C
2. 下列命题是假命题的是（ ）
A 对顶角相等B. 内错角相等
C. 等角的补角相等D. 直角都相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
根据对顶角相等、补角的概念、平行线的性质、直角的概念判断即可．
【详解】解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
B、两直线平行，内错角相等，故本选项命题是假命题，符合题意；
C、等角的补角相等，是真命题，不符合题意；
D、直角都相等，是真命题，不符合题意；
故选：B．
3. 如图所示，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的知识点是邻补角互补，平行线的性质及对顶角相等，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质，先求出，根据平行线的性质得出，进而求出结论．
【详解】解：如图：
，，
，
，
，
，
故选：C．
4. 如图，将沿方向向右平移1个单位得到，若的周长为12，则四边形的周长为（ ）
A. 13B. 14C. 15D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，主要利用了对应点的连线等于平移距离，结合图形表示出四边形的周长是解题的关键．
根据平移的性质，对应点的连线、都等于平移距离，再根据四边形的周长=的周长代入数据计算即可得解．
【详解】解：∵沿方向平移1个单位得到，
∴，
∴四边形的周长
的周长
．
故选：B．
5. 是关于x，y的二元一次方程，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程满足的条件是解题的关键．
根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值．
【详解】解：是关于x，y的二元一次方程，
，，
解得：
故选B．
6. 如图，面积为7正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A. B. C. 1+D. +2
【答案】C
【解析】
【分析】因为面积为7的正方形ABCD边长为，所以AB=，而AB=AE，得AE=，A点的坐标为1，故E点的坐标为+1．
【详解】∵面积为7的正方形ABCD为7，
∴AB=，
∵AB=AE，
∴AE=，
∵A点表示的数为1，
∴E点表示的数为+1，
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴与实数、平方根应用，关键是结合题意求出AB=AE=．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
7. 点到轴的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是点的坐标，熟知点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值是解题的关键．
根据点的坐标轴距离的定义解答即可．
【详解】解：，，
∴点到轴的距离为3．
故答案为：3．
8. 比较大小：______．（填“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握两个负数比较大小的方法．先求出各数的绝对值，再比较它们的绝对值的大小，最后根据两个负数比较，绝对值大的反而小进行比较即可．
【详解】解：，，
，
，
，
故答案为：．
9. 已知的整数部分是1，则小数部分是；若的小数部分为，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】因为，则，可知的整数部分为3，则小数部分为，
本题考查了无理数整数、小数部分的相关问题，解题的关键是：求出无理数的取值范围，从而确定取值．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分是3，
∴的小数部分为：，
故答案为：．
10. 已知方程组的解满足，则_____．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的特点灵活求解是关键．
观察方程组，可知两个方程相加后，继而可得，因为，则，最后解方程即可．
【详解】解：，
，得
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
故答案为：12．
11. 如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标位置，根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在的位置变化特点，即可得到小球第2023次碰到球桌边时，小球的位置．解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：如图，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是
小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是
小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是
小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是
小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是
小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是
……
∵
∴小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是
故答案为：．
三、解答题（本题共11小题，共87分，其中第12至14题每题6分，第15至17题每题7分，第18、19题每题8分，第20、21题每题10分，第22题12分）．
12. 计算．
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先计算算术平方根，再计算加减即可得出答案；
（2）先去绝对值再计算有理数的平方，然后计算加减即可得出答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
13. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题关键．
（1）利用代入消元法进行求解即可；
（2）利用代入消元法进行求解即可．
【小问1详解】
解：，
将①代入②，得，
解得：，
将代入①，得，
方程组的解为：；
【小问2详解】
解：，
整理得，
将②代入①，得，
解得：，
将代入②，得，
方程组的解为：．
14. 如图，已知，画射线，试求．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了几何图形的角度运算，垂线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先进行分类讨论以及作图，根据垂线的定义，得出，再运用数形结合思想以及角的和差关系列式计算，即可作答．
【详解】解：如图：当在的上方时，
∵，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴；
当在的下方时，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
即，
∴；
综上：的度数为或．
15. 在平面直角坐标系中有点，请根据下列条件求出点P坐标．
（1）点在轴上．
（2）点在轴上．
（3）点的横纵坐标相等．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）因为点在轴上，所以点P的纵坐标为0，从而可求得m的值，即可作答；
（2）因为点在轴上，所以点P的横坐标为0，从而可求得m的值，即可作答；
（3）因为点的横纵坐标相等，则，求得m的值，即可作答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握在轴上的点的纵坐标为0，在轴上的点的横坐标为0等知识内容是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵点在轴上，点，
∴，
∴；
∴；
∴；
【小问2详解】
解：∵点在轴上，点，
∴，
∴；
∴；
∴；
【小问3详解】
解：∵点的横纵坐标相等，点，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴．
16. 已知的平方根是，的平方根是．
（1）求的值；
（2）求的立方根．
【答案】（1），
（2）2
【解析】
【分析】本题考查了平方根、立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据平方根的性质，列式，得，同理得，再结合，得，即可作答．
（2）分别把，代入，再求出其立方根，即可作答．
【小问1详解】
解：∵的平方根是，
∴，
∴，
∴，
∵的平方根是，
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）得，，
∴，
∴的立方根是．
17. 如图，若，平分，且，求证．
证明：∵平分(已知)
∴( )(角平分线的定义)
∵ (已知)
∴( )
∴( ) (等量代换)
∵(已知)
∴（ )( )
∴ ( )
∴ ( )
【答案】；两直线平行，同位角相等；；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，先根据角平分线的定义，得，再结合两直线平行，同位角相等得，结合同旁内角互补，两直线平行得，则，再进行角的等量代换，即可作答．
【详解】证明：∵平分(已知)
∴ (角平分线的定义)
∵(已知)，
∴(两直线平行，同位角相等)，
∴ (等量代换)，
∵(已知)，
∴（同旁内角互补，两直线平行)，
∴ (两直线平行，内错角相等)，
∴ (等量代换)，
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换．
18. 吉林市第二十三中创办于1963年，为迎接63周年校庆，学校想订购一批具有纪念意义的校庆校徽和纪念卡．已知制作3个校徽和4个纪念卡需要27元，制作6个校徽和5个纪念卡需要45元，请问：
（1）制作校徽和纪念卡的单价；
（2）学校计划制作校庆校徽1000个，纪念卡3000张在校庆当日送给校友．甲工厂规定：无论制作数量多少，一律打九折；乙工厂规定：当校徽和纪念卡制作总数超过2000时，校徽打九折，纪念卡超过2000部分打八折．为了节约经费应该选择去哪个工厂制作？
【答案】（1）制作校徽的单价是5元，纪念卡的单价是3元
（2）为了节约经费应该选择去甲工厂制作
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键．
（1）设制作校徽的单价是元，纪念卡的单价是元，根据“制作3个校徽和4个纪念卡需要27元，制作6个校徽和5个纪念卡需要45元，”建立二元一次方程组求解即可得出答案；
（2）利用总价=单价数量，可分别求出选择甲、乙工厂制作所需费用，比较后即可得出结论．
【小问1详解】
解：设制作校徽的单价是元，纪念卡的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：制作校徽的单价是5元，纪念卡的单价是3元；
【小问2详解】
解：根据题意得：
选择甲工厂制作所需费用为；
选择乙工厂制作所需费用为；
，
为了节约经费应该选择去甲工厂制作．
19. 对于a、b定义两种新运算“*”和“⊕”：a*b=a+kb，a⊕b=ka+b（其中k为常数，且k≠0）．若平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），有点P的坐标为（a*b，a⊕b）与之相对应，则称点P为点P的“k衍生点”
例如：P（1，4）的“2衍生点”为P′（l+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．
（1）点P（﹣1，6）的“2衍生点”P′的坐标为 ．
（2）若点P的“3衍生点”P′的坐标为（5，7），求点P的坐标．
【答案】（1）（11，4）；（2）（2，1）．
【解析】
【分析】（1）直接利用新定义进而分析得出答案；
（2）直接利用新定义结合二元一次方程组的解法得出答案．
【详解】（1）由题意可得，点P（﹣1，6）的“2衍生点”P′的坐标为：[﹣1+2×6，2×（﹣1）+6]，即（11，4）；
故答案为（11，4）；
（2）设点P的坐标为：（a，b），
由题意可得：，
解得：，
∴点P的坐标为：（2，1）．
【点睛】此题主要考查了点的坐标以及二元一次方程组的解法，正确理解新定义是解题关键．
20. 如图，，，．将向右平移个单位长度，然后再向上平移个单位长度，可以得到．
（1）在图中画出经过平移后的．
（2）求出的面积．
（3）已知点在坐标轴上，以、、为顶点的三角形面积为6，则点的坐标为 ．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或或
【解析】
【分析】本题考查平移作图，平移坐标变换，坐标与图形．熟练掌握利用平移的性质作图和平移的坐标变换规律是解题的关键．
（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）分两种情况：点P在y轴上，点P在x轴上，分别 求解即可．
【小问1详解】
如图，
即为所求；
【小问2详解】
的面积；
【小问3详解】
解：由图可知，，，
当点P在轴上时，设点，则，
解得：，；
点P的坐标为或
当点P在轴上时，设点，则，
解得：，；
点P的坐标为或，
综上所述，点的坐标为或或，
故答案为：或或．
21. 如图①，长方形的顶点为平面直角坐标系的原点，，点是边的中点，连接．
（1）点的坐标为 ；
（2）求三角形的面积；
（3）如图②，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线运动到点停止，设点的运动时间为，连接，当为何值时，三角形的面积是三角形面积的一半？ 并直接写出此时点的坐标．
【答案】（1）
（2）12 （3）或
【解析】
【分析】此题考查动点问题，解题关键是将速度乘时间表示动点运动的距离，然后根据数量关系列方程进行求解．
（1）求出，，即可求解；
（2）直接根据三角形的面积公式解答，即可求解；
（3）先求出三角形的面积，然后分三种情况讨论：当点P在边上时，当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解．
【小问1详解】
解：∵长方形的顶点为平面直角坐标系的原点，，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴点的坐标为；
故答案为：
【小问2详解】
解：由（1）得：，，
∴三角形的面积为；
【小问3详解】
解：∵三角形的面积是三角形面积的一半，
∴三角形的面积为，
当点P在边上时，，此时，
∴三角形面积为，
∴，解得：，
此时点P的坐标为；
当点P在边上时，此时，
∴，
∴，
∴三角形的面积为
∴，
此时（不符合题意）；
当点P在边上时，此时，
此时，
三角形的面积为，
∴，
解得：，
∴，
∴，
此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或．
22. 【探索发现】
（1）老师在数学课上留下一道思考题：如图1，，点P在之间，连接，试说明；
【解决问题】
（2）已知直线，连接，，
①如图2，分别平分，求的度数；
②如图3，延长线段至点，过点作交的延长线于点，，分别平分，请直接写出的度数．
【答案】（1）见解析；（2）①；②为定值，
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，根据题意作出辅助线，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．
（1）选择小刚添加辅助线方法，证得，进而可求得，即可求得答案；选择小红添加辅助线的方法，求得，结合即可求得答案．
（2）过点E作，根据角平分线及平行线的性质即可求解．
（3）过点F作，则，根据平行线的性质及等量代换即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，过点作：
∵，，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
（2）过点E作，
∴，
∵，．
∴，，
∵分别平分，，
∴，，
∵，
∴，，
∴；
（3）为定值，理由如下：
过点F作，则，
∵，．
∴，，
∵，
∴，
∵，分别平分，，
∴，，
∵，
∴，，
∴．