山东省青岛市市北区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省青岛市市北区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中 ，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】、是中心对称图形，故本选项符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
2. 不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】不等式的解集在数轴上的表示如下：
．
故选：C．
3. 如图，时钟的时针从上午8时转动到上午10时，时针绕表盘中心旋转的旋转角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，
，
故选：C．
4. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点，作、的垂线交点为画射线，判断依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，和都是直角三角形，
在和中，
，
满足斜边相等和一组直角边相等，
因此，
故选：D．
5. 已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（ ）
A. 6B. 5C. D.
【答案】A
【解析】∵是不等式的一个解，
∴，
解得，
∴整数k的最小值是6．
故选：A．
6. 用反证法证明命题“在直角三角形中，必有一个锐角不小于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A. 两个锐角都大于45° B. 两个锐角都小于45°
C. 两个锐角都不大于45° D. 两个锐角都等于45°
【答案】A
【解析】∵一个直角三角形有两个锐角，
∴用反证法证明命题“在直角三角形中，必有一个锐角不小于45°”时，应该假设两个锐角都大于45°．
故答案为：A．
7. 如图，长方形 中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为（ ）
A. 1 B. 3C. 1 或 D. 1 或 3
【答案】C
【解析】如图，当时，
矩形中，，，
∴，
由折叠性质可得：，，，
则点在上，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴
则，
如图，当时，
∴，
由折叠性质可得：，
∴四边形为正方形，
∴，则，
综上，或1，
故选．C．
8. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴，
故选：B．
二、填空题
9 若，则________（填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】，
，
故答案为：．
10. 命题“如果，那么”，则它的逆命题是________命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【解析】命题“如果，那么”的逆命题为：“如果，那么”，
由于如果，那么，
故此命题为假命题，
故答案为：假．
11. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成A，两点间的距离，则机器狗在正常状态下的高度为_____．
【答案】
【解析】连接，过B作于D，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即机器狗正常状态下的高度为，
故答案为：．
12. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】由图可得：两直线的交点横坐标为，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
13. 如图，直角△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB=4，DH=1，平移距离为2，则阴影部分的面积是___________．
【答案】7
【解析】由平移的性质得：，，，
∵，
而，
∴，
故答案为：7．
14. 关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】，
由得，，
由得，，
∵不等式组有3个整数解，
∴．
故答案是．
15. 在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积_____．
【答案】6
【解析】如图，过D作,交于M，，交延长线于N，
，
∵平分，，，
∴，
∵，
，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
16. 如图，在中，，，为的中点，，垂足为，过点作，交的延长线于点，连接、，如下结论：①；②；③平分；④；⑤，正确的有_____（填写序号）．
【答案】①②④⑤
【解析】∵，，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；故①正确．
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确．
∵，
∴是的中线，如果是角平分线，则，
但，
显然矛盾，故③错误．
④正确．中，，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，∴垂直平分，
∴，故④正确．
∵，
∴，
∴，
∵，∴，故⑤正确．
综上所述：正确的有①②④⑤；
故答案为①②④⑤．
三、解答题
17. 如图，已知：，点是上一点．
求作：，使，且点到边、的距离均相等．
解：如图所示：即为所求.
18. 解不等式(组)：
（1）；
（2）．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴．
（2），
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为．
19. 如图，在平面直角坐标中，的顶点坐标分别是将以为旋转中心逆时针旋转，得到．
（1）点的对应点的坐标是_____；
（2）将沿轴对称后得到，画出对称后对应的；如果将和看成一个轴对称图形，请直接写出它的对称轴满足的函数关系式_____．
解：（1）如图，点的对应点的坐标是，
故答案为：；
（2）如图，和的对称轴直线过点和，
设对称轴直线的解析式为，将代入得：，
，
和的对称轴直线的解析式为，
故答案为：．
20. 小明要从甲地到乙地，两地相距1800米，已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？
解：法一：设小明跑步分钟，则步行分钟，由题意得
，
解得，
至少跑步3.75分钟．
法二：设小明跑步x米，则步行米，由题意得
，解得，
（分钟）．
至少跑步3.75分钟．
21. 如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离为，喷泉的供水点在小路上．现要为喷泉铺设两条互相垂直的供水管道和，已铺管道长为，长为，供水点到的距离是．
（1）请判断供水管道与是否符合铺设要求；
（2）求的长及的长．
解：（1）符合要求，理由如下：
在中，，，，
，，
，
是直角三角形，，
，符合要求；
（2），
，
，
，
，
，，，
，，
在中，，
由勾股定理得：．
22. 如图，是的角平分线，与交于点，过点分别作，，交、于点、，连接，交于点．
（1）试说明垂直平分；
（2）若，，则长为多少？
解：（1）平分，，，
，，
又，
（），
，
又平分，
垂直平分；
（2），
在中，，
平分，
，
，
，
在中，，
∴，
∴，
由（1）知垂直平分，
，
在中，，
，
，
又，
，
，
．
23. 某文具店准备购进、两种钢笔进行销售，这两种钢笔的进价和售价如下表．
（1）现计划购进、两种钢笔共900支，且种钢笔的数量不超过种钢笔数量的一半．若种钢笔按售价的八折出售，种钢笔按售价的九折出售．该文具店怎样进货才能使两种钢笔全部售出后获利最大，最大利润是多少？
（2）某学校需要购买一批该文具店的两种笔作为奖品，其中种笔支，种笔200支，文具店给出以下两种方案：
方案一：所有笔均按售价的八折出售；
方案二：种钢笔按售价的七折出售，种钢笔按售价的九折出售．
学校采购员应选择哪种方案对学校来说花费最少？请说明理由．
解：（1）设购进种钢笔支，则购进种钢笔（）支
由题意，
解得，
利润，
，
随增大而减小，
时，最大，最大=3450元，
此时支；
∴该文具店进A种钢笔600支，购进B种钢笔300支获利最大，最大利润是3450元．
（2）方案一费用，
方案二费用，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
∵为正整数，
∴当时选方案一，
时选方案二．
24. 在综合实践课上，同学们探究三角形旋转和平移的问题：
问题提出：
如图①，已知是等边三角形，点在边上，以线段为边作等边，将绕顶点逆时针旋转，如图②，再将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段．
猜想探究：
（1）如图②，与相等吗？请说明理由；
（2）如图③，连接，，，请直接判断是哪种特殊的三角形：_____三角形．
探究迁移：
（3）如图④，若和都是等腰直角三角形，且，，点在边上，将绕顶点逆时针旋转，如图⑤，再将线段沿方向平移，使点与点重合，得到线段，连接，，，则是什么特殊的三角形？请证明你的结论．
解：（1），
理由和为等边三角形,
，
，
平移，
，
，
，
，
；
（2）是等边三角形，过程如下：
和为等边三角形,
，，
，
平移，
，，
，，
，
，
；
∵，，
∴；
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（3）是等腰直角三角形，理由：
由（2）知，
平移，
，
又，
，
∵，，，
∴；
，，
，
即，
为等腰直角三角形，，
，
，
为等腰直角三角形．
25. 如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点A、点．
（1）点在轴上，若是等腰三角形，请借助手中的工具，在备用图1中探究发现：符合条件的点有哪几个？请分别用、、……依次表示符合条件的点，并直接写出它们的坐标；
（2）动点以1个单位/s的速度从原点出发、动点以2个单位/s的速度从点出发，、都按顺时针方向沿的三边运动，则经过几秒后，点与点第一次在的哪条边上相遇？并指出相遇点在这条边的什么位置；
（3）若点是内的一点，请直接写出的取值范围_____．
解：（1）∵直线与轴、轴分别相交于点A、点．
当时，，
解得，
∴点坐标为．
当时，，
∴点坐标为．
在中，，，
，
当时，
若点在点左侧，
∵，点坐标为，则点横坐标为，
∴的坐标为；
若点在点右侧，
∵，则点横坐标为，
∴的坐标为．
当时，
∵（为坐标原点），且，
∴，
∴的坐标为．
当时
设点坐标为，则，．
由可得，
解得，
∴的坐标为．
综上，符合条件的点C的坐标为，，，；
（2）设经过秒后，点与点第一次相遇．
∵点从原点出发，速度是个单位/s；点从点出发，速度是个单位/s，三边长，，，
∴比多走的路程为．
∴，解得．
运动的路程为，，，
∴经过秒，点与点第一次在边上相遇，相遇点离点个单位．
（3）已知点是内的一点，
∴点的横坐标大于，即，．纵坐标大于，即，，点在直线的下方，
把的坐标代入的右边式子，
∵在直线下方，∴，解得．
综合以上三个条件，．
∴m的取值范围是．
故答案为：．种
种
进价（元/支）
10
15
售价（元/支）
15
25