天津市五区县重点校联考2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份天津市五区县重点校联考2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试卷（解析版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为,所以,又有,所以.
故选:C
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，即，解之得，显然由不可推出，而可推出.
故选：B
3. 已知且，则的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. D. 8
【答案】D
【解析】且，则
，当且仅当，即时取等号，所以当时，的最小值为8.
故选：D
4. 在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，由函数的图象可知，由的图象可知，互相矛盾，错误；
对于B，由函数的图象可知，由的图象可知，互相矛盾，错误；
对于C，由函数的图象可知，由的图象可知且，符合题意，正确；
对于D，由函数的图象可知，由的图象可知且，互相矛盾，错误.
故选：C
5. 若函数（，且）满足，则的单调递减区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，即，
解得或（舍），所以，
令，则，
由于在上单调递减，在上单调递增，
由指数函数知，在定义域上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减.
故选：B.
6. 已知下列四个关系：①； ②；③ ；④．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】①当时，，故错误；
②当时，可知，故错误；
③当，得，因为，所以，故正确；
④构造幂函数，所以在单调递减，又因为，所以，即，故正确；
故选：B
7. 若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围（ ）
A. {或}B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意可知“，使得”为真命题，
则，即，
解之得，即A正确.
故选：A
8. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为为定义在上的奇函数，所以，且
又因，所以，又因在为增函数，在上，在上，又因在为减函数，所以上，综上，当时，，当时，
当时，则，所以，则，
当时，则，所以，则，
不等式可化简变形为，综上所述可知当时，.
故选：D
9. 已知函数，若存在，使，则称点是函数的一个“点”.则函数 “点”的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】C
【解析】由，若是函数的一个“点”，则其关于原点的对称点为，即，所以“点”关于原点的对称点也在函数图像上，所以要判断函数 “点”的个数，需要知道函数图像上关于原点的对称点有多少个，作函数在上的部分图像关于原点对称的图像，如图所示，
与在上的部分图像有两个交点，所以函数 “H点”的个数为4.
故选：C
二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分）
10. 已知幂函数为偶函数则的值为_____________.
【答案】2
【解析】幂函数，则或
当时，为奇函数，舍去；当时，为偶函数，满足
故答案为：
11. 已知函数的定义域是，则的定义域是__________．
【答案】
【解析】函数的定义域是，所以，于是，
所以的定义域为，由，解得，
故的定义域为，
故答案为：
12. 已知定义在R上的偶函数满足，若，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为的图象的对称轴为，且开口向上，
所以在上严格增，且在上是偶函数，
所以，两边平方得，
所以.
故答案为：
13. 若两个正实数满足，并且恒成立，则实数的取值范围是_______．当x等于________时，中等号成立．
【答案】 ； 2
【解析】因为两个正实数满足，且恒成立，即，则
，当且仅当，即时，等号成立，
则，即，
所以实数的取值范围是，当且仅当时，等号成立.
故答案为：；2
14. 设，，若恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
作出函数的图像，向右平移一个单位得到的图像，如图所示.
要使恒成立，必有，即，
又，所以.
故答案为：
三、解答题
15. 化简求值：
（1）
（2）；
解：（1）.
（2）
.
16. 设集合．
（1），求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
解：（1）当时，可得，
故可得，而，
所以
（2）由“”是“”的充分不必要条件可得；
当时，，解得，符合题意；
当时，需满足，且和中的等号不能同时取得，
解得；
综上可得，的取值范围为或.
17. 已知函数.
（1）若的单调递减区间是，求的值.
（2）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集；
（3）若，求关于的不等式的解集.
解：（1）当时，的单调递减区间为R，不满足题意；
当时，由的单调递减区间是可得，解得.
综上，的值为1.
（2）若关于的不等式的解集为，
则和3是方程的两根，且，
由韦达定理得，解得，
所以不等式，
解得或，
所以不等式的解集为.
（3）若，则，
1）当时，由解得；
2）当时，方程的两根为，
当时，，解不等式得；
当时，，解不等式得或；
当时，，解不等式得或；
当时，由得.
综上，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
18. 已知定义域是的函数是奇函数.
（1）求的值
（2）先判断函数单调性并证明；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围.
解：（1）因为是定义域为的奇函数，
所以
解得，
经检验：符合题意.
（2）在上单调递增，证明如下：
由可知，
任取实数，且，
则，
因为，所以，且，
所以，即时，，
所以在上单调递增.
（3）因为是奇函数，所以等价于，
由（2）知在上单调递增，所以在上恒成立；
等价于在上恒成立，
由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增；
因为时，；时，；所以.
19. 函数对任意的实数，都有，且当时，．
（1）求的值；
（2）求证：是R上的增函数；
（3）解关于实数的不等式．
解：（1）因为对任意的实数，都有，
不妨取，则，所以；
（2）任取实数，且，则，
由当时，，得，
依题意，，
所以函数是R上的增函数；
（3）由（1）知，，由（2）知，函数是R上的增函数，
则不等式，
，
即，所以，
解得（舍去）或，即，所以原不等式的解集是.