新疆和田地区墨玉县2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份新疆和田地区墨玉县2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于A，，正确；
对于B，，一个是数集，一个是点集，错误；
对于C，，是的子集，错误；
对于D，，两集合之间的关系是包含，错误.
故选：A.
2. 已知命题，，命题，，则（ ）
A. ：，B. ：，
C. ：，D. ：，
【答案】B
【解析】命题p：，，则：，，A错误B正确；
命题：，，则：，，CD错误.
故选：B.
3. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】不等式等价于，解得或
所以原不等式的解集为，
故选：C.
4. 函数 的最大值为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】A
【解析】，故当时，取最大值，
故选：A
5. “”是“且”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由且可以推出，反之不成立，例如，
“”是“且”的必要不充分条件.
故选：.
6. 下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A选项，定义域为R，且，
故不是奇函数，A错误；
B选项，的定义域为，而在上单调递减，
故不在定义域上单调，B错误；
C选项，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，C错误；
D选项，的定义域为R，且，故为奇函数，且当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递增，又，故在定义域上单调递增，为单调函数，D正确.
故选：D
7. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数的单调递增区间为，
依题意，，则，所以实数的取值范围为.
故选：C
8. 一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于，且这个比值越大，通风效果越好.以下结论叙述正确的个数为（ ）
①若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为
②若窗户面积和地面面积都增加原来的，则教室通风效果不变
③若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好
④若窗户面积第一次增加了，第二次增加了，地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】对于①，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，依题意有，
解得，所以这所公寓的窗户面积至少为，故①错误；
对于②，记窗户面积为和地板面积为，同时窗户增加的面积为，同时地板增加的面积为，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，所以公寓采光效果不变，故②正确；
对于③，记窗户面积为和地板面积为，同时增加的面积为.由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，因为
，且，所以，即，
所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公裹的采光效果变好了，故③正确；
对于④，记窗户面积为和地板面积为，则窗户增加后的面积为
地板增加后的面积为，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
因为，
又因为，所以，
因为，
所以，
当时，采光效果不变，
所以无法判断公寓的采光效果是否变差了，故④错误.
故选：B.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）．
A. 的一个必要条件是
B. 若集合中只有一个元素，则
C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D. 已知集合，则满足条件的集合N的个数为4
【答案】CD
【解析】对于A，当时满足，但不成立，所以不是的充分条件，不是的必要条件，故A错误；
对于B，当时，方程的解为，此时集合中只有一个元素，满足题意，当时，为一元二次方程，则由集合中只有一个元素得，故，所以符合题意的有两个，或，故B错误；
对于C，一元二次方程有一正一负根，则，
所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故C正确；
对于D，因为，所以，又，故集合N的个数为个，故D正确.
故选：CD.
10. 有以下判断，其中是正确判断的有（ ）
A. 与表示同一函数
B. 已知，则的最小值为
C. 命题“，”的否定是真命题
D. 已知，则；如果满足，则实数
【答案】BCD
【解析】对于，函数的定义域为，函数的定义域为，所以两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，故错误;
对于，因为，所以，所以
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，故正确;
对于C，因为，所以命题“，”是假命题，
故命题的否定是真命题，故C正确;
对于，因为，所以，所以
；若，当时，，解得或(舍去)，当时，，解得(舍去)，故，故D正确.
故选：BCD.
11. 设为实数集R的非空子集．若对任意，，都有，，，则称为封闭集．下列命题正确的是（ ）
A. 自然数集N为封闭集B. 整数集Z为封闭集
C. 集合为封闭集D. 若为封闭集，则一定有
【答案】BCD
【解析】对于A，取1，，则，，故自然数集N不是封闭集；
对于B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故整数集Z为封闭集；
对于C，设都是整数，则，，故，同理，
，
故集合为封闭集，C正确；
对于D，若为封闭集，若，则，D正确．
故选：BCD．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知集合，则__________.
【答案】
【解析】.
故答案为：
13. 函数的定义域是__________.（结果写成集合或区间形式，否则不得分）
【答案】
【解析】由题意知，，解得且，所以函数的定义域为.
故答案为：.
14. 某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有________人．
【答案】
【解析】设同时参加田赛和径赛的学生人数为，如下图所示：
由韦恩图可的，解得.
因此，同时参加田赛和径赛的有人.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，验算步骤）
15. 已知全集，，
（1）求；
（2）求：
（3）求.
解：（1），，
所以.
（2）因为，所以.
（3）因为，，
所以.
16. 已知，．
（1）求的定义域；
（2）求，的值，的值域
解：（1）因为，
所以，解得，且，
所以该函数的定义域为：且.
（2）由知，，
，
，
，即的值域为.
17. 已知集合，.
（1）分别求，；
（2）已知，若，求实数a的取值集合.
解：（1）由得，解得，所以,
由，得，解得，所以，
所以，.
（2）因为，所以，
由题意可得:，解得:.
18. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象．
（1）画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间；
（2）写出函数的解析式；
（3）若函数，求函数的最小值．
解：（1）
函数是定义在R上的偶函数，
即函数的图象关于轴对称，其递增区间为，；
（2）根据题意，令，则，则，
又由函数是定义在上的偶函数，
则，则；
（3）根据题意，，则，
则，其对称轴为，
当时，即时，在区间上为增函数，；
当时，即时，；
当时，即时，在区间上为减函数，，
则．
19. 已知定义在上的函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明，上的单调性：
（3）由（2）的结论判断在上的单调性，并解不等式.
解：（1）函数是定义在上的奇函数，证明如下：
，都有，
因为，
所以是定义在上的奇函数.
（2）在上单调递减，证明如下:
对于任意且,
因为，所以，,所以，所以，
所以，即，所以函数在上单调递减.
（3）因为，都有，
，所以在上为奇函数，
由（2）知在上单调递减，所以在和上单调递减，
当时，，所以在和上均单调递增，
又，所以在上单调递增，
由题意，不等式可化为,
所以，解得.