甘肃省陇南市礼县2024-2025学年九年级下学期学情监测数学试卷（解析版）

这是一份甘肃省陇南市礼县2024-2025学年九年级下学期学情监测数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项．
1. 10的相反数是（ ）
A. －10B. 10C. D.
【答案】A
【解析】10的相反数是－10．
故选：A．
2. 如图所示正六棱柱，其俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】从上面看，看到的图形是一个正六边形，即看到的图形如下：
故选：C．
3. 若点与点关于原点成中心对称，则的值是（ ）
A. 3B. C. 5D. 7
【答案】B
【解析】∵点与点关于原点成中心对称，
∴，，
解得，，
∴．
故选：B．
4. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
故选：D．
5. 如图，，，当时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：
6. 如图，在中，点，分别在边，上，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，，∴，
∴，
∴，
故选C.
7. 如图圆的半径是4，是弦，且A是弧的中点，则弦的长为（ ）
A. B. C. 4D. 6
【答案】C
【解析】连接，
∵，
∴，
∵A是弧的中点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故选：C．
8. 小明家和小文家在2024年1～7月份用水量变化状况如图所示．从图中看出，下列结论不正确的是（ ）
A. 2～6月份小文家用水量逐渐减少
B. 4～7月份小明家用水量逐渐增多
C. 小明家在4月份用水量最少
D. 6月份小明家和小文家的用水量相同
【答案】D
【解析】A、2～6月份小文家用水量逐渐减少，正确，故不符合题意；
B、4～7月份小明家用水量逐渐增多，正确，故不符合题意；
C、小明家在4月份用水量最少，正确，故不符合题意；
D、6月份小明家和小文家的用水量相同，错误，应该是5月份相同，故符合题意．
故选：D．
9. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设共有x人，
由题意，得．
故选：B．
10. 如图，矩形中，点为的中点，动点从点出发，沿折线匀速运动，到达点时停止运动，连接，，设为，为，且关于的函数图象如图所示，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】结合图和函数图象可得，
当时，；点运动到点时，，
即点和点重合时，；点运动到点时，，
矩形中，点为的中点，，
点运动到点时，是直角三角形，，
由图可知，当点运动到点时，取最大值，最大值为．
故选：．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 因式分解：_________.
【答案】
【解析】.
12. 已知是方程的两个不相等的实数根，则______．
【答案】5
【解析】∵是方程的两个不相等的实数根，
∴，即；，
∴．
13. 将抛物线向右平移个单位，所得抛物线的解析式为________．
【答案】
【解析】由题可知, 抛物线向右平移个单位变为.
14. 截至2024年9月，我国共13位共和国勋章获得者，老师制作了正面分别书写有孙家栋、于敏、袁隆平、黄旭华四位共和国勋章获得者为国奉献的事迹的四张卡片，除此之外背面完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的概率是__________．
【答案】
【解析】记孙家栋、于敏、袁隆平、黄旭华四位共和国勋章获得者分别为A，B，C，D，
根据题意可画树状图如下：
由图知，共有12种等可能的结果数，其中两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的有2种结果，所以两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的概率是．
15. 如图，已知直线m，n被一组平行线，，所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，若，，则等于________．
【答案】
【解析】∵，，∴
∵，∴，
故答案为：．
16. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为．若反比例函数的图象经过点C，则k的值为_______．
【答案】
【解析】如图所示，过点C作轴，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点C代入反比例函数可得：，
故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
解：原式．
18. 解不等式组：．
解：
解不等式①得：，，；
解不等式②得：，，，，
不等式组的解集为．
19. 先化简，再求值：，其中．
解：
，
当时，原式．
20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的；
（2）以点为位似中心，在第四象限内将按相似比放大，画出放大后的图形．
解：（1）如图，即为所求：
（2）如图，即为所求．
21. 小红和小明准备在寒假期间游览一个江阴本地的著名景点，备选景点有鹅鼻嘴公园（记为A）、海澜飞马水城（记为B）、华西村（记为C）、徐霞客故居（记为D），他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．
（1）小红选择去海澜飞马水城的概率为______；
（2）若小红已去过鹅鼻嘴公园，准备在B、C、D中选一个地点游玩，若小明已去过徐霞客故居，准备在A、B、C中选一个地点游玩，请用树状图或列表的方法求小红和小明正好选择同一个景点的概率．
解：（1）由题意知，共有种等可能的结果，其中小红选择去海澜飞马水城的结果有种，∴小红选择去海澜飞马水城的概率为.
（2）列表如下：
共有种等可能情况，其中小红和小明正好选择同一个景点的结果有：，，共两种，
∴小红和小明正好选择同一个景点的概率为．
22. 如图，高层大楼前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼的高度，他们在楼房的窗户口点处测得车库地面边缘点的俯角为，测得大楼顶端的仰角为．已知，车库长度，求高层大楼的高度．（点，，在同一水平直线上，参考数据：，，，，结果精确到）

解：过点作，垂足为，
由题意得：，，，，，
∴，
在中，
∵，，

∴，
∵，
∴，
在中，
∵,，
∴，
∴（米）
答：大楼的高约为米．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站．星光中学为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，举办了航空航天知识竞赛活动．现从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制，且成绩为整数）为样本，分为A（0分~84分），B（85分~89分），C（90分~94分），D（95分~100分）四个分数段进行统计，绘制如下不完整的统计图表及数据信息：
七年级：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100．
八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________，________；
（2）根据以上数据，请你推断哪个年级的成绩更好，并说明理由；（一条理由即可）
（3）成绩在D（95分~100分）的学生可以获得奖励，若该校七年级有400名学生，八年级有500名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数．
解：（1）七年级：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100．
∴出现的次数最多，众数，
八年级类有（人），类有（人），
八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94．
∴排在第个，第个数据为，，
∴八年级数据的中位数；
∵类占比为：，
∴类占比为：，
∴；
（2）八年级的成绩更好，理由：
八年级的中位数高于七年级的中位数，则八年级的成绩更好.
（3）∵七年级类人数有人，八年级类占比，
∴该校七年级有400名学生，八年级有500名学生，七、八年级可以获得奖励的学生总人数有：（人）.
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求一次函数的表达式．
（2）若点P为x轴上一个动点，当的面积是9时，求点P的横坐标．
解：（1）将代入，得，
将代入，得．
∴．
将，代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为．
（2）设点P的横坐标为n，
将代入，解得，，
即，
∴，，
解答或．
∴点P的横坐标为或11．
25. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点E，延长交于点F，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求的长．
（1）证明：连接，则，
，
，
，
，
，
于点E，
，
是的半径，且，
是的切线；
（2）解：连接，延长交于点H，
是的直径，
，
由（1）知：，
∴四边形是矩形，
，，
∴，
是的半径，,
∴，
， ，，，
， ，
，
，
解得，
，
，
的长为．
26. 如图1，在正方形ABCD中，，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，作交边AD于点N．

（1）当F为BE中点时，求证：﹔
（2）如图2，若，求的值．
（1）证明：为的中点，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
（），
，
，，
，
．
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
27. 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线与轴的交点，在对称轴直线上找一点，使得的周长最小，求点的坐标．
（3）点是直线上方抛物线一动点，不与点重合，求点坐标使与的面积相等．
解：（1）抛物线的对称轴为，点坐标为与在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵的周长等于，为定值，
∴当值最小时，的周长最小，
由于、关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴三点共线时，的周长最小，
即：点为直线与的交点时，的周长最小，
由（1）知，抛物线的解析式为，令，则，
，
设直线解析式为，把代入，得，解得，
直线的解析式为，
当时，，
；
（3）设过点平行于的直线为，将点代入，得：，
直线解析式为，
∵与的面积相等，
∴点为直线与抛物线的交点，
联立，解得：（B点，舍去）或；
点．A
B
C
B
C
D
年级
平均数
中位数
众数
七年级
89
b
八年级
89
a
91