河南省豫西北教研联盟（平许济洛）2025届高三下学期第三次质量检测数学试题（解析版）

这是一份河南省豫西北教研联盟（平许济洛）2025届高三下学期第三次质量检测数学试题（解析版），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，，则（ ）．
A. B. C. D. M
【答案】A
【解析】由题设，则.
故选：A
2. 已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，且，所以，
所以，
所以，又，所以.
故选：B
3. 若复数z满足，则的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，即对应点在以复平面的原点为圆心，1为半径的圆上，
由表示上述圆上点到点的距离，结合圆的性质，易知.
故选：D
4. 已知圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】若圆锥底面半径为，则，可得，故圆锥的高，
若圆锥外接球的半径为，则球心到圆锥底面距离，
所以，即，可得，
故外接球的表面积为.
故选：A
5. 设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线交C于另一点B，的内切圆与相切于点P，若|，则椭圆C的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，如下示意图，是内切圆与的切点，
因为左、右焦点分别为，，上顶点为A，（椭圆参数关系），
由，结合对称性、圆的切线性质，令，
且，所以，
所以，可得，故，
故选：C
6. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，
得到函数的图象，则，
当时，，
因为在上只有一个极大值点，则，解得，
因为，故正整数最大值为.
故选：D.
7. 函数满足：，，且，则（ ）．
A 4900B. 4950C. 5000D. 5050
【答案】B
【解析】令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
令，，则，可得，
当时，则
，
显然也满足上式，
所以，故.
故选：B
8. 若，都有，则a的取值范围为（ ）．
A B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设，，即，
令且，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
当，此时，则，不合题设，
故，所以，
而在上单调递增，则，
问题化为，在上恒成立，
令且，则，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以，故.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 函数，且为奇函数，下列说法正确的有（ ）．
A. ，
B. 当时，
C. 直线是曲线的一条切线
D. 若在区间上存在两个极值点，则
【答案】ACD
【解析】由题设，即，
所以，即恒成立，
所以，，A对；
故，所以，
或时，，即在上单调递增，
时，，即在上单调递减，
所以在上单调递减，此时，故，B错；
由上分析，极大值，极小值，显然是曲线的一条切线，C对；
若在区间上存在两个极值点，则，故，D对.
故选：ACD
10. 已知正方形的边长为2，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形，依此方法一直继续下去．若把正方形的面积记为数列的首项，后继各正方形的面积依次为，，…，，…，则下列结论正确的为（ ）．
A.
B. 前10个正方形的面积之和为
C. 数列的前100项之和为
D. 若这个作图过程可以一直继续下去，则所有这些正方形的面积之和将趋近于8
【答案】BD
【解析】由题设，第个正方形的边长为，则对角线长为，如下图示，
所以，即，又，
即是首项为4，公比为的等比数列，故，
所以，A错；前10项和，B对；
由，则其前100项之和，C错；
由项和恒成立，D对.
故选：BD
11. 已知曲线C过坐标原点O，且C上的点P到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ）．
A.
B. 的面积的最大值为2
C. 的最大值为4
D. 的周长的取值范围为
【答案】ABD
【解析】令，则且，
由于曲线过原点，则，A对；
所以，仅当时取等号，
所以，且均在曲线上，则曲线关于轴及原点对称，
根据对称性，只需分析从的变化过程，此时从，
又，仅当取等号，
所以的面积的最大值为2，B对；
由，整理得，
所以，则，C错；
由，
而，
根据对称性，只需分析从的变化过程，
对于在上单调递增，即，
所以，此时在上单调递增，
所以，D对.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若直线与抛物线相交于A，B两点，则__________．
【答案】
【解析】联立直线与抛物线得，可得，解得或，
不妨令，，则，，所以.
故答案为：
13. 已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a取值范围为__________．
【答案】
【解析】由在上单调递增，且值域为，
对于，
当，则，而，此时最多有两个零点；
当时，则，此时的大致图象如下，
由在上单调递增，且，结合上图，
当，即时，，恰有三个零点，
当，即时，，恰有三个零点；
当时，在上单调递增，此时函数最多有两个零点，不符题意；
综上，.
故答案为：
14. 甲、乙、丙、丁四人玩踢毽子游戏，第一次由甲踢出，每次踢出时，踢出者都等可能地将毽子踢给另外三个人中的任何一人．若第二次踢出后恰好踢给乙，则此毽子是由丙踢出的概率为__________，第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为__________．
【答案】①. ②.
【解析】由已知条件可知，前两次踢出的毽子被接到的情况有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），共种，
设事件：第二次踢出后恰好踢给乙，事件：第二次的毽子由丙踢出，乙接到，
则事件包含：（丙，乙），（丁，乙）两种情况；事件包含（丙，乙）一种情况，
则，，
则；
设第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为，
易知若第次踢出后，毽子恰好踢给乙，则第次踢出后，毽子恰好不踢给乙，再由其踢给乙，
则，且，
则，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
（1）证明：因为，
由题和正弦定理得，
所以，
所以，由正弦定理得；
（2）解 ：由余弦定理且可知，，
因为，所以，所以，，
可知，所以，所以，所以，
所以的面积.
16. 为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表：
（1）求m，n的值；
（2）按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望；
（3）由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数．
参考数据：若，则，，．
解：（1）已知抽取的学生总数为100名，即各分数段频数之和为100，可得到方程，化简得.
又因为，将其代入，可得，即，解得.
把代入，可得.
（2）计算分层抽样后成绩在内的人数：成绩在内的频数为人.从100人中抽取10人，
根据分层抽样的性质，抽取的10人中成绩在内的人数为人，那么成绩不在内的人数为人.
表示抽到的人中成绩在内的人数，所以的可能取值为，，，，.
计算取各个值的概率：
.
.
.
.
.
列出的分布列：
可得.
（3）已知，则，.
，.
今年该地共20000名学生参加比赛，所以成绩在内的学生人数约为人.
17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，点F在线段上，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面和平面的夹角的余弦值；
（3）设点G在线段上，且，判断直线是否在平面内？请说明理由．
（1）证明：因为平面，平面，则，又，
都在平面内，所以平面；
（2）解：在平面内过点作的垂线交于点，
平面，平面，则，
构建如下图示的空间直角坐标系，则，
因为为的中点，所以，故，
所以，，
设平面的一个法向量为，则，取则，
平面的一个法向量为，则，
所以平面和平面的夹角的余弦值；
（3）解：直线在平面内，理由如下：
因为点在上，且，，
所以，，
由（2）知平面的一个法向量为，所以，
所以直线在平面内.
18. 在平面直角坐标系中，点P是圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线相交于点Q，记动点Q的轨迹为曲线C．
（1）求C方程；
（2）已知点，若垂直于x轴的直线与C相交于A，B两点，设直线和C的另外一个交点为D．
（ⅰ）求证：直线过定点E；
（ⅱ）过点E作直线l交C于M，N两点（M，N在y轴右侧），求的面积的最小值．
解：（1）由在线段的垂直平分线上，则，
点是圆上任意点，则，，
所以，
所以的轨迹是以为焦点，实轴长为4的双曲线，
对应双曲线参数为，则轨迹方程为；
（2）（i）设，则，直线，
联立双曲线，得，
，且，，
由，则，
整理得，
又，，
所以，显然直线过定点，得证；
（ii）由直线过点，与双曲线右支交于，故斜率必不为0，
所以，可设，，联立双曲线，
整理得，，则，
则，，
，
令，则，
又在上单调递减，则，此时，即，
所以最小.
19. 若存在正实数a，对任意，使得，则称函数在D上是一个“函数”．
（1）已知函数在区间上是一个“函数”，求a；
（2）当时，．证明：函数在区间上是一个“函数”；
（3）证明：．
（1）解：由在区间上是一个“函数”，
所以任意，恒成立，即，
令，，则，，
要使恒成立，则，可得；
（2）证明：要证在区间上是一个“函数”，
需证时，，证明如下：
令，，则，
令，则，即在上单调递增，且，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，即，
令，，则，
令，则，
或时，，即在、上单调递增；
时，，即在上单调递减；
又，，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，即，
综上，，故结论得证；
（3）证明：当，则，由（2）知且，故，
所以，即有，
令，则，有，
所以
，得证.分数段
频数
10
30
m
n