2024-2025学年上海市杨浦区复旦大学附中高二（下）期中数学试卷（A卷）（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市杨浦区复旦大学附中高二（下）期中数学试卷（A卷）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.圆C1：(x+1)2+(y−1)2=4与圆C2：(x−2)2+(y+3)2=25的位置关系为( )
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
2.已知直线l1：ax+y−1=0，直线l2：x+ay−2=0，则“a=1”是“l1//l2”的( )条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
3.某彗星绕太阳运动的轨道是椭圆Γ，太阳的中心是Γ的一个焦点，若该彗星在绕太阳运动的过程中，距太阳表面距离的最大值为ρ，最小值为μ，太阳半径为r，则椭圆Γ的离心率为( )
A. ρ−μρ+μ+2rB. ρ+2r−μρ+μC. ρ+μρ−μ+2rD. ρ+μ+2rρ−μ
4.已知曲线Γ的对称中心为O，如果对于曲线Γ上的任意一点A，都存在Γ上另外的两点B、C，使得△ABC的垂心为O，则称Γ为“自垂曲线”.现有如下两个命题：
①任意双曲线都是“自垂曲线”；
②任意椭圆都是“自垂曲线”．
则下列判断正确的是( )
A. ①是真命题，②是真命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①是真命题，②是假命题D. ①是假命题，②是假命题
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.直线y= 33x+1的倾斜角为______．
6.圆x2+y2−500x=0的圆心坐标为______．
7.已知向量n=(366,a)为直线3x+8y+4=0的一个法向量，则a的值为______．
8.已知椭圆Γ：x24+y22=1的左焦点为F，A、B为椭圆上两点，且直线AB经过椭圆的右焦点，则△FAB的周长为______．
9.在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线x3+y3=8上一动点，则线段OP的中点轨迹方程为______．
10.双曲线y22−x218=1的两条渐近线的夹角的余弦值为______．
11.已知P(x0,y0)为圆(x−1)2+(y−2)2=4上一动点，则4x0−3y0的最大值为______．
12.若椭圆x220+y24=1的一条弦AB的中点为M(−2,1)，则直线AB的斜截式方程为______．
13.已知P为抛物线y2=4x上一点，点P到直线l1：4x−3y+6=0的距离为d1，点P到直线l2：x+4=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为______．
14.若曲线Γ：x4+y4+x2y2−3x2−3y2=0上的点都在某个圆内或圆上，则该圆半径的最小值为______．
15.圆C：x2+(y−r)2=r2(r>0)与曲线Γ：y=x3有且仅有三个公共点，则r的取值范围是______．
16.直线l与双曲线Γ：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右两支分别交于A、B两点，与双曲线的两条渐近线分别交于C、D两点(A、C、D、B从左到右依次排列)，若OA⊥OB，且|AC|，|CD|，|DB|成等差数列，则双曲线Γ的离心率的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线Γ：y2=2px的焦点为F(1,0)，A、B是抛物线Γ上两个不同的点．
(1)求抛物线Γ的方程；
(2)若直线AB斜率为1，且过点F，求线段AB的长度；
(3)设直线OA、OB的斜率为kOA、kOB，若kOA⋅kOB=−2，证明：直线AB过定点，并求该定点的坐标．
18.(本小题14分)
如图所示，A1、A2分别为椭圆Γ：x24+y23=1的左、右顶点，直线l的方程为x+2y−4=0.过原点O作直线l的平行线与椭圆Γ交于M、N两点．
(1)求证：直线l与椭圆Γ有且仅有一个公共点，并求该公共点的坐标；
(2)记(1)中的公共点为P，求证：P、M、A1、N四个点在同一圆C上，并求圆C的一般方程．
19.(本小题14分)
学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长100米、宽60米的长方形ABCD及两个以长方形宽为直径的半圆M、半圆N拼接而成，整个操场关于中轴线OO′对称.现有P、Q两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求P、Q的距离尽可能远．
(1)P、Q两位同学应处在什么位置？请说明理由；
(2)若要在操场边界上关于中轴线对称的两点R、S处分别放置两个音箱(R、S两点在线段AB上)，要求两个音箱间的距离尽可能大，同时P、Q两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过0.2秒(声音在空气中的传播速度为340米/秒)，求音箱距中轴线的距离(精确到0.1米)．
20.(本小题14分)
如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点P(x,y)是角α终边上的点(异于原点)，设|OP|=r，将点P绕O逆时针旋转θ后得到P′(x′,y′)．
(1)求证：x′=xcsθ−ysinθy′=xsinθ+ycsθ；
(2)已知曲线Γ1是函数y= 33x+1x的图像，曲线Γ2绕原点O逆时针旋转π3后得到Γ1，求Γ2的标准方程；
(3)已知曲线Γ3：x2+y2−xy=3表示一个中心在原点的椭圆，Q为第一象限内一点，且在椭圆Γ3的长轴上，满足|OQ|=2，过点Q作直线l1交曲线Γ3于点M、N，过原点O作直线l2与直线l1垂直，直线l2交曲线Γ3于点G、H，试判断： 6|MN|+3|OH|2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
21.(本小题14分)
在平面直角坐标系中，对于△ABC及直线l，记d1(A)、d1(B)、d1(C)分别表示A、B、C到l的距离，且S1=[d1(A)]2+[d1(B)]2+[d1(C)]2，对于给定的△ABC，记S1的最小值为m△ABC．
(1)已知定点A(0,0)，B(3,0)，C(2,2)，直线l的方程为x+7y+9=0，求S1的值；
(2)已知A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xC,yC)为给定的不共线的三点，若直线l0使得Sl0=m△ABC，求证：直线l0过△ABC的重心；
(3)若对于△ABC，满足S1=m△ABC的不同直线l至少有两条，试判断△ABC的形状，并予以证明．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.B
5.π6
6.(250,0)
7.976
8.8
9.x3+y3=1
10.45
11.8
12.y=25x+95
13.5
14.2
15.(2433,+∞)
16.[ 10,+∞)
17.解：(1)因为抛物线Γ：y2=2px的焦点为F(1,0)，
所以p2=1，所以p=2，
所以抛物线为y2=4x；
(2)若直线AB斜率为1，且过点F，
则l的方程为y=x−1，
联立y2=4x,y=x−1，得x2−6x+1=0，
则Δ=32>0，设A(xA,yA)、B(xB,yB)，
则由求根公式可得|xA−xB|= Δ|1|=4 2，
所以|AB|= 2|xA−xB|=8；
(3)证明：由题意可知AB所在直线斜率不为0，
设AB所在直线方程为x=my+n．
联立y2=4x,x=my+n，化简可得y2−4my−4n=0，
则Δ′=16m2+16n>0，
则yAyB=−4n，
又根据题意可知kOA⋅kOB=yAxA⋅yBxB=yA⋅yByA2⋅yB216=16y1⋅y2=16−4n=−2，则n=2，
所以直线ABx=my+2恒过点(2,0)．
18.解：(1)证明：联立x+2y−4=0x24+y23=1，消去y并整理得4x2−8x+4=0，
解得x=1，
则椭圆Γ与直线l有且仅有一个公共点P(1,32)；
(2)证明：易知直线MN的方程为y=−12x，
联立y=−12xx24+y23=1，
解得x=± 3，
即M(− 3, 32)，N( 3,− 32)，
因为P(1,32)，A1(−2,0)，
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
将A1、P、M的坐标代入圆的方程中，
此时134+D+32E+F=04−2D+F=0154− 3D+ 32E+F=0，
解得D=18E=14F=−154，
此时圆方程为x2+y2+18x+14y−154=0，
将点N( 3,− 32)代入圆的方程中，
此时3+34+ 38− 38−154=0，
所以点N也在此圆上．
故P、M、A1、N四个点在同一圆C上．
19.解：(1)由题意得，|PQ|≤|PM|+|MN|+|NQ|=30+100+30=160，
当P、M、N、Q四点共线时，P、Q两点间的距离最大，
此时P、Q两点分别在圆弧的中点，距离为160米．
(2)以CD所在的直线为x轴，以中轴线O1O2为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则A(−80,−30)，B(80,−30)，根据题意可得||AC|−|BC||=0.2×340=68，
则A、B两点在以C、D为焦点的双曲线上，2a=68，解得a=34，
设双曲线方程为x2a2−y2b2=1，则6400342−900b2=1，解得b2≈198.40，
所以c2=a2+b2≈1354.40，解得c≈36.8．
因此音箱距中轴线距离约为36.8时为最佳放置点．
20.解：(1)证明：经过逆时针旋转θ到P′后，角α+θ终边与OP′重合，
所以x′=rcs(α+θ)=rcsαcsθ−rsinαsinθ=xcsθ−ysinθ，
y′=rsin(α+θ)=rsinαcsθ+rcsαsinθ=ycsθ+xsinθ，得证．
(2)设曲线Γ2上一点为P(x,y)，逆时针旋转π3后的点P′(x′,y′)在y= 33x+1x的图像上，
则y′= 33x′+1x′，即 3y′=x′+ 3x′，
由(1)知：x′=csπ3x−sinπ3y，y′=sinπ3x+csπ3y，即x′=12x− 32y，y′=12y+ 32x，
代入 3y′=x′+ 3x′得 3(12y+ 32x)=12x− 32y+112x− 32y，
化简即得曲线Γ2的方程为x22 3− 3y22=1．
(3)设长轴在x轴上的椭圆Γ4：x2a2+y2b2=1上一点为P(x,y)，
逆时针旋转θ(0