天津市滨海新区塘沽一中2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份天津市滨海新区塘沽一中2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|(x+1)(x−3)≤0}，B={−3,−2,−1,1,2,3}，则A∩B=( )
A. {−2,−1}B. {−1,1,2,3}C. {1,2}D. {−3,−2,−1}
2.下列关于x求导正确的是( )
A. (ex)′=xex−1B. (1x)′=1x2
C. (ln2x)′=1xD. (x2+π2)′=2x+2π
3.人工智能技术(简称AI技术)已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑(以下简称AI电脑)也在全国各地逐渐热销起来.下表为M市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中x为月份代号，y(单位：万台)为AI电脑的月销量．
经过分析，y与x线性相关，且其线性回归方程为y =0.21x+a ，则2025年3月的残差为( )(实际值与预计值之差)
A. −0.04B. −0.02C. 0.02D. 0.04
4.已知a，b∈R，则“a>b”是“a+csa>b+csb”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
5.在(1−x)(1+2x)5的展开式中，x3的系数是( )
A. −40B. −20C. 20D. 40
6.随机变量X，Y满足X～B(4,12)，Y～N(2,4)，则下列选项正确的是( )
A. E(X)=E(Y)B. D(X)=D(Y)
C. P(X=2)=12D. P(Y>2)=P(Y1)，则φ′(t)=lnt−1(lnt)2，
当t∈(1,e)时，φ′(t)0，φ(t)单调递增，
所以φ(t)min=φ(e)=e，故ca(b2−2c)的最小值为e．
故选：C．
构造函数g(x)=lnx−ax2和h(x)=x2−bx+c，求导，结合零点存在性定理可得x1，x2为方程h(x)=0的两个实数根，所以Δ=b2−4c>0，x1+x2=b>0，x1x2=c>0.进而建立a，b，c间的等量关系，化简ca(b2−2c)，构造函数φ(t)=tlnt(t>1)，求导即可求解．
本题考查导数的综合应用，属于难题．
13.【答案】5 80
【解析】解：由题意可得2n=32，则n=5，
令x=1，则展开式的各项的系数和为(a+1)5=243，解得a=2，
所以二项式为(2x+1x2)5，其展开式的通项公式为Tr+1=C5r(2x)5−r(1x2)r=25−r⋅C5rx5−3r，r=0，1，…，5，
令5−3r=−1，解得r=2，所以1x的系数为23×C52=80．
故答案为：5；80．
利用二项式系数和公式求出n的值，再令x=1求出各项系数和求出a的值，然后求出二项式的展开式的通项公式，令x的指数为−1，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到二项式系数的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：对于①，根据散点图知，各点分布在一条直线附近，两变量间是线性相关关系，①正确；
对于②，根据散点图知，两变量不是确定的一次函数关系，②错误；
对于③，利用概率的知识进行预测，得到的结论有一定的随机性，③错误，
所以正确的个数为1．
故答案为：1．
由散点图知两变量间是相关关系，不是函数关系；利用概率的知识进行预测，得到的结论有一定的随机性．
本题考查两变量间是相关关系，属于基础题．
15.【答案】50
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①甲同学选择牛，乙有2种选择，丙有10种选择，此时选法有1×2×10=20种，
②甲同学选择马，乙有3种选择，丙有10种选择，此时选法有1×3×10=30种，
所以总共有20+30=50种；
故答案为：50
根据题意，按甲的选择不同分2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
16.【答案】[1,32)
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
先求出函数的导数，令导函数为0，求出x的值，得到不等式解出k的取值范围即可．
【解析】
解：因为f(x)定义域为(0,+∞)，
又f′(x)=4x−1x，
由f′(x)=0，得x=12．
当x∈(0,12)时，f′(x)0
据题意k−11时，f(x)≤0恒成立，故a=1e为最小值．
故答案为：1e．
根据函数构造及命题的否定的应用，结合导数的应用求解即可．
本题考查命题真假的判断，涉及函数的最值，属于中档题．
19.【答案】(e,+∞) 2ln2
【解析】解：由函数f(x)=12ax2−ex+1，可得f′(x)=ax−ex，
因为x1，x2函数f(x)有两个极值点，即x1，x2是ax−ex=0的两个根，
当x=0时，方程不成立，所以y=a与y=exx有两个不同的交点，
令g(x)=exx，可得g′(x)=ex(x−1)x2，
当x∈(−∞,0)∪(0,1)时，g′(x)0，
所以g(x)在(−∞,0)，(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，其中g(1)=e，
函数g(x)的图象如图所示，
要使得y=a与y=exx有两个不同的交点，则满足a>e，
即实数a的取值范围为(e,+∞)．
由图象可知，00，
那么u(x)min=u(k2)=−k24+k e−e=−(k−2 e)24≥0，
当且仅当k=2 e时，符合题意，所以直线为y=2 ex−e；
下面证明：g(x)=2elnx≤2 ex−e，
令函数G(x)=2 ex−e−2elnx,x>0，可得导函数G′(x)=2 e(x− e)x，
令G′(x)=0，解得x= e，
当x∈( e,+∞)时，G′(x)>0，函数G(x)单调递增；
当x∈(0, e)时，G′(x)