江西省鹰潭市2025届高三下学期一模数学试卷（Word版附解析）

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命题人：黄鹤飞 鹰潭市第一中学 审题人：李麟 贵溪市第一中学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页.时间120分钟.满分150分.
第I卷 选择题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知i是虚数单位，复数满足，那么的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若且，则实数（ ）
A. B. 3C. D.
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知直线：和：相交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，随机变量，若，则的值为（ ）
A. 81B. 242C. 243D. 80
7. 过椭圆上的点作圆的两条切线，切点分别为，.若直线在轴，轴上的截距分别为，，若，则椭圆离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 数列满足，，给出下列四个结论：
①存在正整数，且，使得；
②存在，使得，，成等比数列；
③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列；
④
其中所有证确结论的是（ ）
A. ②③B. ③④C. ①②④D. ①③④
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（ ）
参考公式：，
A. 当时，成对样本数据成线性正相关；
B. 当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强；
C. ，时，成对样本数据的相关系数满足；
D. ，时，成对样本数据的线性回归方程满足；
10. 正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，为正方形边上的动点（不与重合）.为平面内一动点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 存在点，使得直线与平面垂直
B. 平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等
C. 的取值范围为；
D. 若动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为.
11. 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线：被称为“四叶玫瑰线”（如图所示），是上在第一象限内的一点.给出的下列三个结论中，正确结论的选项是（ ）
A. 曲线上任意一点到原点的距离都不超过2；
B. 曲线经过5个整点（即横纵坐标均为整数的点）；
C. 存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使曲线在此正方形区域内（含边界）.
D. 的最大值为
第II卷 非选择题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则___________.
13. 若正实数，满足条件：（是自然对数底数），则的最大值是______.
14. 如图：在中，，，三点分别在边，，上，则，，的外接圆交于一点，称点为密克点.运用上述结论解决如下问题：在梯形中，，，，为边的中点，动点在边上，与的外接圆交于点（异于点），则的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数（是自然对数的底数），为的导函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若函数，求函数在上的极值.
16. 如图，在三棱柱中，，，
（1）求证：；
（2）侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
17. 预防接种是预防掌握传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众的重要措施.为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物（数量较大）进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位；只）：
（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？
（2）从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物接种疫苗，定义事件优势，在事件发生的条件下的优势，利用抽样的样本数据，求的估计值.
（3）若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中接种疫苗的只数为，求随机变量的分布列、数学期望.
附：，其中
18. 已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，过焦点作直线交抛物线于，两点，且.

（1）求抛物线的标准方程；
（2）如图，过抛物线上的三个不同点，，（在，之间），作抛物线的三条切线，分别两两相交于点，，.是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）当点的横坐标为4时，以为直角顶点，作抛物线的两个内接及（抛物线的内接三角形是指三角形的三个顶点都在抛物线上），求线段，的交点坐标.
19. 设为正数，若以为首项的等比数列满足：，，也构成等比数列，则称为所对应的一个型数列.
（1）若型数列存在并且唯一，求的值；
（2）若，，其中，是一个型数列.
（i）求的值；
（ii）令，，探究，，之间的关系，并求的值.发病
没发病
合计
接种疫苗
7
18
25
没接种疫苗
19
6
25
合计
26
24
50
0.050
0010
0.001
3.841
6.635
10.828