2023年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷

这是一份2023年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．﹣的绝对值是（ ）
A．B．10C．﹣D．﹣10
2．下列运算一定正确的是（ ）
A．（﹣ab）2＝﹣a2b2B．a3•a2＝a6
C．（a3）4＝a7D．b2+b2＝2b2
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．​​
5．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，点C在⊙O上，OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD，若∠B＝65°，则∠DOC的度数为（ ）
A．45°B．50°C．65°D．75°

6．方程＝的解为（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2
7．为了改善居民生活环境，云宁小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．x（x﹣6）＝720B．x（x+6）＝720C．x（x﹣6）＝360D．x（x+6）＝360
8．将10枚黑棋子、5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
10．一条小船沿直线从A码头向B码头匀速前进，到达B码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回A码头，在整个过程中，这条小船与B码头的距离s（单位：m）与所用时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从A码头到B码头的速度和从B码头返回A码头的速度分别为（ ）
A．15m/min，25m/minB．25m/min，15m/min
C．25m/min，30m/minD．30m/min，25m/min
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．船闸是我国劳动人民智慧的结晶，三峡船闸的“人”字闸门是目前世界上最大的巨型闸门，重867000千克，用科学记数法表示为 千克．
12．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
13．已知反比例函数的图象经过点（a，7），则a的值为 ．
14．计算的结果是 ．
15．把多项式xy2﹣16x分解因式的结果是 ．
16．抛物线y＝﹣（x+2）2+6与y轴的交点坐标是 ．
17．不等式组的解集是 ．
18．一个扇形的圆心角是150°，弧长是πcm，则扇形的半径是 cm．
19．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F在矩形ABCD边上，连接OF．若∠ADB＝38°，∠BOF＝30°，则∠AOF＝ ．
20．如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，连接AE，BE，F为BE的中点，连接CF，若 CF＝，＝，则AE的长为 ．
三、解答题（共60分）
21．（7分）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中x＝2cs45°﹣1．
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出△ABE，且AB＝BE，∠ABE为钝角（点E在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中将线段CD向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到线段MN（点C的对应点是点M，点D的对应点是点N）．连接EN，请直接写出线段EN的长．
23．（8分）军乐中学开展以“我最喜欢的劳动实践课”为主题的调查活动，围绕“在园艺课、泥塑课、编织课、烹饪课四门劳动实践课中，你最喜欢哪一门课？（必选且只选一门）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢泥塑课的学生人数占所调查人数的20%，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若军乐中学共有1200名学生，请你估计该中学最喜欢烹饪课的学生共有多少名．
24．（8分）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，EF，DE＝BF，BE＝BC．
（1）如图①，求证△AED≌△EFB；
（2）如图②，若AB＝AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等．
25．（10分）佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米．
（1）求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米；
（2）该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？
26．（10分）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，N为的中点，连接ON交AC于点H．
​
（1）如图①，求证：BC＝2OH；
（2）如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB＝DC，求证OD∥AC；
（3）如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G，DG＝CH，过点F作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF：DF＝3：2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR＝CM，AT＝4，求AB的长．
27．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣6，0），B（8，0），与y轴交于点C．
​
（1）求a，b的值；
（2）如图①，E是第二象限抛物线上的一个动点，连接OE，CE，设点E的横坐标为t，△OCE的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图②，在（2）的条件下，当S＝6时，连接BE交y轴于点R，点F在y轴负半轴上，连接BF，点D在BF上，连接ED，点L在线段RB上（点L不与点B重合），过点L作BR的垂线与过点B且平行于ED的直线交于点G，M为LG的延长线上一点，连接BM，EG，使∠GBM＝∠BEG，P是x轴上一点，且在点B的右侧，∠PBM﹣∠GBM＝∠FRB+∠DEG，过点M作MN⊥BG，交BG的延长线于点N，点V在BG上，连接MV，使BL﹣NV＝BV，若∠EBF＝∠VMN，求直线BF的解析式．
2023年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．﹣的绝对值是（ ）
A．B．10C．﹣D．﹣10
【分析】负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案．
【解答】解：|﹣|＝﹣（﹣）＝，
故选：A．
【点评】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义及性质是解题的关键．
2．下列运算一定正确的是（ ）
A．（﹣ab）2＝﹣a2b2B．a3•a2＝a6
C．（a3）4＝a7D．b2+b2＝2b2
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（﹣ab）2＝a2b2，故A不符合题意；
B、a3•a2＝a5，故B不符合题意；
C、（a3）4＝a12，故C不符合题意；
D、b2+b2＝2b2，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】观察四个选项中的图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
【解答】解：A．本选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B．本选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．本选项图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D．本选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键．
4．七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．​​
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：观察几何体可知，该几何体的俯视图如下：
．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，点C在⊙O上，OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD，若∠B＝65°，则∠DOC的度数为（ ）
A．45°B．50°C．65°D．75°
【分析】根据切线的性质证明AB∥OC，得∠OCD＝∠B＝65°，然后再根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，
∵OC⊥OA，
∴AB∥OC，
∴∠OCD＝∠B＝65°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝65°，
∴∠DOC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，解决本题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．
6．方程＝的解为（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：分式方程去分母得：2x+2＝3x，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
故选：C．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
7．为了改善居民生活环境，云宁小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．x（x﹣6）＝720B．x（x+6）＝720C．x（x﹣6）＝360D．x（x+6）＝360
【分析】先表示出矩形空地的宽，再根据矩形的面积为720平方米列出方程，本题得以解决．
【解答】解：设矩形空地的长为x米，则设矩形空地的宽为（x﹣6）米，
由题意可得，x（x﹣6）＝720，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
8．将10枚黑棋子、5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】从盒子中随机取出一枚棋子有15种等可能结果，其中取出的棋子是黑棋子的有10种结果，根据概率公式求解即可．
【解答】解：从盒子中随机取出一枚棋子有15种等可能结果，其中取出的棋子是黑棋子的有10种结果，
所以其概率为＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
9．如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】由AB∥DC易得△CDO∽△ABO，根据相似三角形的性质可得＝，于是AC＝OA+OC＝OA+OA＝12，求出OA＝8，易得MN为△AOB的中位线，则MN＝OA．
【解答】解：∵AB∥DC，
∴△CDO∽△ABO，
∴，
∵DO：OB＝1：2，
∴＝，
∴OC＝OA，
∵AC＝OA+OC＝12，
∴OA+OA＝12，
∴OA＝8，
∵MN∥AC，M是AB的中点，
∴MN为△AOB的中位线，
∴MN＝OA＝＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟记“8”字模型相似三角形，以及三角形中位线定理是解题关键．
10．一条小船沿直线从A码头向B码头匀速前进，到达B码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回A码头，在整个过程中，这条小船与B码头的距离s（单位：m）与所用时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从A码头到B码头的速度和从B码头返回A码头的速度分别为（ ）
A．15m/min，25m/minB．25m/min，15m/min
C．25m/min，30m/minD．30m/min，25m/min
【分析】结合图象，利用“速度＝路程÷时间”可得答案．
【解答】解：这条小船从A码头到B码头的速度为：1500÷50＝30（m/min），
从B码头返回A码头的速度为：1500÷（160﹣100）＝25（m/min）．
故选：D．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．船闸是我国劳动人民智慧的结晶，三峡船闸的“人”字闸门是目前世界上最大的巨型闸门，重867000千克，用科学记数法表示为 8.67×105 千克．
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【解答】解：867000＝8.67×105，
故答案为：8.67×105．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
12．在函数中，自变量x的取值范围是 x≠8 ．
【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣8≠0，
解得：x≠8，
故答案为：x≠8．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
13．已知反比例函数的图象经过点（a，7），则a的值为 2 ．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，可得k＝14，列出方程求出a值即可．
【解答】解：∵y＝，即k＝xy＝14，
∴14＝7a，
∴a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的特征，反比例函数图象上点的纵横坐标之积等于k．
14．计算的结果是 2 ．
【分析】根据二次根式的性质将和7进行化简，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝3﹣
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次根式的加减法，二次根式的性质，掌握二次根式的性质以及合并同类二次根式的方法是正确解答的前提．
15．把多项式xy2﹣16x分解因式的结果是 x（y+4）（y﹣4） ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：xy2﹣16x
＝x（y2﹣16）
＝x（y+4）（y﹣4），
故答案为：x（y+4）（y﹣4）．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
16．抛物线y＝﹣（x+2）2+6与y轴的交点坐标是 （0，2） ．
【分析】令x＝0，求出y的值，即可求出抛物线与y轴的交点坐标．
【解答】解：在抛物线y＝﹣（x+2）2+6中，令x＝0，
即y＝﹣4+6＝2，
则抛物线y＝﹣（x+2）2+6与y轴的交点坐标是（0，2），
故答案为：（0，2）．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是令x＝0，求出y的值，此题难度不大．
17．不等式组的解集是 x＞ ．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x＞，
由①得：x≥﹣，
则不等式组的解集为x＞．
故答案为：x＞．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
18．一个扇形的圆心角是150°，弧长是πcm，则扇形的半径是 3 cm．
【分析】直接利用弧长公式计算得出答案．
【解答】解：设扇形的半径是Rcm，
则＝π，
解得：R＝3，
∴扇形的半径是3cm．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了弧长公式的应用，正确记忆弧长公式是解题关键．
19．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F在矩形ABCD边上，连接OF．若∠ADB＝38°，∠BOF＝30°，则∠AOF＝ 46°或106° ．
【分析】由矩形的性质，得到OD＝OA，因此∠OAD＝∠ODA＝38°，由三角形外角的性质得到∠AOB＝∠ADO+DAO＝76°，当F在AB上时，得到∠AOF＝∠AOB﹣∠BOF＝46°；当F在BC上时，得到∠AOF＝∠AOB+∠BOF＝106°．
【解答】当F在AB上时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OA，
∠OAD＝∠ODA＝38°，
∴∠AOB＝∠ADO+∠DAO＝76°，
∵∠BOF＝30°，
∴∠AOF＝∠AOB﹣∠BOF＝46°；
当F在BC上时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OA，
∠OAD＝∠ODA＝38°，
∴∠AOB＝∠ADO+DAO＝76°，
∵∠BOF＝30°，
∴∠AOF＝∠AOB+∠BOF＝106°，
∴∠AOF＝46°或106°．
故答案为：46°或106°．
【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，关键是要分两种情况讨论．
20．如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，连接AE，BE，F为BE的中点，连接CF，若 CF＝，＝，则AE的长为 ．
【分析】由直角三角形的性质可得BE＝2CF＝，设DE＝3x，EC＝2x，则DC＝BC＝5x，根据勾股定理可求出x＝1，即可求出正方形的边长，再利用勾股定理即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝DC＝AD，
∵F为BE的中点，CF＝，
∴BE＝2CF＝，
设DE＝3x，EC＝2x，则DC＝BC＝5x，
在Rt△BCF中，（5x）2+（2x）2＝（）2，
解得x＝1或﹣1（舍去），
∴CE＝2，DE＝3，BC＝AD＝DC＝5，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，
即AE＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理列方程解决问题是解题关键．
三、解答题（共60分）
21．（7分）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中x＝2cs45°﹣1．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：（﹣）÷
＝
＝
＝
＝，
∵x＝2cs45°﹣1＝，
∴原式＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出△ABE，且AB＝BE，∠ABE为钝角（点E在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中将线段CD向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到线段MN（点C的对应点是点M，点D的对应点是点N）．连接EN，请直接写出线段EN的长．
【分析】（1）根据要求作出三角形ABE即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出C，D的对应点M，N即可，再利用勾股定理求出EN．
【解答】解：（1）如图，△ABE即为所求；
（2）如图，线段MN即为所求，EN＝＝．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（8分）军乐中学开展以“我最喜欢的劳动实践课”为主题的调查活动，围绕“在园艺课、泥塑课、编织课、烹饪课四门劳动实践课中，你最喜欢哪一门课？（必选且只选一门）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢泥塑课的学生人数占所调查人数的20%，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若军乐中学共有1200名学生，请你估计该中学最喜欢烹饪课的学生共有多少名．
【分析】（1）根据最喜欢泥塑课的学生人数除以所占的百分比，即可求出调查总人数；
（2）用总人数减去喜欢园艺课、泥塑课、烹饪课的人数，求出喜欢编织课的人数，即可求出答案；
（3）用全校总学生数乘样本中最喜欢烹饪课的学生所占的百分比，即可求出答案．
【解答】解：（1）10÷20%＝50（名），
答：在这次调查中，一共抽取了50名学生；
（2）喜欢编织课的人数为：50﹣15﹣10﹣20＝5（名），
补全条形统计图如下：
（3）1200×＝480（名），
答：估计该中学最喜欢烹饪课的学生共有480名．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
24．（8分）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，EF，DE＝BF，BE＝BC．
（1）如图①，求证△AED≌△EFB；
（2）如图②，若AB＝AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等．
【分析】（1）由平行四边形的性质推出AD∥BC，AD＝BC，得到∠ADE＝∠EBF，又BC＝BE，得到AD＝BE，即可证明△AED≌△EFB（SAS）；
（2）由平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠EBF，
∵BC＝BE，
∴AD＝BE，
在△AED和△EFB中，
，
∴△AED≌△EFB（SAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
∵AB＝AD，
∴AB＝BC，
∵BE＝BC，
∴AB＝BE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∵CH∥AE，
∴∠DHC＝∠BEA，
∵AB∥CD，
∴∠CDH＝∠ABE，
∴∠DCH＝∠BAE，
∵△AED≌△EFB（SAS），
∴∠AED＝∠EFB，
∴∠EFC＝∠AEB，
∴与∠BAE相等角是∠AEB，∠DHC，∠EFC，∠DCH．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练运用以上知识点是解题的关键．
25．（10分）佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米．
（1）求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米；
（2）该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？
【分析】（1）设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米，根据“1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需要生产（100﹣m）套A款服装，根据所用布料不超过168米，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米，
根据题意得：，
解得：．
答：每套A款服装需用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米；
（2）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需要生产（100﹣m）套A款服装，
根据题意得：1.8（100﹣m）+1.6m≤168，
解得：m≥60，
∴m的最小值为60．
答：该服装厂最少需要生产60套B款服装．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26．（10分）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，N为的中点，连接ON交AC于点H．
​
（1）如图①，求证：BC＝2OH；
（2）如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB＝DC，求证OD∥AC；
（3）如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G，DG＝CH，过点F作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF：DF＝3：2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR＝CM，AT＝4，求AB的长．
【分析】（1）连接OC，证明OH是△ABC的中位线，即可得到BC＝2OH；
（2）设∠BDC＝2α，证明△DOB≌△DOC（SSS），可得∠BDO＝∠CDO＝∠BDC＝α，再推导出∠CDO＝∠ACD，即可证明DO∥AC；
（3）连接AD，延长AE与BC交于W点，延长AC、TM交于L点，先证明△DGF≌△CHE（AAS），得到DF＝CE，再证明△DFG≌△AFH（ASA），得到AE＝DF，从而判断出四边形ADFE是矩形，得到EF⊥BD，求出tan∠EDF＝，通过证明△FRK≌△CML（AAS），推导出CL＝FK＝2FG＝CW，再证明△AWC≌△TLC（AAS），则AC＝TC，在Rt△ACT中，由AT＝4，求出AC＝CT＝4，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝，求出BC＝6，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB＝＝2．
【解答】（1）证明：如图①，连接OC，
∵N是的中点，
∴＝，
∴∠AON＝∠CON，
∵OA＝OC，
∴AH＝HC，
∵OA＝OB，
∴OH是△ABC的中位线，
∴BC＝2OH；
（2）证明：如图②，设∠BDC＝2α，
∵BD＝CD，DO＝DO，BO＝OC，
∴△DOB≌△DOC（SSS），
∴∠BDO＝∠CDO＝∠BDC＝α，
∵OB＝OD，
∴∠DBO＝∠BDO＝α，
∵∠ACD＝∠ABD＝α，
∴∠CDO＝∠ACD，
∴DO∥AC；
（3）解：如图③，连接AD，延长AE与BC交于W点，延长AC、TM交于L点，
∵FG⊥OD，
∴∠DGF＝90°，
∵∠CHE＝90°，
∴∠DGF＝∠CHE，
∵∠FDG＝∠ECH，DG＝CH，
∴△DGF≌△CHE（AAS），
∴DF＝CE，
∵AH＝CH，
∴OH⊥AC，
∴∠EHC＝∠DGF，
∵AH＝HC，
∴△AEC是等腰三角形，
∴AE＝EC，∠EAC＝∠ECA，
∵∠BDO＝∠ODE＝∠ECA，
∴∠EAH＝∠FDG，
∵DG＝CH，
∴DG＝AH，
∴△DFG≌△AFH（ASA），
∴AE＝DF，
∵∠DEA＝2∠ECA，∠FDE＝2∠ODE，
∴∠FDE＝∠DEA，
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形ADFE是矩形，
∴EF⊥BD，
∵EF：DF＝3：2，
∴tan∠EDF＝，
∵FR⊥CD，FG⊥DO，
∴∠ODE＝∠RFK＝90°，
∵∠ECA＝∠MCL，
∴∠RFK＝∠LCM，
∵CM⊥MT，
∴∠CML＝90°，
∵FR＝CM，
∴△FRK≌△CML（AAS），
∴CL＝FK＝2FG，
∵BC＝2OH，EH＝OH，
∴EH是△AWC的中位线，
∴CW＝2EH，
∵EH＝FG，
∴CL＝FK＝2FG＝CW，
∵∠TCL＝∠CMT＝90°，
∴∠MCL＝∠CTM，
∵∠ACE＝∠ECA＝∠LCM，
∴∠CTM＝∠WAC，
∴△AWC≌△TLC（AAS），
∴AC＝TC，
在Rt△ACT中，AT＝4，
∴AC＝CT＝4，
∵AW∥BD，
∴∠BAW＝∠DBC，
∵∠DBO＝∠BDO，∠EAC＝∠BDO＝∠ODE，
∴∠BAC＝∠BDE，
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝，
∴BC＝6，
在Rt△ABC中，AB＝＝2．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的直径所对的圆周角是直角，作出合适的辅助线是解题的关键．
27．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣6，0），B（8，0），与y轴交于点C．
​
（1）求a，b的值；
（2）如图①，E是第二象限抛物线上的一个动点，连接OE，CE，设点E的横坐标为t，△OCE的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图②，在（2）的条件下，当S＝6时，连接BE交y轴于点R，点F在y轴负半轴上，连接BF，点D在BF上，连接ED，点L在线段RB上（点L不与点B重合），过点L作BR的垂线与过点B且平行于ED的直线交于点G，M为LG的延长线上一点，连接BM，EG，使∠GBM＝∠BEG，P是x轴上一点，且在点B的右侧，∠PBM﹣∠GBM＝∠FRB+∠DEG，过点M作MN⊥BG，交BG的延长线于点N，点V在BG上，连接MV，使BL﹣NV＝BV，若∠EBF＝∠VMN，求直线BF的解析式．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）求出OC＝6，则S＝（﹣t）×6＝﹣3t；
（3）先求E（﹣2，5），以BM为一边作∠MBT＝∠MBN，∠MBT的另一边BT交LM的延长线于点T，可推导出∠EBT＝60°，∠T＝30°，则LB＝BT，作MK⊥BT，能证明△MNB≌△MKB（AAS），再证明Rt△NMV≌Rt△KMT（HL），得到∠EBF＝60°，作FS⊥BE交于S点，作EQ⊥x轴交于Q点，则∠EQB＝∠RSF＝∠BSF＝90°，求出EQ＝5，QB＝10，由tan∠EBQ＝＝，可得方程＝，求得OR＝4，再由勾股定理求BR＝＝4，设FS＝2m，则RS＝3m，BS＝2m，则3m+2m＝4，解得m＝，又因为RF＝＝m＝，可求OF＝，从而得到F（0，﹣），用待定系数法求出直线BF的解析式为y＝x﹣．
【解答】解：（1）将点A（﹣6，0），B（8，0）代入y＝ax2+bx+6，
，
解得；
（2）由（1）可知抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+6，
当x＝0时，y＝6，
∴C（0，6），
∴OC＝6，
∴S＝（﹣t）×6＝﹣3t；
（3）∵S＝6，
∴﹣3t＝6，
解得t＝﹣2，
∴E（﹣2，5），
如图：以BM为一边作∠MBT＝∠MBN，∠MBT的另一边BT交LM的延长线于点T，
∵ED∥BG，
∴∠DEB＝∠EBG，
∵∠GEB＝2∠GBM，
∴∠GEB＝∠GBT，
∴∠DEB+∠GEB＝∠EBG+∠GBT，
∴∠DEG＝∠EBT，
∵∠PBM﹣∠GBM＝∠FRB+∠DEG，∠PBM﹣∠GBM＝∠TBP，∠ROB＝90°，
∴∠TBP＝90°﹣∠RBO+∠EBT，
∵∠RBO+∠EBT+∠TBP＝180°，
∴∠EBT＝60°，
∵LG⊥EB，
∴∠GLB＝90°，
∴∠T＝30°，
∴LB＝BT，
作MK⊥BT，
∵MN⊥GB，
∴∠MKT＝∠N＝∠MKB＝90°，
∵MB＝MB，
∴△MNB≌△MKB（AAS），
∴NB＝BK，MN＝MK，
∵BL﹣NV＝BV，
∴2BL﹣2NV＝BV，
∴BT﹣NV＝BV+NV＝BN＝BK，
∴BT﹣BK＝NV＝KT，
∴Rt△NMV≌Rt△KMT（HL），
∴∠T＝∠NVM＝30°，
∴∠NMV＝60°，
∵∠EBF＝∠VMN，
∴∠EBF＝60°，
作FS⊥BE交于S点，作EQ⊥x轴交于Q点，
∴∠EQB＝∠RSF＝∠BSF＝90°，
∵B（8，0），
∴OB＝8，
∵E（﹣2，5），
∴EQ＝5，QB＝10，
∵tan∠EBQ＝＝，
∴＝，
解得OR＝4，
∴BR＝＝4，
∵tan∠FRB＝＝＝＝，tan∠FBS＝tan60°＝＝，
∴设FS＝2m，则RS＝3m，BS＝2m，
∴3m+2m＝4，
解得m＝，
∵RF＝＝m＝，
∴OF＝，
∴F（0，﹣），
设直线BF的解析式为y＝kx+c，
∴，
解得，
∴直线BF的解析式为y＝x﹣．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
2023/8/25 11:32:00；用户：陈莉；邮箱：[email protected]；学号：39221433