陕西省西安市西北工业大学附属中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安市西北工业大学附属中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（ ）
A．1B．C．iD．
2．已知平面向量，，且，则（ ）
A．5B．C．D．
3．已知等比数列的首项为1，若，，成等差数列，则数列的前5项和为（ ）
A．B．2
C．D．
4．若为等差数列的前项和，且，则数列的公差（ ）
A．B．C．D．
5．已知的三个角的对边分别是，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6．平面直角坐标系中，等边的边长为，M为BC中点，B，C分别在射线，上运动，记M的轨迹为，则（ ）
A．为部分圆B．为部分线段
C．为部分抛物线D．为部分椭圆
7．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若，是线段的三等分点，则的周长为（ ）
A．20B．10C．D．
9．已知物体的运动方程是（表示时间，表示位移），则瞬时速度为0的时刻是
A．0秒、2秒或4秒B．0秒、2秒或16秒
C．2秒、8秒或16秒D．0秒、4秒或8秒
二、多选题
10．已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（ ）
A．若，则的面积为
B．使为直角三角形的点有6个
C．的最大值为
D．若，则的最大、最小值分别为和
11．已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递增
C．D．
三、填空题
12．已知数列满足，，则数列的第2 024项为 .
13．如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则 ．

14．已知方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知函数，且．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值．
16．如图，在三棱柱中，，，，．
（1）证明：平面平面．
（2）求二面角的正弦值．
17．已知数列中，，满足.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.
18．已知在直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点的直线与交于两点，连接延长与分别交于两点，
①求面积的最小值；
②求证：直线恒过定点．
19．已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，证明：．
参考答案
1．【答案】C
【分析】由题意求得，利用复数除法即可.
【详解】因为，且复数，在复平面内对应的点关于轴对称，
所以，
所以，
故选C.
2．【答案】B
【详解】．因为，所以，解得．
故选B．
3．【答案】C
【详解】解：设的公比为，
因为，，成等差数列，所以，即，
所以，
所以．
所以，
因为，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
所以．
故选C．
4．【答案】C
【详解】由题意可得，，解得.
故选C.
5．【答案】D
【详解】因为，，所以，
因为，所以，所以，即，
又，得，
所以.
故选D.
6．【答案】D
【详解】如图，
由题意不妨设，则，
而，即，
又，
所以，即，
因为，所以，即为部分椭圆.
故选D.
7．【答案】B
【详解】解：，2，，可以取，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，故A错误；，故D错误；，故C错误；，故B正确．
故选B．
8．【答案】D
【详解】不妨设点在第一象限，，分别为椭圆的左右两焦点，令椭圆半焦距为c，
由，是线段的三等分点，得是线段的中点，而坐标原点是的中点，
则，轴，把代入椭圆方程，得，而，则，
由为线段的中点，得，因此，
解得，而，于是，
所以的周长为.
故选D
9．【答案】D
【详解】因为物体的运动方程为，则可知，
令得t=0或 t=4或t=8，
故选D
10．【答案】BCD
【详解】如图，A选项：因为椭圆方程，所以，，所以，
所以的面积为，故A错误；
B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个，
设椭圆的上下顶点分别为，，则,同理，
知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形，
其他位置不满足，所以满足条件的点有6个，故B正确；
C选项：由于，
所以当最小即时，取得最大值，故C正确；
D选项：因为，
又，则的最大、最小值分别为和，
当点位于直线与椭圆的交点时取等号，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】AD
【详解】，因为，所以，即在上单调递增，故正确；
，因为在上单调递增，，所以，所以，即在上单调递减，故B错误；
要比较，即比较的大小，因为在上单调递增，，所以，即，故C错误；
因为在上单调递减，所以，即，故D正确.
故选AD.
12．【答案】/
【详解】因为，故，，，，
，，…，
故数列是周期数列且周期为4，
故.
13．【答案】
【详解】设分别为的中点，连接，
在正三角形ABC中，，，
在正方形BCDE中，，，，
所以为二面角的平面角，即，
.

14．【答案】
【详解】由，得，令，
则函数的图象与直线在上有两个交点，
而；
令，，则恒成立，
故在上单调递增，故，即，
令，函数，，
则函数的图象与直线有两个交点，由，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处有极小值，
且，当且时，，
所以，即实数m的取值范围是.
15．【答案】（1）
（2）极大值，极小值
【详解】（1）已知，函数定义域为，
可得，
因为，所以，解得，
此时，
易知，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由（1）知，当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，极大值；
当时，函数取得极小值，极小值．
16．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）取的中点O，连接，，．
四边形为平行四边形，
又因为，，所以为等边三角形，
所以，．
在中，，．
因为，所以．
因为，平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，．
，，．
设平面的法向量为，平面的法向量为．
，即，令，得．
，即，令，得．
，则，
故二面角的正弦值为．
17．【答案】（1）证明见解析；；
（2）
【详解】（1）由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列；
，.
（2）由（1）得：，
，；
令，，
则当时，；当时，；，
，解得：，即实数的取值范围为.
18．【答案】(1)；
(2)① ；②证明见详解.
【详解】（1）设点，则由题意可知：，
化简得，
综上可知动点的轨迹方程为：；
（2）①根据（1），由题意可设直线，
不妨令A在第一象限，则在第四象限，在第一象限，如图所示，
联立抛物线方程，
显然，
所以，
，
当且仅当时，的最小值；
②证明：设，设直线为，
与抛物线联立有，
显然，同理可得．
所以，又，
所以，
设直线为，
联立得，
，
得．
所以直线为，
直线恒过定点.
19．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）；（3）证明见解析 .
【详解】（1）由题意可知，当时，，，
则，令，则，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）由条件得，
令，则，
①当，即时，在上，，即单调递增，
所以，即，
在上为增函数，，
时满足条件．
②当时，令，
解得，在上，，单调递减，
当时，有，即，则在上为减函数，，不合题意．
综上，实数的取值范围为．
（3）由（2）得，当且时，，即，
要证不等式，只需证明，
只需证明，只需证，
设，则，
所以当时，恒成立，故在0,+∞上单调递增，
又．恒成立，原不等式成立．
已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值范围
(1)直接法：直接根据题设条件构造关于参数的方程(组)或不等式 (组)，通过解方程(组)或不等式(组)确定参数的值或取值范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，化为a＝g(x)的形式，进而转化成求函数的值域问题；
(3)数形结合法：将函数解析式(方程)作移项等变形，转化为两函数图象的交点问题，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质求解．