广东省揭阳第一中学2024−2025学年高二下学期第一次阶段考试 数学试卷（含解析）

这是一份广东省揭阳第一中学2024−2025学年高二下学期第一次阶段考试 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，则（ ）
A．10B．C．5D．
3．若双曲线的实轴长为4，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知直线和直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．36D．18
6．已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．设双曲线 C:x2a2-y2b2=1a＞0,b＞0 的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上的一点， PF⋅OP+PF⋅OF=0 ， FO 在 FP 上的投影向量的模为 45OF ，则双曲线C的离心率为（ ）
8．棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列结论不正确的是（ ）
A．动点的轨迹的长度为
B．的最小值为
C．三棱锥体积的最小值为
D．当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知是数列的前项和，若，则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．数列是等比数列
C．
D．数列的前项和为
10．已知函数的导函数为（ ）
A．若有三个零点，则B．
C．是的极小值点D．当时，则
11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积大于4
三、填空题（本大题共3小题）
12．设函数满足，则 .
13．某商场进行“福气到”抽奖活动，福袋中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，可获奖.则获奖概率是 .
14．已知正项数列中，，且，若，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角所对的边分别为.已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
16．已知函数的图象在点处的切线经过点.
（1）证明：数列是等差数列.
（2）求数列的前项和.
17．如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点是的中点，点在底面上的射影为点，点在棱上，且四棱锥的体积为．
（Ⅰ）若点是的中点，求证：平面平面；
（Ⅱ）若，且二面角的余弦值为，求的值．
18．如图，已知：椭圆，椭圆的左、右焦点为，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过椭圆左焦点作圆的切线，求切线方程．
（3）设为（1）中双曲线上异于顶点的任一点，直线和，与椭圆的交点分别为和．是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19．已知函数（其中为自然对数的底数）．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在有唯一零点，求实数的取值范围；
（3）若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，所以或，
又因为，所以，故A错误；，故B错误；
，故C正确，，故D错误.
故选C.
2．【答案】A
【详解】解法一：，
解法二：因为，所以，
故选A.
3．【答案】A
【详解】因为双曲线的实轴长为4，
所以，解得.
故选A.
4．【答案】B
【详解】由题设，可得，解得或.
当时，，此时，当时，，此时，
所以“”不能推出“”；“”能推出“”，
则“”是“”的必要不充分条件.
故选B.
5．【答案】C
【详解】在等比数列中，，则，
所以，所以，
所以，
则.
故选C.
6．【答案】B
【解析】先求导可得,则可转化问题为在上有解,进而求解即可
【详解】由题得,,
因为,则若函数在区间存在单调递减区间,
即在上有解,
即存在,使得成立,
设,则,
当时,,
所以,即,
故选B.
7．【答案】C
【详解】取M为 PF 的中点， F2 为右焦点，∵ PF⋅OP+OF=2PF⋅OM=0 ,
∴ OM⊥PF ，∴ OF=OP=c ，∵ FO 在 FP 上的投影为 45OF ，∴ FM=45c ,
∴ OM=35c ，∴ PF=85c ，∴ PF2=65c ，
∵ PF-PF2=2a ，∴ 25c=2a ，∴ e=5 ，
故选C.
【思路导引】解决圆锥曲线的离心率问题往往需根据题目条件建立关于 a,b,c 的一个等量关系或不等关系，结合离心率定义得解.
8．【答案】C
【详解】对于A，取，的中点，连接，
所以，又易证，所以，
又平面，平面，所以平面，
又因为为棱的中点，所以，又，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又为正方形内一个动点（包括边界），且平面，
所以为动点的轨迹，又，所以动点的轨迹的长度为，故A正确；
对于B，又易得，所以为的中点时，，
此时，所以的最小值为，故B正确；
对于C，，其中为到的距离，
所以最小时，最小，显然在处时，最小，
此时，故C错误；
对于D，因为是直角三角形，所以外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上，
设外接球的球心为，由，可得，
所以，解得，
所以，所以外接球的表面积为，故D正确.
故选C.
9．【答案】ABD
【详解】因为，所以当时，；
当时，.故选项A正确.
因为，即，所以.
因为，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列.故选项B正确.
由选项B知，，所以，即当时，.
当时，不满足上式，所以，故选项C错误.
由知，所以数列是首项为0，公差为1的等差数列，
所以数列的前项和为，故选项D正确.
故选ABD.
10．【答案】ABD
【详解】因为函数，所以，
令，解得，或，
当，或，，当，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
，，
对于A，由得，
即，，
因为在上单调递减，所以在上只有一个零点，
因为，在上单调递增，
可得在上只有一个零点，
因为，在上单调递增，
可得在上只有一个零点，
综上，有三个零点，故A正确；
对于B，，
，
所以，故B正确；
对于C，是的极大值点，故C错误；
对于D，当时，则，
解得，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】ABD
【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点的坐标，即得；对于C，将直线与抛物线方程联立求出的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断.
【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为,
将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故A正确；
对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得，
由图象对称性，可得,故，即B正确；
对于C，
如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点,
由解得，由解得，,
即得,
则弦长为：，
由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0，
即在第一象限部分满足，不妨设，则，且，
代入得，，（）
由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即C错误；
对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值.
如图，
在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行，
由可得切点坐标为,因,则点到直线的距离为，
于是,由图知，半个花瓣的面积必大于，
故原图中的阴影部分面积必大于，故D正确.
故选ABD.
【思路导引】本题主要考查曲线与方程的联系的应用问题，解题思路是，理解题意，结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数的图象单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解.
12．【答案】
【详解】因为，所以，
所以，所以.
13．【答案】#
【详解】每次抽奖中，总情况数为种，获奖的共有这4种，所以，
14．【答案】/
【详解】因为，则，
且，可得，即，
则，
又因为，即，且，
可得，即，故，
若，则，
可得，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）在中，
又因为
由余弦定理可得.
（2）由（1）可得，
从而，.
故
16．【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【详解】（1），
所以切线的斜率为，
又，所以直线的方程为，
代入得，
所以，所以，
所以为以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）得，
所以，
，
，
两式相减得
，
所以.
17．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）因为点在底面上的射影为点，所以平面，
又四边形是边长为的正方形，且四棱锥的体积为，
所以，即，所以．
又，点是的中点，所以，同理可得．
又，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（Ⅱ）如图，连接，易得，，互相垂直，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，
因为，点在棱上，所以，
又，所以，所以，
设平面的法向量为，则，
因为，，所以，
令，可得，所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，二面角的余弦值为，
所以，即，
解得（负值舍去）．
18．【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【详解】（1）由题意设等轴双曲线的标准方程为，
因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，
又椭圆，则椭圆的左、右焦点为，
所以，
因此双曲线的标准方程为.
（2）圆的圆心坐标为，半径，
当切线斜率不存在时，切线方程为，
此时圆心到直线的距离为，
所以直线不是切线；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则圆心到切线的距离为，
化简得，解得，
所以切线方程.
（3）设，
设直线的方程为，
由，得，
显然，可得，
由韦达定理得，
∴，
同理可得，则
设．则，
∵点在双曲线上，所以，
∴，
∴，
故，
因此存在，使恒成立．
19．【答案】（1）极小值为，无极大值；
（2）；
（3）.
【详解】（1）当时，，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
的极小值为，无极大值.
（2），，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
①当时，在上单调递增，若在上有唯一零点，则，
即，解得：（舍）；
②当时，在上单调递减，在上单调递增；
当，即时，，则在上无零点，不合题意；
当，即时，在上有唯一零点，满足题意；
当，即时，由得：，
在上有唯一零点，此时需，即；
综上所述：当或时，在上有唯一零点，
即实数的取值范围为.
（3）若对恒成立，即对恒成立，则，
令，则，
令，则，在上单调递增，
，，，使得，
即，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
，，，
，整数的最大值为.A．3
B．4
C．5
D．6