安徽省安庆市示范高中2024-2025学年高二下学期期中联考 数学试题（含解析）

这是一份安徽省安庆市示范高中2024-2025学年高二下学期期中联考 数学试题（含解析），共35页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若直线是曲线的一条切线，则实数（ ）
A．B．C．D．
2．已知服从正态分布，当时，关于的二项式的展开式的常数项为（ ）
A．1B．4C．6D．12
3．已知点,平面过原点,且垂直于向量,则点到平面的距离是（ ）
A．B．C．D．
4．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外．据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径X（单位：mm）服从正态分布，则估计苹果直径在内的概率为（ ）
（附：若，则，．）
A．0.6827B．0.8413C．0.9545D．0.8186
5．函数，若数列满足，，且是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知、双曲线的左、右焦点，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足，，则双曲线的离心率为（ ）

A．B．C．D．
7．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.若函数，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在某城市中，M､N两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网M､N处的甲､乙两人分别要到N､M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N､M处为止，则下列说法错误的是（ ）
A．甲从M必须经过到达N处的方法有9种
B．甲､乙两人相遇的概率为
C．甲乙两人在处相遇的概率为
D．甲从M到达N处的方法有20种
二、多选题（本大题共3小题）
9．若，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的最大值为
11．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数在处取得极大值B．函数的值域为
C．有两个不同的零点D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知双曲线E与双曲线具有相同的渐近线，且经过点，则双曲线E的方程为 .
13．直线与曲线相切，则 .
14．甲罐中有4个红球，4个白球和2个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则的值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的前项和为，若，且满足（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
16．某品牌汽车4S店对2020年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用表示2020年第月份该店汽车成交量，得到统计表格如下：
（1）求出关于的线性回归方程.(，精确到整数)
（2）利用回归方程预测九月份的汽车成交量，并预测哪个月份成交量开始突破35辆.
参考数据及公式：，，，.
17．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.
18．已知函数，其中
(1)求的单调区间；
(2)恒成立，求a的值．
19．已知函数．
(1)求出函数的极值；
(2)若对于任意的，都有，求整数的最大值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】数的定义域为（0，+∞），设切点为（m，2lnm+1），
则函数的导数 ，则切线斜率，
则对应的切线方程为
即
且，
即 ，则 ，
则，
故选B．
2．【答案】D
【详解】因为服从正态分布，，
所以，
二项式的展开式的第项，
令，可得，
所以二项式的展开式的常数项为，
故选D.
3．【答案】D
【详解】由题意,,,
则,
所以点到平面的距离为.
故选D.
4．【答案】D
【详解】由知，，
所以
.
故选D.
5．【答案】D
【详解】由题意可知分段函数在每一段上为增函数，且，
即，解得，
故实数a的取值范围是．
故选D.
6．【答案】A
【详解】连接，由及双曲线的对称性知是矩形，由，，，则，，
∴，
∴离心率为，
故选A．
【点睛】本题考查求双曲线的离心率，列出关于关系式是䚟题关键．本题利用双曲线的对称性构造矩形，然后结合双曲线定义得出关系式，求得离心率．
7．【答案】B
【详解】由，可得，
令，可得，又，
所以的图像的对称中心为，
即，
所以
，
故选B.
8．【答案】B
【详解】对于甲，经过到达有1种，经过到达有种，
经过到达有种，经过到达有1种，甲从M到达N处的方法共有20种，
同理对于乙，经过到达分别有种．
对于A，甲从M必须经过到达N处的方法有9种，A正确，
对于B，甲乙两人相遇的概率，B错误，
对于C，甲乙两人在处相遇的概率，C正确，
对于D，甲从M到达N处的方法共有20种，D正确
故选B.
9．【答案】CD
【详解】由，
令得，A选项错误.
令得①，所以，C选项正确.
令得②，
①-②得，D选项正确.
，
所以，B选项错误.
故选CD.
10．【答案】ABD
【详解】圆，即，所以圆心为，半径为.
设圆上任意一点的坐标为.
即.
A，，当时，取得最大值为，A正确.
B，，当时，取得最大值为，B正确.
C，如图所示，当过原点的直线与圆相切与第一象限时，最大.设切线的方程为，即，圆心到切线的距离为.所以的最大值为，C错误.

D选项，，当时，取得最大值为，D正确.
故选ABD.
11．【答案】ABD
【详解】函数的定义域为，求导，
令，解得：
所以当时，函数有极大值，故A正确；
对于BCD，令，得，即，当时，，，则
作出函数的抽象图像，如图所示：
由图可知函数的值域为，故B正确；函数只有一个零点，故C错误；又函数在上单调递减，且，则，故D正确；
故选ABD.
12．【答案】
【详解】由题意不妨设与双曲线具有相同的渐近线的双曲线E的方程为，
若双曲线E经过点，则，解得，
所以双曲线E的方程为.
13．【答案】0或4/4或0
【详解】直线过点
设切点，
所以切线方程为：，
由切线过点可得，
解得得， 所以或.
14．【答案】/
【详解】分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件,
则
.
15．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意， 可知（），
当时，由，可知，
由，可得两式相减可知，，即（），
因此时，为公比为2的等比数列，故（），
所以.
（2）由（1）可知，，，当时，，也符合该形式，
因此（），
.
16．【答案】（1）；（2）预计9月份的成交量为30辆，从12月份起成交量开始突破35辆.
【详解】解：（1）由题意得：，
，
∴，
∴，所以回归直线方程为.
（2）当时，即预计9月份的成交量为30辆，
由得：，∴即从12月份起成交量开始突破35辆.
17．【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由题意得：，，，
解得：，，，
双曲线的标准方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，，，，
联立方程组，消去整理得，
则，
原点到直线的距离为 ，
所以，
解得或，故 或，
故直线方程为或
18．【答案】(1)递减区间是，递增区间是；
(2)2.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得函数，
因，当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（2）由（1）知，函数在处取得最小值，，
令，，当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，则，
于是得恒成立，而恒成立，即恒成立，
从而得，所以.
19．【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)6
【详解】（1）由函数的定义域为，
所以，
令，则，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以取得极小值， 无极大值.
（2），，
令，，则，
由（1）知，在上单调递增，
且，
则在区间内存在唯一的零点，
使，即，
则当时，，，
有在上单调递减，
当时，，，
在上单调递增，
于是得，
因此，，
所以整数的最大值为6.1
2
3
4
5
6
7
8
14
12
20
20
22
24
30
26
极大值