湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ，则 的虚部是（ ）.
A. 2. B. -2. C. 2i. D. -2i.
3. 已知平面向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A. 1 B. -1 C. -4 D. 4
4. 已知 ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 或
5. 已知某羽毛球小组共有 40 名运动员，其中一级运动员 8 人，二级运动员 12 人，三级运动员 20 人.现举
行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为 0.9，0.6，0.3，则这 40 名运动员
中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ）
A. 0.42 B. 0.46 C. 0.51 D. 0.62
6. 已知双曲线 ： 的焦距为 10，左、右焦点分别为 ， ，过点 作斜率不为
0 的直线 与双曲线 的左、右支分别交于 ， 两点.若 的内切圆与直线 相切于点 H，且
，则双曲线 的渐近线方程为（ ）.
A. B.
C. D.
7. 已知正方体 的棱长为 4，点 为 的中点，若点 ，A，C， 都在球 O 的表面
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上，则球 O 的表面积为（ ）
A. 11π B. 12π C. 36π D. 44π
8. 对 ，设 是关于 x 的方程 的实数根，数列 满足
其中符号 表示不超过 的最大整数，则 （ ）
A. 1013 B. 1015 C. 2025 D. 2027
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若回归方程为 ，则变量 x 与 y 负相关
B. 运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心
C. 若散点图中所有点都 直线 上，则相关系数
D. 若决定系数 的值越接近于 1，表示回归模型的拟合效果越好
10. 已知 是抛物线 ： 的焦点，过点 且倾斜角为 135°的直线 与 交于
， 两点，则（ ）
A. B.
C. D. 以 为直径的圆与抛物线 C 的准线只有 1 个公
共点
11. 我们把 称为双曲余弦函数，其函数表达式为 ，相应地双曲正弦函数的函数表达
式为 .若直线 与双曲余弦函数曲线 和双曲正弦函数曲线 分别相交于点 A，B，曲
线 在点 A 处的切线与曲线 在点 B 处的切线相交于点 P，则（ ）
A. 是奇函数
B.
C. 在区间 上随 m 的增大而减小，在区间 上随 m 的增大而增大
D. 面积为定值
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若随机变量 服从二项分布 ， ，则 ______.
13. 在五一小长假期间，要从 6 人中选若干人在 3 天假期值班（每天只需 1 人值班），不出现同一人连续值
班 2 天，则可能的安排方法有______种.
14. 已知圆 的方程为 ，直线 的方程为 ，直线 被
圆 截得的弦中长度为整数的共有______条.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 .
（1）求 B；
（2）设 D 为边 的中点，若 ， ，求 的面积.
16. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了 100 个，将其质量指标值（单位：
分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求 的值；
（2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）当配件 质量指标值不小于 80 分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机
抽取 3 件产品，随机变量 表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求 的分布列及数学期望.
17 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，设 ，讨论函数 的单调性；
（3）若函数 在 上有且仅有 2 个零点，求实数 的取值范围.
18. 如图，在矩形纸片 中， ， ，沿 将 折起，使点 D 到达点 P 的位置，点
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P 在平面 的射影 H 落在边 上.
（1）求三棱锥 的体积；
（2）若 M 是棱 上 一个动点，是否存在点 M，使得平面 与平面 的夹角正切值为 ，若
存在，求点 M 到平面 的距离；若不存在，请说明理由.
19. 已知椭圆 ： 的左焦点为 ，椭圆上任意一点到 的距离最大值为 6.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过原点且斜率为 的直线与椭圆 交于 M，N 两点.
（i）当 时，设直线 ， 的斜率分别是 ， ，求证： 为定值；
（ⅱ）过点 作垂直于 的直线交 于 ，交圆 ： 于 P，Q 两点，记 ，
的面积分别为 ，求 的取值范围.
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