2025年高考押题预测卷：数学（上海卷01）（解析版）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合，则 ．
【答案】
【分析】直接进行并集运算即可求解.
【解析】由，所以.
故答案为：.
2．直线的倾斜角是 （结果用反三角表示）．
【答案】
【分析】求得直线斜率，进而可求得倾斜角.
【解析】设直线的倾斜角为，
由，可得，所以.
故答案为：.
3．已知，若，则 .
【答案】
【分析】根据正态分布的对称性计算可得.
【解析】若，且，
则，
则.
故答案为：
4．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， ．
【答案】
【分析】由题意设，则，利用题中所给解析式求出，再由奇函数的定义即可得出答案.
【解析】当时，则，则，
又函数是定义在R上的奇函数，
所以当时，.
故答案为：.
5．已知为虚数单位，设，若是实系数一元二次方程的一个虚根，则 .
【答案】
【分析】将代入方程计算即可求解出的值.
【解析】因为是的一个虚根，所以，
化简可得，所以，解得，
故答案为：.
6．当时，函数的最大值为 ．
【答案】3
【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【解析】由，
当且仅当，即时等号成立，所以．
故答案为：.
7．已知是夹角为的两个单位向量，若向量，则 .
【答案】4
【分析】直接由数量积的定义计算即可.
【解析】依题意得，，于是.
故答案为：
8．已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为 .
【答案】
【分析】令，求得a，再利用二项展开通项公式即可求得含项的系数.
【解析】因为的展开式中各项系数的和为，
所以令，得，解得，
所以，
因为的二项展开通项公式为，，
则展开式中含的项为，
故该展开式中的系数为，
故答案为：.
9．在△中，角、、的对边分别为、、，其面积，则
【答案】
【分析】根据面积公式得到,根据余弦定理得到,对等式进行整理,即可得到的值
【解析】由三角形面积公式可得,
由余弦定理可得
,
又,,,,即
故答案为
【点睛】本题考查解三角形的问题,考查三角形面积公式,余弦定理的应用,考查正切公式
10．若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率.
【解析】因为△ABF2为等边三角形，可知，
A为双曲线上一点，，
B为双曲线上一点，则 ，即，
∴
由，则，已知，
在△F1AF2中应用余弦定理得：，
得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝
故答案为：
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a，c的值，这时可将或视为一个整体，把关系式转化为关于 或的方程，从而得到离心率的值.
11．某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π立方米的球形景观灯所在球面上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足．当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为 米（精确到0.01米）．
【答案】
【分析】由题设可得球的半径为，结合正四棱锥的结构特征及其外接球半径与棱长、底面边长的关系得，进而得到纪念碑体积关于的表达式，应用导数求其最大值，并确定对应的侧棱长.
【解析】若球的半径为，则，可得，又，
对于正四棱锥，设底面边长为，高为，
则，所以，即，
又，则，故，即，
纪念碑体积，令，
对于，则在上单调递减，
当时，即在上单调递增，
当时，即在上单调递减，
所以，故，此时米.
故答案为：
12．已知数列满足：，定义：表示整数除以4的余数与整数除以4的余数相同，例：.设，其中，数列的前项和为，则满足的最小值为 .
【答案】40
【分析】由，可利用迭代法分析前面有限项，可得当为的倍数时，也是的倍数，当不为的倍数时，也不是的倍数，则得当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，即可得，则取，计算出后，再计算及即可得解.
【解析】由，即，
因为，所以，，
则都不是的倍数，是的倍数，
所以不是的倍数，，不是的倍数，
不是的倍数，
是的倍数，
依次可得当为的倍数时，也是的倍数，
当不为的倍数时，也不是的倍数，
由，
则有当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，则；
当，
，
当，即时，有，
，
故满足的最小值为.
故答案为：.
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)
13．在区间上，是函数在该区间严格增的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】在该区间严格增,选出答案.
【解析】在该区间严格增，即可能会在该区间内存在导数为0的情况，
比如在R上单调递增，且，
故是函数在该区间严格增的充分不必要条件.
故选：A
14．某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】利用频率分布条形图可读出，，且A部门数据更为集中，即可得出结论.
【解析】根据频率分布条形图可知，，即；
显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即；
故选：C
15．已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（ ）
A．若O为线段PQ中点，则PF＝1B．若PF＝4，则OP＝2
C．存在直线l，使得PF⊥QFD．△PFQ面积的最小值为2
【答案】D
【分析】对于A：利用焦半径公式求出,直接判断；
对于B：由求出,直接求出，即可判断;
对于C：设,由O、P、Q三点共线求出，计算出,即可判断;
对于D：直接求出,利用基本不等式求出△PFQ面积的最小值.
【解析】抛物线的准线为,焦点F(1,0).
对于A：若O为PQ中点,所以xp=1,所以,故A错误；
对于B：若,则,所以.故B错误;
对于C：设,由O、P、Q三点共线，可得，所以,,所以,所以FP与FQ不垂直,故C错误;
对于D：,当且仅当,即时取等号，所以△PFQ面积的最小值为2.故D正确.
故选：D.
16．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：
①线段长度的取值范围是；
②存在点使得平面；
③存在点使得.
其中，所有正确结论的序号是
A．①②③B．②③C．①③D．①②
【答案】D
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设点的坐标为，求出点、的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.
【解析】取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点.
在正方体中，平面，平面，，
又，，平面，即，，
同理可证，，则，.
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，.
对于命题①，，，则，则，所以，，命题①正确；
对于命题②，，则平面的一个法向量为，
，令，解得，
所以，存在点使得平面，命题②正确；
对于命题③，，令，
整理得，该方程无解，所以，不存在点使得，命题③错误.
故选：D.
【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，为等边三角形，且，，，，M为PA的中点.
(1)证明：；
(2)求平面PCD与平面PAB所成锐二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，先证明平面，再证平面，最后证明平面，得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解.
【解析】（1）取的中点，连接，
因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又平面，所以平面.
因为平面，所以，
又是的中点，所以，
因为平面，且，
所以平面，又因为平面，
所以.
（2）因为，由（1）知四边形为矩形，则，
又平面，所以平面，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，
取平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以，
，
设平面与平面所成二面角为，
则，所以，
所以平面与平面所成二面角的大小为.
18．已知函数.
(1)求的严格减区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意，，求实数的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式可得，最后利用复合函数单调性求出单调递减区间即可.
（2）根据函数平移及伸缩求出的解析式，求解即可.
【解析】（1）.
由，解得，
所以函数的严格减区间为；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数
，
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即，
当时，，则，则，
对任意的、，，
则，
故实数的最小值为.
19．为了解人们是否喜欢跑步，某机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表．
(1)根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？
附：，其中，
(2)该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为．对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）．设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为X，求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)没有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据列联表计算出，再与临界值进行比较，即可得出结论；
（2）根据题意分析可能的取值，并依次求得概率，得到X的分布列，进而求得X的数学期望.
【解析】（1）由题意，零假设：人们对跑步的喜欢情况与性别无关，
则，
故不能认为零假设不成立，
所以没有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关.
（2）由题意，所有可能的取值分别为，，，，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
所以.
20．设椭圆：的一个顶点为，离心率为，为椭圆的右焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若满足，求的值；
(3)过点的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧）．垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用离心率，根据，，的关系即可求出方程.
（2）根据条件，向量化，垂直的两个向量数量积为，即可解出值.
（3）因为过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧），表示出面积，根据，，总成等比数列列出方程，即可求出.
【解析】（1）因为椭圆：的一个顶点为，离心率为，
所以有，，则，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）因为为椭圆的右焦点，所以，
过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，
所以设直线方程为，，，
则，则，
，，，
，，
因为满足，所以，
即，
即，
则有，
整理得，
解得（舍），.
（3）
由已知得，BC的斜率存在，且B，C在x轴的同侧，
设直线BC的方程为，，，不妨设，
则，，
由得，
所以，，，
因为，，，
所以
，
，
要使，，总成等比数列，则应有解得，
所以存在，使得，，总成等比数列.
【点睛】第三问关键是，，要结合题和图的特点恰当选择三角形的底和高，计算繁琐一些，注意准确性.
21．若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”.
(1)已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”；
(2)设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”；
(3)记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值.
【答案】(1)；
(2)证明过程见解析
(3)
【分析】（1）取，，满足要求；
（2）先得到任意，成立，①成立，再证明出充分性和必要性，得到结论；
（3）求导得到的单调性和最值，分，和三种情况，得到实数的最大值.
【解析】（1）取，，
此时，，
故函数是的“函数”，“点”为；
（2）为的“函数”，其“点”组成集合，
故，设，
函数为的“函数”，其“点”组成集合，
故，设，
显然对任意，成立，①成立，
充分性，若，
不妨设，此时，②成立，
故②成立，所以函数为的‘函数’，充分性成立；
必要性，若函数为的‘函数’，
则存在，使得，
由于对任意，成立，故，
故，所以，充分性成立；
故“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”；
（3）定义域为R，
，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且当时，恒成立，
又，取，，
满足且，
为的“函数”，此时，
当时，取，
故当为在处的切线方程时，才满足要求，
，故切线方程为，
令得，
由于，设，，
所以在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，
当时，结合图象，可知单调递减且下凸，
对任意的，无法做到恒成立，
综上，实数的最大值为.喜欢
不喜欢
合计
男
12
8
20
女
10
10
20
合计
22
18
40
1
2
3
4