福建省厦门市集美区2024年中考二模数学试题（解析版）

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1. 下列实数中，最大的数是（ ）
A. B. 0C. D. 2
【答案】D
【解析】∵，
∴所给实数中，最大的是2．
故选：D．
2. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，经过约8个小时的飞行，宇航员顺利进入运行轨道约的“天宫”空间站．将数据450000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】450000用科学记数法表示为．
故选：C．
3. 如图所示的立体图形的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】从正面看得到的图形是：
故选B
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、和不是同类项，不能合并，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
5. 如图的数轴上表示的是两个关于x的一元一次不等式的解集，由这两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据数轴得：不等式组的解集为，
故选C．
6. 如图，已知，与，，分别交于，，三点，与，，分别交于，，三点．若，，，则图中长度为的线段是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，∴，∴，∴，
故选：．
7. 从北站出发到杭州东站路程约，有高速铁路列车和普通动车组列车可供选择，高速铁路列车比普通动车组列车平均时速快，乘坐高速铁路列车所用的时间比乘坐普通动车组列车少用．设普通动车组列车的速度是，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，得，
即．
故选：D．
8. 新能源汽车比传统燃油车具有静音、节能环保、智能等优势．如图是某新能源汽车公司2022年和2023年每个季度某种车型的出口销售额折线图，该公司的这种车型在2023年的每个季度都比2022年的同一季度增加相同的出口销售额，根据统计图，下列关于这两年该种车型的出口销售额的描述，正确的是（ ）
A. 众数不变B. 中位数不变
C. 平均数不变D. 方差不变
【答案】D
【解析】∵该公司的这种车型在2023年的每个季度都比2022年的同一季度增加相同的出口销售额，
∴这组数据的平均数，众数与中位数都发生了变化，但是数据的波动幅度没变，即方差不变，故选：D．
9. 如图，已知中，，阅读以下作图步骤：
①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②连接交于点G；
③以点G为圆心，的长为半径作弧交于点P，连接．
根据以上作图步骤，下列推理正确的是（ ）
A. ∵平分，∴
B. ∵垂直平分，∴
C. ∵点P在以为直径的圆上，∴
D. ∵点P在以为直径的圆上，∴点P在直线上
【答案】C
【解析】∵为直径，
∴，即，
∵，
∴平分，故A不符合题意；
∵不一定在上，
∴错误，故B不符合题意；
∵点P在以为直径的圆上，
∴，故C符合题意；
∵点P在以为直径的圆上，
∴点P不一定在直线上，故D不符合题意；
故选C
10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中广泛使用．如图，筒车的半径为2m，筒车上均匀设置了12个盛水筒，其中A，B，C是相邻的三个盛水筒，在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速运动．通过观察，当A离开水面时，C恰好开始进入水中，每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒出，为使接水槽能够尽可能多地接到水，则接水槽距离水面的最大高度是（ ）
A. B. C. 2mD. 3m
【答案】B
【解析】接水槽距离水面的最大高度是指盛水筒离开水面开始倒水的位置，如图，
直线表示接水槽距离水面的最大高度的位置，即盛水筒A恰好转到的位置倒水，
直线表示水面，筒车的圆心为，则，
由题意得，
∴，
∴是等边三角形，，
∵每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒出，
∴，
∴，
∵，
∴点在同一直线上，
∴为直径且，
∴，
∴，
∴接水槽距离水面的最大高度是，
故选：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 一组数据6，6，6，7，8，9众数是_______．
【答案】6
【解析】数据6，6，6，7，8，9中，出现次数最多的是6，
∴众数是6；
故答案为：6．
12. 如图，在中，，点D，E分别为的中点，则_____．

【答案】2
【解析】∵D、E分别为边的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：2．
13. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，，的周长为5，则_____．
【答案】
【解析】∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵的周长为5，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：
14. 我国清代数学家戴煦在《对数简法》中给出了求正数的算术平方根的公式：设被开方数为x，常数a（a为整数）和r满足，，则，用该公式求87的算术平方根，则公式中的_____， ______．
【答案】 10 13
【解析】∵，，
∴，∴，
故答案为：10，13．
15. 如图，在中，，点D在的平分线上，，将点B绕点D顺时针旋转，点B的对应点E恰好落在上，则的度数为______．
【答案】
【解析】如图，连接，
∵点D在的平分线上，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16. 抛物线经过，两点，若，当时，都有，则b取值范围是_______．
【答案】##
【解析】∵抛物线经过，两点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17. 计算：．
解：.
18. 如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，，，，证明：．
证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
19. 先化简再求值：，其中．
解：


，
当时，
原式．
20. 如图，某旅游风景区有一座海拔高度为的山峰，游览路线为：从山脚下海拔高度为的A处先步行爬山到达登山缆车的起点B；再从B处乘坐登山缆车到达山顶C．已知步行登山路线AB的坡角为，登山缆车的轨道与水平线的夹角为．
（1）求登山缆车起点B的海拔高度；
（2）若登山缆车的行驶速度为，从B处乘坐登山缆车到达山顶C大约需要多长时间？（参考数据：）
解：（1）如图，过B点作于D，于E，则四边形是矩形，
在中，，，
∴，
∴登山缆车起点B的海拔高度为，
答：登山缆车起点B的海拔高度为；
（2）在中，，，
∴，
∴从B处到达山顶C处大约需要：
，
答：从B处到达山顶C处大约需要．
21. 如图，是的直径，C，D是上两点，B是的中点，连接，，，．
（1）若，求的度数；
（2）作于点E，延长到点F，使，连接，判断直线与的位置关系，并说明理由．
解：（1）连接，如图所示：
∵B是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）与相切．理由如下：
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴与相切．
22. 某电子科技公司2023年耗资1600万元研发一款移动电源，在2024年1月上市进行销售，销售部门通过试营销、市场调研绘制了该款移动电源年销售量y（单位：万件）随销售价格x（单位：元/件）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图所示．
（1）求双曲线的函数解析式：
（2）已知该移动电源的制造成本为40元/件，请判断2024年该公司是否有可能收回研发成本，并说明理由．
解：（1）设双曲线的解析式为，
由图可知：反比例函数图象经过点，
可得，
∴；
（2）当时，，
∴，
当时，设线段为，
∴，解得：，
∴线段为，
设销售利润为万元，则
当时，
，
当时，最大利润为（万元），
当时，
，
对称轴为直线，
∴当时，最大利润为（万元），
∵，
∴2024年该公司不可能收回研发成本．
23. 【问题提出】
共享单车不仅极大地方便人们的短途出行，而且低碳环保，受到用户的喜爱．某社区周边有5个共享单车停车区，总计投放180辆的共享单车，某数学兴趣小组发现每天早高峰期间经常会出现有些停车区的单车不够用，而有些停车区的单车使用率低的现象，为探究早高峰期间共享单车的合理投放方案，同学们展开了研究．
【开展研究】
该数学兴趣小组分工合作在早高峰期间到每个停车区对行人使用共享单车的情况、人流量进行数据收集，结果如下表．
表一：经过停车区的行人使用单车情况的抽样调查数据
表二：每日早高峰期间的平均人流量
【问题解决】
（1）记事件A为：经过1号区的行人使用共享单车，估计事件A的概率；
（2）为应对早高峰期间共享单车的使用需求，请你为该社区设计一个合理的共享单车投放方案，并说明理由．
解：（1）由表格数据知，经过1号区的行人有60人，使用共享单车有3人，
则估计事件A的概率为；
（2）估计5个共享单车停车区每天早高峰期间的共享单车平均使用次数分别为：
，，，，，
所以每天早高峰期间的共享单车总使用次数估算为次，
所以5个共享单车停车区180辆共享单车的投放方案为：
1号区投放共享单车辆；2号区投放共享单车辆；
3号区投放共享单车辆；4号区投放共享单车辆；
5号区投放共享单车辆．
24. 如图1，已知四边形是矩形，，E，F是，边上的点，以直线为对称轴将矩形进行折叠，点A，B的对称点分别是G，H，点H落在边上，交于点P．
（1）如图2，当点H与点D重合时，连接，求证：四边形是菱形；
（2）当时，若，求的长；
（3）连接，若，求证：．
（1）证明：∵以直线为对称轴将矩形进行折叠，点与点重合，
，，，
四边形是矩形，点与点分别是线段，上的点，
∴，
，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）解：如图，过作于，则四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形为正方形，而，，
∴，，，，
∴，
∴，
由对折可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，，
而，
∴；
（3）解：如图，过作于，
∵，，矩形，
∴，，，
设，，
∴，，
由勾股定理可得：，
解得：，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
结合题意可得：，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴；
25. 定义：对于二次函数，当自变量x满足时，函数值y的取值范围也为，则称二次函数．是上的“等域函数”．已知抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B．
（1）若，且抛物线经过点，．
①求a，c的值；
②若是上的“等域函数”，求t的值：
（2）在的情况下，记点B的横坐标为，经过点B的直线与抛物线交于点．若，是否存在二次函数是或上的“等域函数”的情形？若存在，求出抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
解：（1）①当时，
∵抛物线经过点，，
∴，解得；
②∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴在上，
当时，函数取得最大值；
当时，函数取得最小值0；
若是的“等域函数”，
∴，
∴，（舍去），
∴；
（2）∵抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，
∴点的坐标为，
∵点在直线上，
∴，即，
∴，
∵经过点B的直线与抛物线交于点，
联立，
∴，即，
∴，
∴，，
∵直线与轴交点的纵坐标为，其中了，
∴，
又∵，
∴，
∴；
①当时，则，
解得，即，
∵，
∴，此时函数解析式，
∵函数在上随的增大而增大，在上随的增大而减少，
∴当时，，
当时，，
解得，，，
不满足，
∴不是在上的“等域函数”；
②当时，则，
解得，即，
∵，
∴，
此时函数解析式为，
∵函数在上随的增大而减少，
在上随的增大而增大，
∴当时，，
当时，，
解得，，，
不满足，
∴不是在上的“等域函数”；
综上，不存在二次函数是或上的“等域函数”的情形．停车区
经过停车区的人数
使用共享单车的人数
1号区
60
3
2号区
100
4
3号区
90
9
4号区
120
18
5号区
70
7
停车区
1号区
2号区
3号区
4号区
5号区
人流量（单位：人）
240
300
160
400
200