数学必修 第二册用样本估计总体学案及答案

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考点一 频率分布直方图
【例1】（24-25高一上·全国·课堂例题）某学校为了了解和掌握学生的期末数学成绩的情况，随机地取出了100名考生的数学成绩（单位：分），数据如下：
135 98 102 110 99 121 110 96
100 103 125 97 117 113 110 92
102 109 104 112 105 124 87 131
97 102 123 104 104 128 109 123
111 103 105 92 114 108 104 102
129 126 97 100 115 111 106 117
104 109 111 89 110 121 80 120
121 104 108 118 129 99 90 99
121 123 107 111 91 100 99 101
116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97
126 108 123 119 98 121 101 113
102 103 104 108
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）在这100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为．
取组距为5，则组数为．
频率分布表如下：
（2）根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图，如图所示．
【一隅三反】
1．（2024高一下·全国·专题练习）如表所示给出了在某校500名12岁男孩中，用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm).
(1)列出样本频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比．
【答案】(1)样本频率分布表见解析
(2)频率分布直方图见解析
(3)
【解析】（1）样本频率分布表如下：
（2）其频率分布直方图如下：

（3），故可估计身高小于134 cm的人数占总人数的.
2．（2024高一下·全国·专题练习）从高三参加数学竞赛的学生中抽取50名学生的成绩，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：，2；，3；，10；，15；，12；，8.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计成绩在分的学生比例；
(4)估计成绩在80分以下的学生比例．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)
(4)60%
【解析】（1）频率分布表如下：
（2）频率分布直方图如图所示．
（3）样本中成绩在分的学生比例为.
由样本估计总体，成绩在[60,90)分的学生约占.
（4）样本中成绩在80分以下的学生比例为.
由样本估计总体，成绩在80分以下的学生约占.
考点二 统计图的解读
【例2-1】（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图：
则选取的学生中，参加舞蹈社团的学生数为（ ）
A．20B．30C．35D．40
【答案】D
【解析】由条形图得合唱人数为70，由饼状图得合唱人数占比，
因此选取的总人数为，
由饼状图得演讲及舞蹈人数和占比为，
人数和为，
由条形图得演讲人数为30，所以舞蹈人数为40.
故选：D.
【例2-2】（24-25四川成都·期中）某年1月25日至2月12日某旅游景区及其里面的特色景点累计参观人次的折线图如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．月日景区累计参观人次中特色景点占比超过了．
B．月日至月日特色景点累计参观人次增加了人次．
C．月日至月日特色景点的累计参观人次的增长率和月日至月日特色景点累计参观人次的增长率相等．
D．月日至月日景区累计参观人次的增长率小于月日至月日的增长率．
【答案】D
【解析】1月29日景区累计参观人次中特色景点的占比为，故A错误；
2月4日至2月10日特色景点累计参观人次增加了人次，故B错误；
2月4日至2月6日特色景点累计参观人次的增长率为，
2月6日至2月8日特色景点累计参观人次的增长率为，
因为，所以C错误；
2月8日至2月10日景区累计参观人次的增长率为，
2月6日至2月8日景区累计参观人次的增长率为，
因为，所以D正确.
故选：D.
【一隅三反】
1．（24-25高一上·河南南阳·期末）（多选）下图是2003年4月21日至5月15日上午10时，北京市非典型肺炎疫情新增数据走势图．

则下列说法正确的有（ ）
A．新增疑似的人数最多的是4月29日，新增确诊的人数最多的是4月27日
B．新增疑似的人数最多的是4月27日，新增确诊的人数最多的是4月29日
C．新增治愈的人数最多的是5月13日，新增死亡的人数最少的是5月15日
D．从图中可以看出，本次疫情得到了有效控制
【答案】BCD
【解析】新增疑似的人数最多的是4月27日162例，新增确诊的人数最多的是4月29日157例，故A错误，B正确；
新增治愈的人数最多的是5月13日35例，新增死亡的人数最少的是5月15日1例，故C正确；
由图，预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势为：疫情初期确诊病例和疑似病例数量快速上升，然后确诊病例和疑似病例数量逐渐下降，本次疫情得到了有效控制，故D正确.
故选：BCD.
2．（24-25高一上·河北保定·期末）（多选）改革开放以来，某地区率先推进经济转型升级和高质量发展，成功实现从传统的农业、工业化经济向现代化服务型、创新型、数字经济转化，实现了从粗放型增长向高质量发展的迈进.该地区经过近十年的发展，经济总收入增加了两倍，下图统计了该地区经济转型前和经济转型后经济总收入的构成比例，则下面结论中正确的是（ ）
A．经济转型后，农业收入减少
B．经济转型后，工业收入增加了一倍以上
C．经济转型后，其他产业收入是转型前的两倍以上
D．经济转型后，第三产业收入超过了经济转型前经济总收入
【答案】BCD
【解析】设该地区经济转型前经济总收入为，经济转型后经济总收入为．由图可知：
A项，经济转型后农业收入，经济转型前农业收入，
故转型后，农业收入增加了，故A项错误．
B项，经济转型后工业收入，经济转型前工业收入，故转型后，工业收入增加了一倍以上，故B项正确．
C项，经济转型后其他产业收入，经济转型前其他产业收入，故转型后，其他产业收入是转型前的两倍以上，故C项正确．
D项，经济转型后第三产业收入，经济转型前经济总收入，故转型后，第三产业收入超过经济转型前经济总收入，D正确.
故选：BCD
3．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）（多选）2024年2月29日，国家统计局发布了我国2023年国民经济和社会发展统计公报，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合图一、图二所示统计图，下列说法正确的是（ ）

图一 2019～2023年全国居民人均可支配收入及其增长速度 图二为2023年全国居民人均消费支出及其构成
A．2019~2023年全国居民人均可支配收入逐年递增
B．2019~2023年全国居民人均可支配收入增长速度逐年递增
C．2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用最少
D．2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比不足60%
【答案】AD
【解析】对于A，根据条形图可知，2019~2023年全国居民人均可支配收入分别为30733元，32189元，35128元，36883元，39218元，逐年递增，即A正确；
对于B，根据折线图可知2020年、2022年增长速度在下降，即B错误；
对于C，根据扇形图可知，2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用为2904元，比衣着、生活用品及服务等要多，不是最少的，即C错误；
对于D，2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比为：，不足60%，即D正确.
故选：AD
考点三 百分位数
【例3-1】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）数据53，62，78，67，98，32，42，12，90的第三四分位数是（ ）
A．67B．42C．62D．78
【答案】D
【解析】这组数据共9个数，从小到大排列是12，32，42，53，62，67，78，90，98，
，所以第三四分位数是第7个数，即.
故选：D.
【例3-2】（24-25高一上·广西钦州·期末）我国2024年4月至11月太阳能发电量同比增长速度依次为21.4%，29.1%，18.1%，16.4%，21.7%，12.7%，12.6%，10.3%，则这组数据的75%分位数为（ ）
A．21.55%B．21.65%C．21.4%D．21.7%
【答案】A
【解析】将这组数据从小到大排列为10.3%，12.6%，12.7%，16.4%，18.1%，21.4%，21.7%，29.1%.
因为，所以这组数据的75%分位数为.
故选：A
【一隅三反】
1．（24-25高一上·江西吉安·期末）在一次数学考试中，某小组11名同学成绩分别为123，92，95，92，110，97，101，97，97，107，121，则该小组数据的第80百分位数为（ ）
A．101B．107C．110D．121
【答案】C
【解析】数据从小到大排序为：92，92，95，97，97，97，101，107，110，121，123，
因为，所以数据的第80百分位数为第9项数据110，
故选：C
2．（24-25高一上·河南南阳·期末）某赛季篮球运动员甲参加了13场比赛，每场比赛个人得分分别为：12，15，24，25，31，31，35，36，36，39，41，44，50．则该组数据的四分位数分别为（ ）
A．25，35，39B．24，35，41
C．28，31，39D．，35，
【答案】A
【解析】由，
得该组数据的四分位数分别为第4，7，10位置数字，即25，35，39．
故选：A
3．（24-25高一上·河南南阳·期末）将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：7，8，13，15，17，18，18，，25，27，若该组数据的70%分位数是19，则（ ）
A．20B．21C．23D．24
【答案】A
【解析】因为，所以该组数据的70%分位数是第7个数据和第8个数据的平均数，
所以，解得.
故选：A.
4．（24-25高一上·河南·阶段练习）河南省有八大高山，包括老鸦岔（2413.8米）、马鬃岭（2217米）、鸡角尖（2212.5米）、玉皇顶（2211.6米）、亚武山（2156.9米）、石人山（2153.1米）、龙池墁（2129米）、全宝山（2103.2米），则这8座山的海拔（单位：米）的分位数对应的山为（ ）
A．玉皇顶B．马鬃岭C．亚武山D．石人山
【答案】C
【解析】将数据按由小到大可得，
由，则这8座山的海拔（单位：米）的分位数为，
所以对应的山是亚武山.故选：C.
考点四 众数、平均数、中位数
【例4-1】（2024高一下·江苏·专题练习）某校高二年级期末统一测试，随机抽取一部分学生的数学成绩，分组统计如下表.
(1)求出表中的值，并根据表中所给数据在给出的坐标系中画出频率直方图；
(2)若全校参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中全校成绩在90分以上的人数.
【答案】(1)，作图见解析
(2)342
【解析】（1）由频率分布表得，
所以，，
频率直方图如图所示，
（2）由题意，知全校成绩在90分以上的学生的人数约为.
【例4-2】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）某校高一（三）班数学研究小组随机抽取100名同学，获得了他们一周课外锻炼时长（单位：小时）的数据，并整理得到相应的频数分布表和频率分布直方图，如表（一），图（一）所示
表（一）
结合以上信息，回答下列问题：
(1)求a，b的值；
(2)假设同一组中的每个数据可用该组对应区间的中点值代替，试估计样本中的100名同学该周课外锻炼时长的平均数；
(3)试估计样本中的100名同学该周课外锻炼时长的中位数．（保留三位有效数字）
【答案】(1)，
(2)
(3)
【解析】（1）由表（一）可知：，解得；
位于区间的频数为，则频率为，所以.
（2）样本中的100名同学该周课外锻炼时长的平均数为：
．
（3）设样本中的100名同学该周课外锻炼时长的中位数为，
由表（一）可知，位于区间的频率为，位于区间的频率为，
所以中位数位于区间，
所以，．
因此，估计样本中的100名同学该周课外锻炼时长的中位数为.
【一隅三反】
1．（24-25高一上·甘肃平凉·阶段练习）100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．回答下列问题：
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)估计这次考试的平均数、众数和中位数（结果保留一位小数）．
【答案】(1)
(2)中位数：，众数：75，平均数：
【解析】（1）由频率分布直方图知组距为10，频率总和为1，
所以有，解得．
（2）前两个小矩形面积为，第三个小矩形的面积为，
中位数要平分直方图的面积，
．
众数：75
平均数：
2．（24-25河北保定）某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.已知样本中体育锻炼时间在内的学生有10人.
(1)求频率分布直方图中和的值；
(2)估计样本数据的中位数和平均数（求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.
【答案】(1)，
(2)中位数是72分钟；平均数是72分钟
【解析】（1）由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在[50，60）内的频率为，
则，
由各组频率之和为1，可知，
解得.
（2）前3组的频率之和为，
前4组的频率之和为，
所以样本数据的中位数在第4组，设为，
所以，解得，
估计样本数据的中位数是72分钟；
估计平均数是分钟.
3．（23-24高一下·江苏南京·期末）从全校学生的期末考试成绩（均为整数）中随机抽取一个样本，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，如图中从左到右各小组的小矩形的高之比为，最左边的一组频数是6.
(1)求样本容量；
(2)求这一组的频数及频率；
(3)估计这组样本数据的众数和中位数.
【答案】(1)
(2)频数为，频率为
(3)众数为：，中位数为113
【解析】（1）小矩形的高之比为频率之比，
所以从左到右的频率之比为.
最左边的一级所占的频率为，
所以样本容量；
（2）这一组的频率为，所以频数为；
（3）由频率分布直方图得：
众数为：.
成绩在内的频率为，
成绩在内的频率为，
成绩在内的频率为，
则，，
设中位数为，
，解得，
即中位数为113.
考点五 方差与标准差
【例5-1】（24-25高一上·江西·期末）若样本，，…，的平均数和方差分别为3和5，则样本，，…，的平均数和方差分别为（ ）
A．5和20B．5和19C．6和20D．6和19
【答案】A
【解析】因为样本，，…，的平均数和方差分别为3和5，
所以样本，，…，的平均数和方差分别为和.
故选：A
【例5-2】（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）已知一个样本容量为10的样本平均数为5，方差为1.6.现将样本中的3个数据去掉，则去掉后剩余样本容量为7的样本平均数和是（ ）
A．5，1B．5，2C．5，3D．4，3
【答案】B
【解析】由均值得.
方差
得.
不妨设设，则
，
，
故选：B．
【例5-3】（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知的平均数为10，方差为9，且，记的平均数为，方差为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】因为，所以，
故A错误，B正确；
因为，所以，即，
故C正确，D错误；
故选：BC.
【一隅三反】
1．（24-25 天津南开·期末）已知数据的平均数为8，方差为6，则，的平均数和方差分别为（ ）
A．26，54B．26，56C．24，54D．24，56
【答案】A
【解析】由题意数据的平均数为，方差为，
根据平均数和方差性质可得
数据的平均数为，方差为，
故选：A
2．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（ ）
A．据的平均数为13B．数据的方差为12
C．D．
【答案】B
【解析】依题意可得；
对于A，易知，即A正确；
对于B，依题意，
所以数据的方差为，即B错误；
对于C，由可得，即C正确；
对于D，由可得，‘
即，
可得，即D正确.
故选：B
3．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．个数据的平均数为，另个数据的平均数为，则这个数据的平均数是
B．一组数据、、、、、的分位数为
C．若样本数据、、、的平均数为，则数据、、、的平均数为
D．若样本数据、、、的方差为，则数据、、、的方差为
【答案】AD
【解析】对于A选项，个数据的平均数为，另个数据的平均数为，
则这个数据的平均数是，A对；
对于B选项，将数据由小到大排列依次为：、、、、、，
因为，因此，该组数据的分位数为，B错；
对于C选项，若样本数据、、、的平均数为，
则数据、、、的平均数为，C错；
对于D选项，若样本数据、、、的方差为，
则数据、、、的方差为，D对.
故选：AD.
考点六 综合运用
【例6-1】（24-25高一上·江西南昌·期末）随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列如下：
(1)请你估计该地区所有用户评分的，分位数；
(2)若从这个用户中抽取一个容量为的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他个用户的评分分别为，且这个数据的平均数，记这个数据的方差为，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的个数据，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比．
(3)平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统.把（2）中样本的平均数和方差作为老评价系统的数据，且老系统的总数据占两个系统所有数据总和的新系统得出的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差．
附：；参考数据：，，.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【解析】（1）由表可知这个用户评分按从小到大排列如下：，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，， ，
因为，，
所以这个用户评分的，分位数分别为第项数据和第项和第项数据的平均数，
分别为，，据此估计该地区所有用户评分的，分位数分别约为和．
（2）设丢失数据为，
则，解得，
所以
，
由题意知评分在，即内的满意度等级为“级”，
样本中评分在内的有人，
则可估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为.
（3）由题意，，，，
因为老系统的10个数据占两个系统所有数据总和的
所以，，
即新老系统所有评分的方差为.
【一隅三反】
1．（24-25高一上·广西钦州·期末）某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示.
(1)求m；
(2)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数；
(3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）.
【答案】(1).
(2)37.5吨.
(3)平均数为37吨，方差为81.
【解析】（1）由图可得，得.
（2）设这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数的估计值为，
因为第一组和第二组数据的频率之和为（0.01+0.03）×10=0.40.5.
所以，由，得.
故这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数约为37.5吨.
（3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数吨，
方差
2．（24-25高一上·甘肃庆阳·期末）近年来，甘肃省张掖市民乐县利用戈壁荒滩等非耕地资源，集成基质栽培、节水灌溉、品种改良、光热控制等现代技术，重构作物生长环境，突破传统农业对水、土等自然条件的高度依赖，大力发展戈壁智慧设施农业，使六坝滩蜕变为区位优势明显、生态产业密集的现代农业试验示范中心某机构对民乐县100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示．
(1)求m；
(2)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数；
(3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）．
【答案】(1)；
(2)37.5吨；
(3)平均数为37吨，方差为81.
【解析】（1）由图可得，得．
（2）设这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数的估计值为x，
因为第一组和第二组数据的频率之和为，
第一组、第二组和第三组数据的频率之和为，
所以，由，得．
故这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数约为37.5吨．
（3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数吨，
方差．
3．（24-25高一上·贵州·期末）王老师从所教两个班的100名学生中随机抽取40名学生，记录他们期中考试的数学成绩（满分100分），根据所得数据，按分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这40名学生期中考试数学成绩的平均分和方差（各组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)已知剩余60名学生期中考试数学成绩的平均分为82，方差为101，结合（1）中求得的结果，估计王老师所教两个班的学生期中考试数学成绩的平均分和方差.
【答案】(1)平均分，方差
(2)平均分分，方差
【解析】（1）这40名学生期中考试数学成绩的平均分为：
，
这40名学生期中考试数学成绩的方差为：
（2）两个班的学生期中考试数学成绩的平均分为，
两个班的学生期中考试数学成绩的方差为：
.
单选题
1．（24-25高一上·江西·期末）某学校的高一、高二及高三年级分别有学生人、人、人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，估计该校学生的平均身高是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】平均数为.
因此，估计该校学生的平均身高是.
故选：C.
2．（2024陕西宝鸡·期中）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为，中位数为，众数为，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将这些数从小到大重新排列为：10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，
故其中位数，众数，
平均数，
故.
故选：B.
3．（24-25 广东·阶段练习）样本数据，，，，，，，，，的平均数和第百分位数分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【解析】样本数据的平均数，
由，得样本数据的第百分位数为.
故选：B
4．（24-25高一下·辽宁抚顺·开学考试）有一名同学参加投篮训练，一共进行了4组投篮，每组投篮10次，得到每组投篮的投中次数分别为5，6，8，9，则这些数据的75%分位数和方差分别为（ ）
A．8.5和2.5B．8和2.5C．8.5和1.5D．8和1.5
【答案】A
【解析】因为，所以这些数据的75%分位数为．
因为平均数为，所以方差为．
故选：A.
5．（24-25 四川成都·期中）下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，则个体被抽到的概率可能是
B．已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是
C．数据，，，，，，，的第百分位数是
D．若数据，，…，的方差为，则数据，，…，的标准差是
【答案】D
【解析】对于A， 由题个体被抽到的概率可能是，故A错误；
对于B，因，，，，的平均数为，
则，
则数据方差为：，故B错误；
对于C，对数据从小到大排序得： ，， ，，，，，.
因，则第百分位数为第个数据，故C错误；
对于D，因，，…，的方差为，则，，…，的方差为，
标准差为，故D正确.
故选：D
多选题
6．（23-24高一下·四川乐山·期末）小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（ ）
A．娱乐开支比通信开支多5元
B．日常开支比食品中的肉类开支多100元
C．娱乐开支金额为100元
D．肉类开支占储蓄开支的
【答案】BCD
【解析】对于C，由图2可知食品的开支为元，
由图1可知食品开支为，所以总开支为元，
则娱乐开支为元，故C正确；
对于A，通信开支为元，娱乐开支比通信开支多元，故A错误；
对于B，日常开支为元，肉类为元，
日常开支比肉类开支多元，故B正确；
对于D，储蓄开支为元，肉类开支占储蓄开支的，故D正确.
故选：BCD.
7．（23-24高一下·重庆巫山·期末）某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ ）
A．该校高一学生总数为
B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为
C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多
D．用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人
【答案】ACD
【解析】由扇形图和条形图可知，选政史地的人数为人，占比，
所以该校高一学生总数为人，A说法正确；
由扇形图可知选择物化生的人数为人，
所以选择物化地和物化政的人数为人，
又因为选考物化地和物化政组合的人数相等，
所以选考物化地和物化政组合的人数均为人，B说法错误；
该校高一学生中选考物理的人数有人，选考历史的人数有人，
选考物理的人数比选考历史的人数多，C说法正确；
因为选考生史地的学生人数占比为，
所以用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人，D说法正确；
故选：ACD
8．（24-25高一上·辽宁大连·期末）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，3，，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是3
B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第分位数是23
C．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中某个体被抽到的概率是0.2
D．若样本数据的标准差为6，则数据，，，的标准差为11
【答案】AC
【解析】A：由，可得，显然这组数据的众数是3，对；
B：将数据从小到大排序为，
又，所以第分位数是，错；
C：由题设，简单随机抽样过程中抽取到任一个体的概率为，对；
D：由样本数据的标准差为6，即方差为，
则数据，，，的方差为，故标准差为，错.
故选：AC
9．（24-25高一上·河南驻马店·期末）某卫星主要用于开展低轨星座系统新技术试验，其主要功能用于记录飞行过程中观测到的低轨行星的数目，已知该卫星连续7天内观测到的低轨行星数目分别为：9，13，12，12，14，10，14，则这组样本数据的（ ）
A．极差是5B．众数是12
C．均值是12D．50%分位数是12.5
【答案】AC
【解析】对于A，这7个数的极差为，所以A正确，
对于B，这7个数的众数为12和14，所以B错误，
对于C，这7个数的均值为，所以C正确，
对于D，这7个数从小到大排列依次为9，10，12，12，13，14，14，
因为，所以这组数的50%分位数是12，所以D错误.
故选：AC
10（24-25高一上·陕西汉中·期末）某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了100份，将成绩分成6组，第1组为，第2组为，…，第6组为，画出如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．
B．第6组有15个样本
C．从第5，6组中，按组别分层抽取6个样本，则应在第5组抽取3个样本
D．估计参赛选手成绩的中位数在内
【答案】AD
【解析】对于A，由，得，故A正确；
对于B：第6组有个样本，B错误；
对于C，由频率分布直方图可知第5组与第6组的频率分别为与，
则第5组内抽取为个样本，故C错误；
对于D，因为，，
所以估计参赛选手得分的中位数在内，故D正确．
故选：AD.
11．（24-25高一上·江西吉安·期末）井冈密柚以其皮薄核少、柚香浓郁、口感清甜的特点深受人们喜爱.为了解某蜜柚种植园的产量情况，随机抽取了其中80株蜜柚树，测量每株产量（单位：kg），所得数据整理并绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．图中的值为0.025
B．样本中单株蜜柚树的产量少于120kg的树木有56株
C．估计该种植园中单株蜜柚树的产量众数为110kg
D．估计该种植园中单株蜜柚树的产量的平均数超过118kg（每组数据用该组所在区间的中点值作代表）
【答案】AD
【解析】对于A，由直方图的性质，可得：，解得，所以A正确；
对于B：因为前三个矩形的面积为，，所以产量少于120kg的蜜柚树数量小于56，故B错误；
对于C：因为115~125所占的频率最高，可用估计众数，故C错误；
对于D，由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：
，故D正确；
故选：AD
12．（24-25高一上·贵州·期末）在气象学上，进入冬季的标准是连续5天的日平均气温都低于.某人记录了甲，乙，丙，丁四地连续5天的日平均气温（日平均气温都是整数），根据以下数字特征，一定符合进入冬季标准的是（ ）
A．甲：中位数为7，众数为8
B．乙：平均数为6，极差为4
C．丙：中位数为7，极差为3
D．丁：平均数为7，方差为2
【答案】ABD
【解析】对于A，甲：中位数为7，众数为8，则8出现次数最多，又只有5个数据，7为中位数，
所以8出现次数为2次，另外两个数据只能是小于7的两个不同的数，
故甲地符合进入冬季标准，故A正确；
对于B，乙：平均数为6，极差为4，因为极差是最大值与最小值的差，
假设存在某日的气温大于等于，又平均数为6，故定存在某日的气温低于，此时极差不
为4，故假设不成立，即每日气温都低于，所以乙一定符合进入冬季标准，故B正确；
对于C，丙：中位数为7，极差为3，气温为7，7，7，8，10符合题意，故丙不符合进入冬季标准，故C错误；
对于D，丁：平均数为7，方差为2，故不可能每天都为，日平均气温都是整数，
所以最多三天，若存在某日的气温高于，方差大于不符合题意，
若存在某日的气温等于，若三天，则五天的气温，计算方差，可知不符合方差为2的条件，
若二天，则五天的气温的方差一定大于2，
若一天，则五天的气温的方差一定大于2，
综上可知，所以丁一定符合进入冬季标准，故D正确.
故选：ABD.
13．（24-25 江苏南通·阶段练习）已知数据满足：，若去掉后组成一组新数据，则（ ）
A．若，则原数据的第80百分位数为15
B．新数据与原数据相比，中位数不变
C．新数据与原数据相比，平均数不变
D．新数据与原数据相比，方差变小
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，数据按从小到大顺序排列：，
由，得该组数据的第80百分位数是，A错误；
对于B，由，得原数据组为
，原中位数与现在的中位数均为，中位数不变，B正确；
对于C，原平均数为，去掉后的平均数为，平均数不变，C正确；
对于D，原方差为，
去掉后的方差为，方差变小，D正确.
故选：BCD
填空题
14．（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知某组数据分别为3，5，6，7，8，9，9，11，则这组数据的分位数为 .
【答案】
【解析】将8个数据由小到大排序依次为：3，5，6，7，8，9，9，11，
因为，因此，这组数据的分位数是由小到大第5个数.
故答案为：8.
15．（24-25高一上·江西南昌·期末）某车间10名工人生产某产品的数量（单位：件）分别为32，35，38，39，40，42，44，44，45，x，若所给数据的第50百分位数与第25百分位数的差为2，且，则 .
【答案】40
【解析】已知数据有10个，所以第50百分位数为第5项和第6项数据的平均值，第25百分位数为第3项数据，
若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和35，
则，不合题意；
若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和x，
则，解得，不合题意；
若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和38，
则，不合题意；
若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和38，
则，解得，不合题意；
若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为和38，
则，解得；
若，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为41和38，它们的差为3，不符合条件.
故答案为：40
16．（24-25高一上·山西晋中·开学考试）某学习小组在“世界读书日”这天统计了本组5名同学在上学期阅读课外书籍的册数，数据是：.若这组数据的平均数为16，则这组数据的中位数是 .
【答案】16
【解析】由，可得.
所以数据从小到大为，显然中位数为16.
故答案为：16
17．（24-25高一上·江西抚州·期末）抚州市政府为了促进十一黄金假期期间文昌里文化街区餐饮服务质量的提升，抚州市旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了名游客，把这名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成、、、、五组，得到如图所示的频率分布直方图．则直方图中的值为 ，评分的平均数为 ．
【答案】
【解析】因为频率分布直方图中所有矩形面积之和为，
则有，解得，
评分的平均数为.
故答案为：；.
18．（22-23高一下·甘肃·期末）2023年6月4日神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功，费俊龙、邓清明、张陆这三位航天员在空间站上工作了186天，此次神舟十五号载人飞船返回，是我国空间站转入应用与发展阶段后的首次返回任务，掀开了中国航天空间站的历史新篇章.．为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，，若去掉，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数的值可以是 （写出一个满足条件的值即可）．
【答案】7（8，9，10均可）
【解析】7位同学成绩如下：6，7，7，8，8，9，10其第25百分位数为第三个数据，为7，
要使第25百分位数保持不变，不小于7就可以．
故答案为：7（8，9，10均可）．
19．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）某中学为了估计该校高一年级全体学生的平均身高和方差，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生抽取50人，样本的均值为170，方差为19，女生抽取40人，样本的均值为161，方差为28，依据以上数据，若用样本的方差估计高一全体学生身高的方差，则高一年级学生身高方差的估计值为 .
【答案】43
【解析】抽取的样本的均值为，
抽取的样本的方差为.
故答案为：43.
20．（2024·山西太原）为获得某校高一年级全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个样本，其中有30名男生和20名女生，计算得男生样本的均值为170，方差为15．女生样本的均值为160，方差为30，则由上述数据计算该校高一年级学生身高的均值是 ，方差是 ．
【答案】 166 45
【解析】设样本中男生的身高为，女生的身高为，
则，该校高一年级学生身高的均值是，
方差为
.
故答案为：166，45.
解答题
21．（24-25高一上·四川成都·开学考试）八年级（1）班同学为了解某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据整理成如下两幅不完整的统计图表：
请根据以上信息，解答以下问题：
(1)直接写出频数分布表中的m、n的值并把频数直方图补充完整；
(2)求出该班调查的家庭总户数是多少？
(3)求该小区用水量不超过15的家庭的频率．
【答案】(1)，答案见解析
(2)50；
(3)0.68.
【解析】（1）∵频数为6，频率为,
∴总频数为,
∴,
∴,
数据求出后，即可将频数直方图补充完整，如下图所示：
（2）根据（1）中即可得知，总频数为,
答：该班调查的家庭总户数是50户；
（3）根据统计图表，该小区用水量不超过15的家庭的频率即为
22．（23-24高一下·全国·课堂例题）从我校高二年级的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人.
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的名男生的身高的众数与平均数；
【答案】(1)
(2)，
【解析】（1）第六组的频率为，
∴第七组的频率为.
（2）由直方图得，
身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
身高在第五组的频率为，
身高在第六组的频率为，
身高在第七组的频率为，
身高在第八组的频率为，
因为身高在第五组的频率最高，人数最多，
所以众数为.
平均数为：
.
所以估计该校的500名男生的身高的众数为，平均数为.
23．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）某地有2000名学生参加数学学业水平考试，现将成绩汇总，得到如图所示的频率分布表．

(1)请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；
(2)将成绩按分层抽样的方法抽取150名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）完成题目中的频率分布表，如下；
补全题目中的频率分布直方图，如下；

（2）将成绩按分层抽样的方法抽取150名同学进行问卷调查，
甲同学在本次测试中数学成绩为95分，
他被抽中的概率为．
24．（24-25高一上·辽宁大连·期末）某公司生产A、B两种型号电动汽车电机，为了了解电机的某项指标，从这两种电机中各抽取100台进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)估计B型电机该项指标的平均值（同一组数据用该组区间中点值为代表）；
(2)从A型电机指标在内采用分层抽样方式抽取2件，B型电机指标在内采用分层抽样方式抽取4件，再从这6件中任意抽取2件，求指标在和内各抽取1件的概率；
(3)根据检测结果确定该项指标的一个临界值m，且，某汽车厂准备用A、B两种型号电机生产C牌和D牌汽车各1万辆，有以下两种方案可供选择：
方案一：将A型电机用于生产C牌汽车，其中该指标小于等于临界值m的电机会导致每台汽车损失7000元；将B型电机用于生产D牌汽车，其中该指标大于等于临界值m的电机会导致每台汽车损失3000元；
方案二：重新检测所用的电机，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需1010万元.请从汽车厂节约成本的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【解析】（1）由频率分布直方图得B型电机该项指标的平均值为：
.
（2）根据分层抽样得，来自A型电机指标在和的各1台，分别记为x，y，来自B型电机指标在和分别为3台和1台，分别记为，，和p.
从中任意抽取两件，样本空间可记为
共15个样本点，
记事件M：指标在和内各抽取1件，
则共含3个样本点，
所以.
（3）设将A、B两种型号电机应用C牌、D牌汽车时，该汽车厂损失y（万元），
，，
所以当时，，当时，，
当时，.
综上所述，当临界值时，选择方案二；
当临界值时，选择方案一或二都行；
当临界值时，选择方案一.
25．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
(1)求的值；
(2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差；
附：方差计算公式：或
(3)已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；．记总样本的平均数为，样本方差为．试证明：．
【答案】(1)，．
(2)平均数：90；方差：38.75．
(3)证明见解析
【解析】（1）由题意知，，且，
所以，．
（2）解：，故：．
又，，
剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，
平均数与标准差分别为，，
则剩余8个分数的平均数：；
方差：．
（3）证明：已知总体分为2层，通过分层随机抽样，
各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；．
记总样本的平均数为，样本方差为，
由，得，
所以
．
26（24-25 广东江门·期中）为检测同学体能，学校从高一年级随机抽取了100名同学参加体能测试，并将成绩分数分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.
(1)估计这100名同学体能成绩分数的平均分和众数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人进行成绩分析，第二组同学成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组同学成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差.
【答案】(1)平均数：，众数为：.
(2)
【解析】（1）由题意可知：，
解得：，
所以每组的频率依次为：，
所以平均数为：，
众数为：.
（2）设第二组，第四组同学成绩的平均数与方差分别为：，
两组频率之比为：，
则第二组与第四组所有同学成绩的平均数为：，
第二组与第四组所有同学成绩的方差为：，
故估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差为：.分组
频数
频率
[80，85）
1
0.01
[85，90）
2
0.02
[90，95）
4
0.04
[95，100）
14
0.14
[100，105）
24
0.24
[105，110）
15
0.15
[110，115）
12
0.12
[115，120）
9
0.09
[120，125）
11
0.11
[125，130）
6
0.06
[130，135]
2
0.02
合计
100
1.00
区间界限
人数
5
8
10
22
33
20
11
6
5
分组
频数
频率
[122，126)
5
0.04
[126，130)
8
0.07
[130，134)
10
0.08
[134，138)
22
0.18
[138，142)
33
0.28
[142，146)
20
0.17
[146，150)
11
0.09
[150，154)
6
0.05
[154，158]
5
0.04
合计
120
1.00
分组
频数
频率
2
0.04
3
0.06
10
0.20
15
0.30
12
0.24
8
0.16
合计
50
1.00
分组
频数
频率
3
0.03
3
0.03
37
0.37
m
n
15
0.15
合计
M
N
组号
分组
频数
1
5
2
7
3
13
4
18
5
27
6
a
7
9
8
4
9
4
合计
100
用户编号
评分
用户编号
评分
用户编号
评分
用户编号
评分
01
97
11
86
21
81
31
76
02
96
12
86
22
81
32
76
03
95
13
85
23
81
33
76
04
93
14
85
24
80
34
75
05
92
15
84
25
79
35
74
06
91
16
84
26
79
36
74
07
89
17
83
27
78
37
73
08
89
18
83
28
78
38
72
09
88
19
82
29
78
39
66
10
88
20
82
30
77
40
63
月均用水量x（t）
频数（户）
频率
6
0.12
m
0.24
16
0.32
10
0.20
4
n
2
0.04
成绩分组
频数频率
成绩分组
100
800
200
成绩分组
频数
频率
100
0.05
600
0.30
800
0.40
300
0.15
200
0.10