初中数学15.3.2 等边三角形教学课件ppt

这是一份初中数学15.3.2 等边三角形教学课件ppt，共39页。PPT课件主要包含了等边对等角，三线合一，等角对等边，两边相等，两腰相等，轴对称图形，三角形，三边都不相等的三角形，等腰三角形，等边三角形等内容，欢迎下载使用。
提问学生等腰三角形的定义、性质和判定方法。​定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。​性质：​等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。​等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）。​判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。​给出一些简单的等腰三角形相关题目，让学生运用性质和判定进行解答，复习巩固上节课所学内容。例如：已知等腰△ABC 中，AB = AC，∠B = 70°，求∠A 的度数；已知△ABC 中，∠A = 40°，∠B = 70°，判断△ABC 的形状并说明理由。​引入新课：展示一些生活中常见的等边三角形图片，如交通警示标志、正三角形瓷砖图案等，引导学生观察这些三角形的特点，提问：“这些三角形与我们学过的等腰三角形有什么不同和联系呢？” 从而引出本节课要学习的等边三角形，激发学生的学习兴趣和探究欲望。​（二）探究等边三角形的定义（5 分钟）​让学生观察刚才展示的图片中的三角形，引导学生从边的数量关系角度进行描述。​给出等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，强调等边三角形是特殊的等腰三角形，当等腰三角形的底边与腰相等时，就变成了等边三角形。​让学生举例说明生活中还见过哪些等边三角形的实例，加深对等边三角形的感性认识。​（三）探究等边三角形的性质（15 分钟）​操作探究​让学生拿出准备好的等边三角形纸片，通过折叠、测量等方式，探究等边三角形的角的特点和对称性。​引导学生思考：等边三角形的三个内角之间有什么关系？它有几条对称轴？对称轴分别是什么？​学生通过操作和观察，可能会发现等边三角形的三个内角相等，并且有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角平分线所在的直线。教师可以进一步提问，让学生尝试用自己的语言描述发现的依据，加深对性质的理解。​证明性质​引导学生将上述发现转化为数学命题：已知△ABC 是等边三角形，求证：∠A = ∠B = ∠C = 60°。​组织学生分组讨论，尝试寻找证明方法。教师巡视各小组，观察学生的讨论情况，并适时给予指导。鼓励学生从等腰三角形的性质出发，思考如何证明三个角相等。​经过讨论，部分学生可能会想到利用等腰三角形 “等边对等角” 的性质进行证明。请小组代表发言，阐述证明思路。​教师根据学生的发言，展示证明过程：​证明：∵△ABC 是等边三角形​∴AB = AC = BC​∵AB = AC​∴∠B = ∠C（等边对等角）​∵AB = BC​∴∠A = ∠C（等边对等角）​∴∠A = ∠B = ∠C​又∵∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理）​∴∠A = ∠B = ∠C = 60°​引导学生思考如何证明等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合（三线合一），让学生课后进行证明，加深对性质的理解。​总结性质​经过证明，我们得到了等边三角形的性质定理：​等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°。​等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角平分线所在的直线。​等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线都三线合一。​用符号语言表示为：在等边△ABC 中，∠A = ∠B = ∠C = 60°；AB = BC = AC；若 AD 是 BC 边上的中线，则 AD 也是 BC 边上的高和∠BAC 的平分线（三线合一）。​强调等边三角形性质与等腰三角形性质的联系与区别，通过对比，让学生用表格形式进行总结归纳，加深记忆。​（四）探究等边三角形的判定（15 分钟）​提出问题​引导学生思考：如何判定一个三角形是等边三角形呢？除了根据定义 “三条边都相等的三角形是等边三角形” 外，还有其他方法吗？​让学生从角的角度进行猜想，鼓励学生大胆发言。​探究判定定理​猜想一：三个角都相等的三角形是等边三角形。​引导学生将猜想转化为数学命题：已知在△ABC 中，∠A = ∠B = ∠C，求证：△ABC 是等边三角形。​组织学生分组讨论证明方法，教师巡视指导。​学生可能会想到利用等腰三角形的判定定理 “等角对等边” 进行证明。请小组代表展示证明过程：​证明：在△ABC 中，​∵∠A = ∠B​∴BC = AC（等角对等边）​∵∠B = ∠C​∴AC = AB（等角对等边）​∴AB = BC = AC​∴△ABC 是等边三角形​猜想二：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。​引导学生思考：已知一个三角形是等腰三角形，且有一个角是 60°，分两种情况讨论，即这个角是顶角或底角时，如何证明这个三角形是等边三角形。​组织学生分组讨论，教师参与小组讨论，适时给予提示。​请小组代表发言，阐述证明思路，教师根据学生的回答进行补充和完善，展示完整的证明过程：​情况一：当已知角为顶角时，已知在等腰△ABC 中，AB = AC，∠A = 60°，求证：△ABC 是等边三角形。​证明：在等腰△ABC 中，​∵AB = AC​∴∠B = ∠C（等边对等角）​又∵∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理），∠A = 60°​∴∠B + ∠C = 180° - ∠A = 120°​∴∠B = ∠C = 60°​∴∠A = ∠B = ∠C = 60°​∴AB = BC = AC（等角对等边）​∴△ABC 是等边三角形​情况二：当已知角为底角时，已知在等腰△ABC 中，AB = AC，∠B = 60°，求证：△ABC 是等边三角形。​证明：在等腰△ABC 中，​∵AB = AC​∴∠B = ∠C = 60°（等边对等角）​又∵∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理）​∴∠A = 180° - ∠B - ∠C = 60°​∴∠A = ∠B = ∠C = 60°​∴AB = BC = AC（等角对等边）​∴△ABC 是等边三角形​总结判定定理​经过证明，我们得到了等边三角形的判定定理：​三个角都相等的三角形是等边三角形。​有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。​用符号语言表示为：在△ABC 中，若∠A = ∠B = ∠C，则△ABC 是等边三角形；若 AB = AC，∠A = 60°（或∠B = 60° 或∠C = 60°），则△ABC 是等边三角形。​强调判定定理与性质定理的区别与联系，通过对比，让学生进一步理解和掌握。​（五）例题讲解（10 分钟）​例 1：已知△ABC 是等边三角形，点 D 在 BC 边上，且∠ADE = 60°，DE 交 AC 于点 E，求证：△ABD∽△DCE。​分析：要证明两个三角形相似，需要找到两组对应角相等。已知△ABC 是等边三角形，可得∠B = ∠C = 60°，再根据三角形外角性质和已知条件∠ADE = 60°，推出∠BAD = ∠CDE，从而证明相似。​证明：​∵△ABC 是等边三角形​∴∠B = ∠C = 60°​∵∠ADC 是△ABD 的外角​∴∠ADC = ∠B + ∠BAD（三角形外角性质）​又∵∠ADC = ∠ADE + ∠CDE，∠ADE = 60°​∴∠B + ∠BAD = ∠ADE + ∠CDE​∴∠BAD = ∠CDE​在△ABD 和△DCE 中，​∠B = ∠C，∠BAD = ∠CDE​∴△ABD∽△DCE（两角对应相等的两个三角形相似）​例 2：如图，在等边三角形 ABC 中，BD = CE，AD 与 BE 相交于点 P，求∠APE 的度数。​
　　1．等腰三角形的性质和判定
　　2．三角形按边的相等关系分类
底边和腰不相等的等腰三角形
　　等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形．
你从中发现了哪个公共的几何图形？它有什么特殊性？
小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条，长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
等边三角形的三个角之间有什么关系？
结论：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
已知：AB=AC=BC ， 求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
证明： ∵AB=AC， ∴∠B=∠C .(等边对等角) 同理 ∠A=∠C . ∴∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？
结论:等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”.
顶角的平分线、底边的高底边的中线三线合一
每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线互相重合
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
例1 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°– 40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°.
解决与等边三角形有关的计算问题，关键是注意“每个角都是60°”这一隐含条件，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质解答.
如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）．
例2 △ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？
解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般先利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.
三个角都相等的三角形是等边三角形
从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形
从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？
等边三角形的判定方法： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
例1 如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形.
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
例2 等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．
判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个角等于60°.
2. 由于木质的衣架没有柔韧性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小红设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可，如
轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质
有一个角是60°的等腰三角形