福建省三明市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份福建省三明市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形B．两个正方形
C．两个矩形D．两个菱形
3．一个不透明的口袋中装有20个球，其中有若干个红球，它们除颜色外其它完全相同．小明从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，由此估计袋中红球的个数为（ ）
A．2B．4C．16D．18
4．如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度AB为时，所成的像的高度为（ ）
A．B．C．D．
6．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．
8．关于的一元二次方程中的满足，则下列选项一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点不在该反比例函数的图象上，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，正方形的边长为4，点为的中点，连接，点分别在上，且，则的长为（ ）
A．B．C．D．3
二、填空题
11．已知，则的值为 ．
12．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ．
13．如图，是菱形的对角线，若，则的度数为 ．
14．南宋数学家杨辉在他的著作《杨辉算法》中提出这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形地的面积为864平方步，已知长与宽的和为60步，问长比宽多几步? 设矩形的长为步，则可列出方程为 ．
15．如图，已知，，则 ．
16．抛物线的对称轴在轴的右侧，点和点在该抛物线上，若，则的取值范围是 ．
三、解答题
17．解方程
18．已知：如图，在矩形中，是的中点，求证：．
19．已知：反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点都在该反比例函数的图象上，试比较大小．
20．如图，中，分别为的中点，连接．
(1)尺规作图：在的延长线上确定点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，求证：四边形为菱形．
21．班级开展迎新年联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个福袋A，B，C，D．在抽奖时，每次随机取下一个福袋，且取A之前需先取下，取之前需先取下，直到4个福袋都被取下．
(1)第一个取下的是福袋的概率为_______．
(2)请用画树状图或列表的方法，求第二个取下的是A福袋的概率．
22．如图，四边形和四边形都是正方形，点在射线上，交于点交延长线于点．
(1)若为的中点，求证：；
(2)求证：．
23．为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校决定在一块长，宽的矩形荒地上建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．小明的设计方案如图①所示，其中阴影部分表示花园．
(1)请你帮小明求出图中的；
(2)小明的方案具有如下3个特征：
①花园既是轴对称图形又是中心对称图形；
②花园的边沿与矩形荒地的四边都有公共部分；
③点都在花园外部．
请你设计一种具有以上特征且不同于小明的方案，并说明方案的合理性．（要求：在图②中画出示意图，将花园涂成阴影，并在图上标出必要的字母和数据．）
24．某校数学兴趣小组模仿七巧板制作了一副如图所示的五巧板，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形．这副五巧板恰好拼成互不重叠也无缝隙且对角互补的四边形，直角顶点分别在边上．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)若，求的值．
25．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为线段上的动点，过点D作的平行线交于点E，求面积的最大值；
(3)点M是该抛物线上不同于A，B的一个动点，连接，过点O作的平行线，过点B作y轴的平行线，交于点N，判断直线是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．
《福建省三明市2023-2024学年中考一模数学试题》参考答案
1．B
解：A．是一元一次方程．故本选项不符合题意；
B．符合一元二次方程的定义，所以它是一元二次方程．故本选项正确；
C．不是整式方程．故本选项不符合题意；
D．中未知数最高次数是3次，不是一元二次方程．故本选项不符合题意．
故选B．
2．B
解：A、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；
B、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意；
C、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；
D、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；
故选：B．
3．B
解：∵摸到红球的频率稳定在附近，
∴摸到红球的概率为，
∵不透明的口袋中装有20个球，小明从中随机摸出一个球，
∴设红球的个数为，
∴，解得：，
故选：B．
4．A
解：∵公路、互相垂直，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴， 即M，C两点间的距离为，
故选：A．
5．C
解：由题意得，
，
，
蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，
，
，
故选：C．
6．A
抛物线解析式的顶点式为：，
则其顶点坐标为：，
故选：A．
7．C
解：由题意，得：“卯”的主视图为：

故选C．
8．C
解：∵，
∴一元二次方程至少有一个实数根为，
∴，
故选：C．
9．C
解：由图象可知：，，
∴，即：，
∴的值可以为；
故选C．
10．B
解：如图，设交于点P，
∵四边形是正方形，且边长为4，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B
11．//
解：∵，
∴设，
则，
故答案为：．
12．3
解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
故答案为：3．
13．/70度
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
故答案为：．
14．
解：设矩形的长为步，则宽为步，
，
故答案为：．
15．/
解：，
，
，
，
，
即，
故答案为：．
16．
解：抛物线的对称轴在轴的右侧，
∴，即，
∵点和点在该抛物线上，
∴把点和点代入中得：
，
，
∵，
∴，即，
∴的取值范围是：，
故答案为：．
17．，
解：
，，
，
18．详见解析
证明：四边形为矩形，
，
，
是的中点，
，
在和中
，
，
．
19．(1)反比例函数的解析式为
(2)
（1）解：反比例函数图象经过，
，
反比例函数的解析式为：；
（2）解：点是反比例函数图象上两点，
当时，，
当时，，
，
．
20．(1)详见解析（作图方法不唯一）
(2)详见解析
（1）解： 如图，点为所求作的点．
作图理由：
在的延长线上截取，
分别为的中点，
为的中位线，
，即
由（1）作图知，
四边形为平行四边形．
∴，即点为所求作的点；
作图方法不唯一，如图，作，则四边形为平行四边形，∴，则点为所求作的点；
；
如图，作，则，则点为所求作的点；
（2）证明：由（1）知，四边形为平行四边形，
，E为的中点．
．
四边形为菱形．
21．(1)
(2)，图详见解析
（1）解：∵第一次摘只能先从和中选择任意一个，
∴第一个摘下灯笼的概率是．
故答案为：．
（2）解：根据题意画出状态如下：
由树状图可得：所有等可能情况有4种，其中第二个取下的是A福袋的情况有1种，
第二个取下的是A福袋的概率为．
22．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：∵为的中点，
∴．
四边形是正方形，
∴，
∴，．
∴．
∴，
即．
（2）证明：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
23．(1)
(2)见解析
（1）解：依题意得：
，
解得：或（不符合题意，舍去），
；
（2）解：矩形的面积为，
阴影部分的面积等于，
方案一：如图，分别为矩形各边的中点，
则阴影部分面积；
方案二：如图，分别以为圆心，为半径画弧，
由：，
得：，
方案三：如图，阴影部分面积，
24．(1)见解析
(2)
(3)
（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，
，
四边形是对角互补的四边形，
，
，即．
是直角三角形，
．
；
（2）解：四边形是正方形，
和都是等腰直角三角形，
，
和都是直角三角形，
，
由（1）得，
．
，即，
；
（3）解：设，则，
，
由（2）知：，
，
，解得：，
．
25．(1)
(2)2
(3)
（1）解：对于，令，得到，
∴，
∵抛物线与x轴交于A，B两点，且开口向上，
∴，
∴；
∴，
∴，
把点A坐标代入抛物线中，得，
解得：或（舍去），
∴抛物线解析式为；
（2）解：由（1）知点A、B、C的坐标分别为，如图，
设直线解析式为，把B，C两点坐标分别代入得：，解得：，
∴直线的解析式为；
同理，直线解析式为；
设点D的坐标为，
∵，
∴设直线解析式为，
把点D坐标代入得，得，
即直线解析式为，
联立直线的解析式得：，
两式相加得；
∵D点在线段上，
∴，
∴，；
连接，
∵，
∴，
∵，
∴有最大值，且最大值为2．
（3）解：设，设直线解析式为，
把A、M两点坐标代入上述解析式中得：，
解得：，
即直线解析式为，
∵，且过原点，
∴解析式为；
∵过B与y轴平行的直线为，
∴与的交点；
设直线解析式为，
把N、M两点坐标代入上述解析式中得：，
解得：，
即直线解析式为，
当时，，
∴直线过定点．