专题03+因数和倍数（模块一+数的认识）讲义-2025年小升初数学一轮复习精编专题讲练测（学生版+教师版）

这是一份专题03+因数和倍数（模块一+数的认识）讲义-2025年小升初数学一轮复习精编专题讲练测（学生版+教师版），文件包含专题03因数和倍数教师版docx、专题03因数和倍数学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
（导图+知识梳理+考点讲练+分层训练）
讲义使用指南：同学你好，恭喜你进入小升初冲刺阶段！首先预祝你考出理想成绩！该份讲义涵盖内容非常全面，细分专题，精选高频考点，精雕细琢。包含导图指引，知识梳理，考点讲练，提优分层训练四大部分，题型新颖，解析版解题思路清晰。优选2024各地名校最新真题，模拟题等，非常贴合考纲要求，适合拿来大练手笔，讲义难度中上，适合所有学生使用！
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16539" 思维导图 目标指引 PAGEREF _Tc16539 \h 2
\l "_Tc14932" 高频考点 精讲精练 PAGEREF _Tc14932 \h 2
\l "_Tc20954" 知识梳理01：因数与倍数的意义和特征 PAGEREF _Tc20954 \h 2
\l "_Tc3681" 考点讲练01：因数和倍数的意义 PAGEREF _Tc3681 \h 3
\l "_Tc23539" 考点讲练02：找一个数的因数的方法 PAGEREF _Tc23539 \h 4
\l "_Tc1144" 考点讲练03：找一个数的倍数的方法 PAGEREF _Tc1144 \h 5
\l "_Tc18217" 知识梳理02：2 、3、5的倍数的特征 PAGEREF _Tc18217 \h 6
\l "_Tc14988" 考点讲练04：2的倍数特征 PAGEREF _Tc14988 \h 6
\l "_Tc7540" 考点讲练05：5的倍数特征 PAGEREF _Tc7540 \h 7
\l "_Tc12089" 考点讲练06：3的倍数特征 PAGEREF _Tc12089 \h 9
\l "_Tc13663" 考点讲练07：2、3、5的倍数特征 PAGEREF _Tc13663 \h 10
\l "_Tc28603" 知识梳理03：奇数与偶数 PAGEREF _Tc28603 \h 11
\l "_Tc7340" 考点讲练08：奇数与偶数的初步认识 PAGEREF _Tc7340 \h 11
\l "_Tc31351" 知识梳理04：质数与合数 PAGEREF _Tc31351 \h 13
\l "_Tc2352" 考点讲练09：合数与质数的初步认识 PAGEREF _Tc2352 \h 13
\l "_Tc8935" 考点讲练10：合数分解质因数 PAGEREF _Tc8935 \h 15
\l "_Tc2444" 知识梳理05：最大公因数和最小公倍数 PAGEREF _Tc2444 \h 17
\l "_Tc27122" 考点讲练11：公倍数和最小公倍数 PAGEREF _Tc27122 \h 17
\l "_Tc15530" 考点讲练12：因数、公因数和最大公因数 PAGEREF _Tc15530 \h 19
\l "_Tc5622" 考点讲练13：求几个数的最大公因数的方法 PAGEREF _Tc5622 \h 20
\l "_Tc20007" 考点讲练14：求几个数的最小公倍数的方法 PAGEREF _Tc20007 \h 22
难度分层 学以致用 \l "_Tc28675" PAGEREF _Tc28675 \h 24
\l "_Tc10006" 基础夯实巩固练 PAGEREF _Tc10006 \h 24
\l "_Tc30749" 培优拔高强化练 PAGEREF _Tc30749 \h 29
知识梳理01：因数与倍数的意义和特征
1.意义：如果a QUOTE × ×b=c（a、b是非0自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数
例如：2 QUOTE × ×4=8，就说2和4是8的因数，8是2和4的倍数
2.特征：①一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
例如：15最小的因数是1，最大的因数是15
②一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数
例如：31最小的倍数是31，没有最大的倍数。）
【提示】①研究因数与倍数时，所说的数一般指非0自然数。
②因数和倍数相互依存，不能单独说一个数是因数或倍数，应该说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
考点讲练01：因数和倍数的意义
【典例精讲】（2024•驿城区）是不为0的自然数，一定是 的倍数。
A．2B．3C．5
【思路点拨】因为9因数有1，3，9，说明9是3的倍数，因此是不为0的自然数，一定是3的倍数。
【规范解答】解：9是3的倍数，那么也一定是3的倍数。
故选：。
【考点评析】本题考查了因数和倍数的意义。
【变式训练01】（2024•曲江区）一个数除外）的因数一定小于这个数的倍数。 （判断对错）
【思路点拨】一个数除外）的因数最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身，据此解答。
【规范解答】解：一个数除外）的因数小于或等于这个数的倍数，原题说法错误。
故答案为：。
【考点评析】本题考查了因数和倍数的意义。
【变式训练02】（2024•衡南县）是8的倍数，也是8的倍数，的和也是8的倍数。 （判断对错）
【思路点拨】若整数能够被整除，叫作的倍数，就叫作的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【规范解答】解：是8的倍数，也是8的倍数，的和也是8的倍数。例如：8是8的倍数，16是8的倍数，24也是8的倍数，因此原题说法正确。
故答案为：。
【考点评析】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
【变式训练03】（2024•石狮市）从古至今，数学上有一种许多人为之疯狂的数，叫完美数，如6的因数有1、2、3、6，这几个因数有这样的关系：，像6这样的数，称作完美数。请你判断28是不是完美数，写出你的想法。
【思路点拨】先找出28的所有因数，然后再看28的因数是否有这样的关系，即可判断。
【规范解答】解：28的因数有1、2、4、7、14、28，
答：28是完美数。
【考点评析】熟练掌握找一个数的因数的方法是解答本题的关键。
考点讲练02：找一个数的因数的方法
【典例精讲】（2024•鼓楼区）如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么我们就说这个数是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，而且恰好是除6本身以外所有因数之和，所以我们就说6是“完全数”。下面的数中， 可以说是“完全数”。
A．8B．9C．16D．28
【思路点拨】根据求一个数的因数的方法，分别求出下面各数的因数，再根据“完全数”的意义进行解答。
【规范解答】解：、8的因数有1、2、4、8；，，所以8不是完全数；
、9的因数有1、3、9，，，所以9不是完全数；
、16的因数有1、2、4、8、16，，，所以16不是完全数；
、28的因数有1、2、4、7、14、28，，所以28是完全数。
故选：。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数的方法及应用，“完全数”的意义及应用。
【变式训练01】（2024•洛龙区）如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数：1、2、3、6，除6本身以外，还有1、2、3三个因数。，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面的数是“完全数”的是
A．10B．12C．24D．28
【思路点拨】根据完全数的定义，可将下列选项中的数字进行计算，即可得出答案。
【规范解答】解：的因数有：1、2、5、10，，所以10不是“完全数”，故不符合题意；
的因数有：1、2、3、4、6、12，，所以12不是“完全数”，故不符合题意；
的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，，所以24不是“完全数”，故不符合题意；
的因数有：1、2、4、7、14、28，，所以28是“完全数”，故符合题意。
故选：。
【考点评析】此题主要考查的是如何计算一个数的因数。
【变式训练02】（2024•大东区）42的因数一共有 个。
A．2B．3C．5D．8
【思路点拨】先用列举法找出42的所有因数即可。
【规范解答】解：42的因为有：1、2、3、6、7、12、21、42，42的因数一共有8个。
故选：。
【考点评析】本题要求学生掌握找一个数的因数的方法并灵活运用。
【变式训练03】（2024•江宁区）古希腊人认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。下面各数中，不是“完全数”的是
A．6B．28C．35
【思路点拨】先把选项中的数进行分解，找出各数的因数，然后根据完全数的定义，可将各自的因数相加，进而判断即即可。
【规范解答】解：、6的因数有：1、2、3、6，所以；
、28的因数有：1、2、4、7、14、28，所以；
、35的因数有：1、5、7、35，所以；
因此只有35不是“完全数”。
故选：。
【考点评析】此题关键是找出各个数的因数，再根据完全数的定义，解决问题。
考点讲练03：找一个数的倍数的方法
【典例精讲】（2024•温岭市）水果店准备了一些礼盒用来装48个苹果，每个礼盒不是装4个就是装6个。下列情况中不可能的是
A．有12个礼盒B．有9个礼盒C．有8个礼盒D．有7个礼盒
【思路点拨】根据总的苹果数、每个礼盒装的数，即可推算出。
【规范解答】解：全用装4个苹果的礼盒，可以用12个；
全用装6个苹果的礼盒，可以用8个；
所以，7个礼盒装不下48个苹果。
故选：。
【考点评析】本题主要考查了优化问题。
【变式训练01】（2024•西藏）如果的最小倍数是3，的最大因数是11，那么 33 。
【思路点拨】一个数的最小倍数是它本身，的最小倍数是3，就是3，一个数的最大因数是它本身，的最大因数是11，等于11，求就用即可解答。
【规范解答】解：
答：。
故答案为：33。
【考点评析】本题考查了最大因数和最小倍数的意义。
【变式训练02】（2024•龙岗区）飞机从深圳到北京的飞行路程大约2000千米。《西游记》中孙悟空一个筋斗云十万八千里，即54000千米。孙悟空一个筋斗云是深圳到北京飞行路程的 27 倍。
【思路点拨】用孙悟空一个筋斗云的路程除以深圳到北京飞行路程，即可得解。
【规范解答】解：
答：孙悟空一个筋斗云是深圳到北京飞行路程的27倍。
故答案为：27。
【考点评析】本题主要考查了倍数应用题，关键是弄清数量关系。
知识梳理02：2 、3、5的倍数的特征
①2 的倍数的特征：个位是 0、2、4、6、8。例如：20,136,
②3的倍数的特征：个位是 0 或 5。例如：21，327，
③5 的倍数的特征：各位上数字的和一定是 3 的倍数。例如：50，895
eq \\ac(○,4)同时是2和5的倍数的特征：个位上是0的数同时是2和5的倍数。例如：90，340，
考点讲练04：2的倍数特征
【典例精讲】（2023•温岭市）两个自然数，个位上的数字相同，它们的差一定是 的倍数。
A．3B．4C．5D．6
【思路点拨】两个自然数，个位上的数字相同，则它们差的个位数一定是0，又末位是0的数一定同时能被2与5整除，即是2与5的倍数。
【规范解答】解：两个自然数，个位上的数字相同，则它们差的个位数一定是0，所以它们的差一定是2与5的倍数。
故选：。
【考点评析】明确2与5的倍数特征是完成本题的关键。
【变式训练01】（2022•大同）要使五位数2021□既是2的倍数，又是3的倍数，□里应填
A．4B．6C．7
【思路点拨】同时是2和3的倍数的数，这样的数要满足个位上是0、2、4、6、8，而且各个数位上的数的和是3的倍数，据此解答。
【规范解答】解：
9是3的倍数。
答：要使五位数2021□既是2的倍数，又是3的倍数，□里应填4。
故选：。
【考点评析】此题考查了同时是2和3的倍数的特征及其运用，熟记特征即可。
【变式训练02】2022•西安）要使“64□”既是3的倍数又是2的倍数，□里最大应填 8 ．
【思路点拨】由“64□”是2的倍数可知：□可以为0，2，4，6，8，由“64□”是3的倍数可知：□□为3的倍数，则□最大可以为8。
【规范解答】解：经分析可知：
□可以为0，2，4，6，8，
□为3的倍数，
则□最大可以为8。
故答案为：8。
【考点评析】本题考查2，3，5的倍数特征。
考点讲练05：5的倍数特征
【典例精讲】（2024•霞山区）4月23日是“世界读书日”，学校开展了读书活动。笑笑看了一本80页的画册，翻开后看到两个页码，其中一个页码既是2的倍数，又是5的倍数。请你想一想翻开的页码可能是
A．34、35B．60、61C．75、76D．89、90
【思路点拨】根据2、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的整数都是2的倍数；个位上是0或5的整数都是5的倍数；同时是2和5的倍数的数，个位上必须是0；由此可知，翻开后看到两个页码，其中一个页码既是2的倍数，又是5的倍数，根据四个选项可知翻开的页码可能是60页、61页，据此解答即可。
【规范解答】解：因为同时是2和5的倍数的数，个位上必须是0，所以翻开的页码可能是60页、61页。
故选：。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握2、5的倍数的特征及应用。
【变式训练01】（2023•武侯区）某班来了两位富有经验的教师，他们的年龄相差4岁，而且每人年龄的各位数字之和都是5的倍数，那么较年长的老师最大是 岁。
A．45B．50C．55D．无法计算
【思路点拨】从题中条件看，较年轻的老师年龄的个位数至少是6（否则，如果个位数比6小，那么加4后，没有进位，这时，他俩年龄的各位数字的“和”仍是相差4，这两个“和”不可能都是5的倍数），而老师的年龄通常都是两位数，可见，较年轻的老师年龄只能是或或或、、、表示年龄的十位数）。
【规范解答】解：因为两位老师年龄的各位数字的和都是5的倍数，
所以从上述分析可知：较年轻的老师的年龄是46或37或28或19，
于是较年长的老师的年龄应是50或41或32或23；
由此可见较年长的老师的年龄最多是50岁。
故选：。
【考点评析】解答本题的关键是理解题意，分析出较年轻的老师年龄可能的岁数，进而得出答案。
【变式训练02】（2023•鼓楼区模拟）杨大伯在生态农庄放养了一些鸡和鸭。鸡的只数是鸭的，它们的总只数在之间。鸡有 只。
A．51B．78C．81D．84
【思路点拨】由题意可知：鸡和鸭共有：，鸡和鸭的总只数是8的倍数，于是即可求出共有的只数，又因鸡与鸭的只数比是，从而利用按比例分配的方法，即可得解。
【规范解答】解：
鸡和鸭的总只数是8的倍数，
（只
（只
答：鸡有51只。
故选：。
【考点评析】先求出鸡和鸭的总只数，再求出鸡的只数占二者总量的几分之几，是解答本题的关键。
【变式训练03】（2024•江阳区）任意给出5个连续的非0自然数，其中一定只有一个数是5的倍数。 （判断对错）
【思路点拨】5的倍数，即能被5整除的数是个位是0或是5的数字，五个连续的自然数，如1、2、3、4、5或16、17、18、19、20或22、23、24、25、26等等，其中一定有一个数的个位是0或5；据此判断。
【规范解答】解：五个连续的自然数其中一定只有一个数是5的倍数，所以原题干说法正确。
故答案为：。
【考点评析】考察的是5的倍数特征。
考点讲练06：3的倍数特征
【典例精讲】（2024•岚山区）要使四位数16□2成为3的倍数，□内可填写的合适数字有 个。
A．1B．2C．3D．4
【思路点拨】一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
【规范解答】解：因为，9可以被3整除，因此□里的数也必须是3的倍数，可以填0，3，6，9，这4个数。
故选：。
【考点评析】本题考查了3的倍数特征。
【变式训练01】（2024•赤坎区）下列诗句中划线的数字不是3的倍数的是
A．三更灯火五更鸡，正是男儿读书时
B．毕竟西湖六月中，风光不与四时同
C．可怜九月初三夜，露似真珠月似弓
D．八百里分麾下炙，五十弦翻塞外声
【思路点拨】根据3的倍数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，进行解答即可。
【规范解答】解：在三、六、九、五十这四个数中，三、六、九是3的倍数，五十不是3的倍数。
故选：。
【考点评析】本题考查3的倍数的特征的灵活运用。
【变式训练02】（2024•灞桥区）三位数□25是3的倍数，□最小是 2 ，最大是 。
【思路点拨】3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【规范解答】解：
三位数□25是3的倍数，□里面可以填2，5，8，所以□最小是2，最大是8。
故答案为：2；8。
【考点评析】本题考查3的倍数的特征。
考点讲练07：2、3、5的倍数特征
【典例精讲】（2024•英德市）用3，5，8，2四张数字卡片摆出的所有四位数
A．一定是2的倍数B．一定是3的倍数
C．一定是5的倍数D．一定是2，3，5的倍数
【思路点拨】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数；
3的倍数特征：各个数位上数字之和能被3整除；
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
【规范解答】解：用3，5，8，2四张数字卡片摆出的所有四位数中有的数个位不是2、8、5，所以摆出的数字不一定是2、5的倍数；因为、18是3的倍数，所以3，5，8，2四张数字卡片不管怎么摆一定都是3的倍数。
故选：。
【考点评析】此题需要学生熟练掌握2、3、5的倍数特征，并灵活运用。
【变式训练01】（2024•坪山区）奇思的爸爸有一个密码箱，他忘记了密码，请你根据提示帮助他找到密码。密码是
提示：密码是一个三位数。百位上是最小的质数，十位上的数比百位上的数多3，这个三位数既有因数5，又是3的倍数。
A．140B．145C．250D．255
【思路点拨】百位上最小的质数是2，百位上的数加上3就是十位上的数，5的倍数特征：个位数字是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，据此解答即可。
【规范解答】解：百位上数字是最小的质数2，十位上的数字是，
，12是3的倍数，个位上是5，这个三位数是255。
故选：。
【考点评析】熟练掌握质数的认识和3、5的倍数特征是解答本题的关键。
【变式训练02】（2024•菏泽）身边的数学：110是报警电话，120是急救电话，114是查询电话，119是火警电话，122是交通报警电话。如果将这些电话号码看成相应的整数，其中3的倍数有 120、114 ，2、3、5的公倍数有 。（填电话号码）
【思路点拨】3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；2、3、5的倍数个位上一定是0且各个数位上的数字之和是3的倍数，据此解答即可。
【规范解答】解：3的倍数：120、114；
2、3、5的公倍数：120。
故答案为：120，114，120。
【考点评析】本题考查2、3、5的倍数，解答本题的关键是掌握2、3、5的倍数特征。
【变式训练03】（2024•雁塔区）一个三位数“35□”，如果它是3的倍数，□中最小填 1 ，如果它既是2的倍数又是5的倍数，□中应填 。
【思路点拨】根据3的倍数的特征：各位上的数字和是3的倍数，同时是2、5的倍数的特征是：个位上必须是0。据此解答。
【规范解答】解：
答：一个三位数“35□”，如果它是3的倍数，□中最小填1，如果它既是2的倍数又是5的倍数，□中应填0。
故答案为：1；0。
【考点评析】此题考查的目的是掌握2、3、5的倍数的特征。
知识梳理03：奇数与偶数
1.奇数：不是2的倍数的数叫作奇数，最小的奇数是1.
偶数：是2的倍数的数叫作偶数，最小的偶数是0。
2.和与积的奇偶性：
（1）偶数士偶数=偶数 奇数士奇数=偶数 奇数士偶数=奇数
（2）偶数 偶数=偶数 奇数×奇数=奇数 偶数×奇数=偶数
考点讲练08：奇数与偶数的初步认识
【典例精讲】（2024•西藏）下列描述错误的是
A．B．
C．D．
【思路点拨】依据各个选项结合相关知识分别去解答。
【规范解答】解：既是质数，也是偶数，本题说法正确；
正方形是特殊的长方形，两者都是四边形，本题说法正确；
方程属于等式，本题说法正确；
既不是正数，也不是负数，本题说法错误。
故选：。
【考点评析】本题考查的是偶数，质数，负数，正数，方程与等式以及四边形的应用。
【变式训练01】（2024•横州市）哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，其中的一个命题是“每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇素数之和”。例如，，，，。下列式子中反映这个猜想的是
A．B．C．D．
【思路点拨】1不是质数也不是合数，7不是偶数，9不是偶数。
【规范解答】解：哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，其中的一个命题是“每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇素数之和”。 反映了这个猜想。
故选：。
【考点评析】本题考查的主要内容是奇数和偶数，质数和合数的应用问题。
【变式训练02】（2024•西平县）当和都是 ，一定是偶数。
A．自然数B．质数C．合数D．奇数
【思路点拨】奇数奇数偶数，偶数偶数偶数，奇数偶数奇数，除了2之外的两个质数相加和也是偶数，合数有偶数，也有奇数，偶合数奇合数奇数，自然数包括0和正整数，其中的奇数和偶数之和是奇数。据此选择。
【规范解答】解：自然数包括0和正整数，其中的奇数和偶数之和是奇数，即自然数不合题意；
除了2之外的两个质数相加和也是偶数，2和其他质数相加的和是奇数，即质数不合题意；
合数有偶合数也有奇合数，偶合数和奇合数之和是奇数，即合数不合题意；
奇数奇数偶数，即奇数符合题意。
综上，只有选项符合题意。
故选：。
【考点评析】本题考查了奇偶性问题的应用。
【变式训练03】（2024•海港区）“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，它的内容是“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”。下面 符合“哥德巴赫猜想”。
A．B．C．D．
【思路点拨】根据题意“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”，结合质数、合数、偶数、奇数的认识，解答即可。
【规范解答】解：、，6是两个质数的积，不是两个质数的和，所以不符合题意。
、，6不是质数，所以不符合题意。
、，3和7都是质数，10是大于2的偶数，所以本选项符合哥德巴赫猜想。
、，9不是质数，所以不符合题意。
故选：。
【考点评析】本题考查了质数、合数、偶数、奇数的意义，结合题意分析解答即可。
知识梳理04：质数与合数
1.质数：只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数），最小的质数是2.
2.合数：除了1和它本身外还有别的因数，这样的数叫作合数，最小的合数是4
3.1既不是质数，也不是合数。
4.质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。
5，分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
6，公因数只有1的两个数叫作互质数。
【提示】按因数个数的多少，自然数（0除外）可分为三类：质数、合数和1
考点讲练09：合数与质数的初步认识
【典例精讲】（2024•苍溪县）乐乐研究杭州亚运会开幕式的日期发现，表示月份的数是一位数中最大的合数，表示日子的数是一个两位数，十位上是最小的质数，个位上是3的最小倍数。开幕式的日期是
A．8月23日B．8月26日C．9月13日D．9月23日
【思路点拨】合数是在大于1的整数中，除了能被1和本身整除外，还能被其他数除外）整除的数。质数是一个自然数，只有1和它本身两个因数。3的最小倍数是3。
【规范解答】解：乐乐研究杭州亚运会开幕式的日期发现，表示月份的数是一位数中最大的合数，表示日子的数是一个两位数，十位上是最小的质数，个位上是3的最小倍数。开幕式的日期是9月23日。
故选：。
【考点评析】此题考查了合数与质数的初步认识，要求学生掌握。
【变式训练01】（2024•黄石）、、是3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是
A．偶数B．奇数C．合数D．质数
【思路点拨】由自然数的分类可知，自然数中不是奇数就是偶数，由两个数和的奇偶性可知，奇数奇数偶数，偶数偶数偶数，奇数偶数奇数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数；可以通过举例说明。
【规范解答】解：如2，4，6中没有2个数的和是奇数，也没有2个数的和是质数，但有2个数的和是偶数；
0，2，3中没有2个数的和是合数，但有2个数的和是偶数；
因此、、是3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数。
故选：。
【考点评析】本题主要考查了自然数加法的奇偶性，理解偶数、奇数、质数、合数的意义，掌握偶数奇数的加法的和的运算。
【变式训练02】（2024•彭阳县）若正方形的边长是一个质数，那么这个正方形的周长一定是
A．质数B．合数C．奇数D．约数
【思路点拨】根据质数与合数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；及正方形的周长的计算方法，可知它的周长一定是合数，由此解答。
【规范解答】解：正方形的周长边长；
它的周长至少有的因数、2、，所以说一定是合数。
故选：。
【考点评析】此题主要考查质数与合数的意义，判断一个数是质数还是合数，就看这个数有多少个因数。
【变式训练03】（2024•石首市）2024年巴黎奥运会开幕式的日期很特别，表示月份的数是一位数中最大的质数；表示日子的数是一个两位数，十位上是最小的质数，个位上是3的倍数而且是偶数。巴黎奥运会开幕式的日期是 7月26日 。
【思路点拨】一位数中最大的质数是7，最小的质数是2，个位上是3的倍数而且是偶数是6。
【规范解答】解：2024年巴黎奥运会开幕式的日期很特别，表示月份的数是一位数中最大的质数；表示日子的数是一个两位数，十位上是最小的质数，个位上是3的倍数而且是偶数。巴黎奥运会开幕式的日期是7月26日。
故答案为：7月26日。
【考点评析】此题考查了合数与质数的初步认识，要求学生掌握。
考点讲练10：合数分解质因数
【典例精讲】（2024•新安县）下面说法正确的是
①是分解质因数。
②如果一个数的是28，那么它的一定是15。
③2024年的第一季度有91天。
④0.15和0.150的大小和意义都相同。
⑤图书室的藏书数量一定，每天借出和还回的书的本数成反比例。
⑥有两根小棒分别长7厘米和13厘米，能和它们围成三角形的第三根小棒最长是20厘米。
A．①③B．②③C．②④D．③⑤
【思路点拨】依据题意结合各个选项分别去解答。
【规范解答】解：①，其中的4不是质数，所以该项不表示分解质因数。
②依据分数乘除法意义解答，一个数的是28，则这个数是；这个数的则是；所以该项正确。
③，所以2024年是闰年，第一季度有：天；所以该项正确。
④0.15的计数单位是0.01，0.150的计数单位是0.001，0.15和0.150的大小相同，意义不相同，所以此项说法错误。
⑤每天借出还回的书的本数藏书数量（一定），和一定，不成比例，所以此项说法错误。
⑥任意三角形的两边之和必须大于第三边，（厘米），所以所以此项说法错误。
所以②③项正确。
故选：。
【考点评析】此题考查了分解质因数、分数的乘除法、闰年平年的判断、小数的意义、正反比例和三角形的三边关系的应用。
【变式训练01】（2024•沙坪坝区）甲、乙玩抽扑克游戏，现有的扑克各若干张，甲、乙两人分别从中取出5张，然后计算五张扑克上数字的乘积，最后发现乘积一样，都为1764，并且甲取的扑克数字之和比乙取的扑克数字之和大4，那么甲、乙扑克数字之和分别为 28，24 。
【思路点拨】将1764分解质因数，求和，找出符合甲取的扑克数字之和比乙取的扑克数字之和大4的数。
【规范解答】解：
①
此时和为：
②
此时和为：
③
此时和为：
④
此时和为：
⑤
此时和为：
因为甲取的扑克数字之和比乙取的扑克数字之和大4，所以符合题意的是24和28。
即甲取得扑克数字之和为28，乙取得扑克数字之和为24。
答：甲取得扑克数字之和为28，乙取得扑克数字之和为24。
故答案为：28，24。
【考点评析】考查数字问题。根据数的特征，进行分解质因数，分析每组数字的组合情况，然后求出每组的和即可。
【变式训练02】（2024•许昌）把20、26、33、35、39、42、44、55、91这九个数分成三组，使每组数的乘积相等。（请写出思考方法和分组结果）
【思路点拨】将所给数据分解质因数，再分成个数相等的三组，使每组所含相同质因数的个数相等即可。
【规范解答】解：
包含6个2，3个3、5、7、11、13
分成三组：。
答：把20、26、33、35、39、42、44、55、91这九个数分成三组：，每组数的乘积相等。
【考点评析】解答本题主要利用分解质因数的方法，把这些数分成三组质因数乘积相等的数即可。
知识梳理05：最大公因数和最小公倍数
1. 公因数和最大公因数：几个数公有的因数叫作这几个数的公因数；其中最大的公因数叫作这几个数的最大公因数
2. 求最大公因数的方法：（1）列举法；（2）筛选法（3）短除法
3. 公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数；其中最小的公倍数叫作这几个数的最小公倍数
4. 求最小公倍数的方法 （1）列举法；（2）筛选法（3）短除法
5. 求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊情况：如果两个数是倍数关系，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数；如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数就是1，最小公倍数就是这两个数的乘积。
考点讲练11：公倍数和最小公倍数
【典例精讲】（2024•安化县）96是16和12的
A．公倍数B．最小公倍数C．公因数D．最大公因数
【思路点拨】公倍数的意义，几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数；
根据题意可知，96是16和12的倍数，据此解答。
【规范解答】解：
16和12的最小公倍数是
16和12的公倍数有：48、96、，所以96是16和12的公倍数。
故选：。
【考点评析】这道题考查的是整数的知识，解答此题要根据公倍数的意义。
【变式训练01】（2024•菏泽）如果、是连续的非零自然数，那么和的最大公因数是 1 ，最小公倍数是 。
【思路点拨】公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。最大公因数指两个或多个整数共有约数中最大的一个。
【规范解答】解：因为、是连续的非零自然数，所以和共有的约数只有一个，是1，也就是，的最大公因数是1；
，为连续的自然数，所以它们的倍数中最小的为，即他们的最小公倍数是。
故答案为：1；。
【考点评析】题目的关键点在，是连续的自然数。根据公倍数和公因数的定义即可求解。
【变式训练02】（2024•仪征市）先在4的倍数上画“〇”，在6的倍数上画“△”，再填写如图。
【思路点拨】（1）找一个数的倍数，就用这个数分别乘以自然数1，2，3，4，5，，所得积就是它们的倍数，由此用“〇”画出4的倍数，用“△”画出6的倍数；
（2）联系公倍数的概念，找出既是4的倍数又是6的倍数的数，即可写出表中两个数的公倍数。
【规范解答】解：
【考点评析】此题需要学生熟练掌握求一个数倍数的方法。
考点讲练12：因数、公因数和最大公因数
【典例精讲】（2024•威县）下面各组数中，两个合数组成的互质数是
A．9和12B．4和25C．2和7
【思路点拨】根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫作互质数，据此解答。
【规范解答】解：和12都是合数，但不互质；
和25都是合数，互质；
和7互质，但不是合数。
故只有4和25即是合数，又是互质数。
故选：。
【考点评析】本题考查了合数和质数的认识。
【变式训练01】（2024•西安）6和9的公因数有2个。 （判断对错）
【思路点拨】先分别求出6和9的因数，再从中找出它们的公因数。
【规范解答】解：6的因数有1、2、3、6；
9的因数有1、3、9；
所以6和9的公因数有1，3共2个，故原题正确。
故答案为：。
【考点评析】熟练掌握求一个数因数的方法以及求两个数公因数的方法是解题的关键。
【变式训练02】（2024•京口区）数学辩论题．
观察下面的数学现象：3与5互质，5与8互质，3与8也互质；4与7互质，7与9互质，4与9也互质正方：根据上述现象，可得出这样一个结论：若与互质，与互质，则与一定互质．
你（作为反方）是否认同正方观点？如果不同意，请举例予以辩论．
【思路点拨】若与互质，与互质，则与不一定互质，并举例说明即可．
【规范解答】解：若与互质，与互质，则与不一定互质，
例如：3与5互质，5与9互质，但3与9不互质，3和9的公因数有：1、3．
【考点评析】此题主要考查了合数与质数的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若与互质，与互质，则与不一定互质．
【变式训练03】（2024•五华区）观察下面数学现象：
3与5互质，5与8互质，3与8也互质；
4与7互质，7与9互质，4与9也互质
聪聪：根据上述现象，可得出这样一个结论：若与互质，与互质，则与一定互质。
你是否同意他的观点？如果不同意，请举例予以反驳。
【思路点拨】若与互质，与互质，则与不一定互质，并举例说明即可。
【规范解答】解：若与互质，与互质，则与不一定互质，
例如：3与5互质，5与9互质，但3与9不互质，3和9的公因数有：1、3。
【考点评析】此题主要考查了合数与质数的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若与互质，与互质，则与不一定互质。
考点讲练13：求几个数的最大公因数的方法
【典例精讲】（2024•方山县）以下说法中，正确的有
①0是最小的数；
②长方形的长和宽决定了它的面积大小；
③百分数也叫作百分比或百分率；
④将三角形的三个内角剪下来拼在一起，可以拼成一个平角；
⑤一个质数和一个合数的最大公因数一定是1。
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】0是最小的自然数；长方形的面积长宽；百分数也叫作百分比或百分率；三角形的内角和是；一个质数和一个合数的最大公因数可能是1，也可能是这个质数。
【规范解答】解：①0是最小的自然数，原题说法错误；
②长方形的面积长宽，原题说法正确；
③百分数也叫作百分比或百分率，原题说法正确；
④三角形的内角和是，原题说法正确；
⑤一个质数和一个合数的最大公因数可能是1，也可能是这个质数，原题说法错误。
故选：。
【考点评析】熟悉题目中的数学概念是解决本题的关键。
【变式训练01】（2024•茌平区）如果和是相邻的两个非零自然数，那么和的最大公因数是 1 。
【思路点拨】根据和是相邻的两个非零自然数，他们最大公因数是1进行填空。
【规范解答】解：如果和是相邻的两个非零自然数，那么和的最大公因数是1。
故答案为：1。
【考点评析】本题考查的主要内容是最大公因数的应用问题。
【变式训练02】（2024•江北区）若甲、乙两数之比为，它们的最大公因数和最小公倍数的和为80，则甲乙两数的和是 40 。
【思路点拨】根据两个数的最小公倍数是这两个数的最大公因数的倍数，由此解答即可。
【规范解答】解：设最大公因数是，
则甲数，乙数，最小公倍数


即甲为：
乙为：
答：甲乙两数的和是40。
故答案为：40。
【考点评析】此题主要考查比的应用和两个数的最大公因数及最小公倍数，据此解决有关问题。
【变式训练03】（2024•眉县）两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，则这两个数是 18 和 ；或者是 和 。
【思路点拨】运用，根据求最小公倍数的方法可以得出10应该是这两个数的互质的因数的乘积，，由此可以解决。
【规范解答】解：因为，10分解成两个互质的数有两种情况即2和5或1和10，所以这两个数：
、或、。
答：这两个数是18和45；或者是9和90。
故答案为：18、45，9、90。
【考点评析】本题考查了最大公因数和最小公倍数，解题关键是：最小公倍数除以最大公因数就得到了两个数的独有因数的积，并且两个数的独有因数应该是互质的。
考点讲练14：求几个数的最小公倍数的方法
【典例精讲】（2024•集美区）下列说法正确的是
①、是两个不为0的自然数，，和的最小公倍数是。
②长度分别为3厘米、3厘米，6厘米的三根小棒能围成一个三角形。
③任意抛一枚质地均匀的硬币，正面和反面朝上的可能性相同。
④正方形、长方形、平行四边形和圆都是轴对称图形。
A．①③B．①②③C．①③④D．③④
【思路点拨】①当两个数是倍数关系时，较小的数是两个数的最大公因数，较大的数是两个数的最小公倍数，据此判断即可；
②三角形任意两边之和大于第三边，据此判断即可；
③硬币有正、反两面，任意抛一枚质地均匀的硬币，正面和反面朝上的可能性相同都是，据此判断即可；
④依据轴对称图形的定义判断：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；其中的这条直线就是对称轴，据此判断即可。
【规范解答】解：①、是两个不为0的自然数，，和的最小公倍数是较大的数，原题干说法正确；
②（厘米），不能围成一个三角形，原题干说法错误；
③，正面和反面朝上的可能性相同都是，原题干说法正确；
④平行四边形不是轴对称图形，原题干说法错误。
故选：。
【考点评析】本题主要考查了最小公倍数、三角形三边关系、轴对称图形及可能性的灵活运用。
【变式训练01】（2024•沁阳市）下列说法正确的是
A．、为非零自然数），那么和的最小公倍数是。
B．甲数比乙数少，乙数就比甲数多。
C．钟面上，时针和分针行走的速度比是。
【思路点拨】如果两个非零自然数存在倍数关系，则较大的数就是他们的最小公倍数，较小的数就是他们的最大公因数；把乙数看作1，甲数就是，用除以甲数即可判断；根据钟面上时针和分针行走的速度求出时针和分针行走的速度比即可判断。
【规范解答】解：、为非零自然数），可得：，所以和的最小公倍数是，所以本选项的说法错误；
，乙数就比甲数多，所以本选项的说法错误；
钟面上时针每小时走1大格，分针行每小时走12大格，所以时针和分针行走的速度比是。所以本选项的说法正确。
故选：。
【考点评析】本题主要考查求几个数的最小公倍数的方法、比的意义及百分数的灵活运用。
【变式训练02】（2024•宁波）下面说法中错误的是
A．、是两个非0自然数，且，则和的最小公倍数是。
B．男生人数是总人数的，那么女生人数比男生少。
C．李师傅加工的99个零件全部达标，达标率是。
D．小东把、、3、4写到数轴上的正确位置，离0最近。
【思路点拨】逐项分析各个选项后即可判断正误。
【规范解答】解：因为、是两个非0自然数，且，所以，即和是连续的自然数，连续两个自然数的最小公倍数是两个数乘积，即和的最小公倍数是，原说法正确；
男生人数是总人数的，把男生人数看陈2份，则总人数的为同样的3份，女生人数为同样的1份，女生人数比男生人数少，即女生人数比男生少，原说法错误；
零件达标率达标零件的个数检测零件的个数，李师傅加工的99个零件全部达标，达标率是。原说法正确；
小东把、、3、4写到数轴上的正确位置，则和3、和1、和4关于0对称，和1离0距离相等且最近，原说法正确。
综上，只有选项说法错误。
故选：。
【考点评析】本题考查了连续自然数的最小公倍数、分数的意义、百分数的实际应用以及负数的意义等。
【变式训练03】（2024•铜官区）和是两个非0自然数。如果除以的商正好是8，那么和的最大公因数是 ；如果，那么和的最小公倍数是 。
【思路点拨】两个互为倍数的数的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。两个连续的自然数的最小公倍数是它们的乘积。
【规范解答】解：和是两个非0自然数。如果除以的商正好是8，那么和的最大公因数是；如果，那么和的最小公倍数是。
故答案为：，。
【考点评析】熟悉求最小公倍数与最大公因数的方法是解决本题的关键。
基础夯实巩固练
1．（2024•苍溪县）“一个质数和一个合数的最大公因数一定是1“。要想说明这句话是错误的，可以用下面 作为例子进行反驳。
A．3和4B．5和7C．6和8D．2和10
【思路点拨】根据质数与合数的概念，在选项中找出一个质数和一个合数的选项，求出它们的最大公因数即可解答。
【规范解答】解：一个质数和一个合数的项是，因为2和10为倍数关系，所以2和10的最大公因数是2，不是1；其它选项不是两个质数就是两个合数、或者是互质数。
故选：。
【考点评析】熟练掌握合数与质数的意义以及为倍数关系的两个数的最大公因数的求法是解题的关键。
2．（2024•即墨区）如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完美数”。下面的数中 是“完美数”。
A．18B．24C．28D．32
【思路点拨】28的因数有1、2、4、7、14、28，，所以28是“完美数”。
【规范解答】解：18的因数有1、2、3、6、9、18，，所以不符合题意。
24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，，所以不符合题意。
28的因数有1、2、4、7、14、28，，所以28是“完美数”。
32的因数有1、2、4、8、16、32，，所以不符合题意。
故选：。
【考点评析】此题考查了求“完美数”的方法，要求学生掌握。
3．（2024•泉港区）在计数器上用3个珠子表示一个三位数，这个三位数一定是
A．奇数B．偶数C．质数D．合数
【思路点拨】3的倍数特征：各个数位上的数加起来能被3整除；
不论3颗珠子在计数器上如何摆放，组成的数的各个数位上的数字的和一定是3，据此解答。
【规范解答】解：在计数器上用3个珠子表示一个三位数，这个三位数至少有1、3和它本身三个因数，所以是合数。
故选：。
【考点评析】本题考查了3的倍数特征，要熟练掌握。
4．（2024•播州区）如果、均为非0自然数），下列说法正确的是
A．和的最大公因数是B．比少
C．和成反比例关系D．和的最小公倍数是9
【思路点拨】若整数能够被整除，叫作的倍数，就叫作的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【规范解答】解：．和的最大公因数是，所以原题干表述正确；
．是少的，所以原题干表述错误；
和成正比例关系，所以原题干表述错误；
．和的最小公倍数是；所以原题干表述错误。
故选：。
【考点评析】本题主要考查因数与倍数的意义，注意约数与倍数是相互依存的。
5．（2024•鄢陵县）甲数，乙数，这两个数的最小公倍数是 24 ．
【思路点拨】先找出两个数公有的质因数和各自独有的质因数，再求出公有质因数和独有质因数的连乘积，就是甲乙两个数的最小公倍数．
【规范解答】解：甲数，乙数，这两个数的最小公倍数是．
故答案为：24．
【考点评析】此题考查求两个数的最小公倍数的方法，解决关键是先找出两个数公有的质因数和各自独有质因数．
6．（2024•舞钢市）一个两位数的偶数，十位上的数字和个位上的数字的积是18，则这个两位数是 36或92 ．
【思路点拨】根据表内乘法可知，乘积为18的两个一位数有2和9，3和6，又组成的两位数为偶数，所以这个两位数为36或92．
【规范解答】解：乘积为18的两个一位数有2和9，3和6，
所以这个两位数的偶数为36或92．
故答案为：36或92．
【考点评析】根据个位与十位上数字的积是18确定这两个数字是多少是完成本题的关键．
7．（2024•麻城市）两个数的最大公因数是15，是这两个数最小公倍数的，已知其中一个数是30，则另一个数是 45 。
【思路点拨】两个数的最大公因数是最小公倍数的，因此，用两个数的最大公因数除以即可求出这两个数的最小公倍数；最小公因数是两个数公有质因数的乘积，最小公倍数是两个数的公有质因数与独有质因数的乘积，所以最大公因数最小公倍数两个数的乘积；据此，用最大公因数与最小公倍数相乘，再除以其中一个数即可求出另一个数。
【规范解答】解：最小公倍数：
另一个数：
故答案为：45。
【考点评析】此题主要考查根据两个数的最大公因数和最小公倍数确定两个数是多少，还考查分数除法的应用。
8．（2024•宜秀区）能同时被2、3、5整除的最小三位数是 120 ，能同时被7、8整除的最大三位数是 。
【思路点拨】2的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是2的倍数。
3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。
能同时被2、3、5整除的最小三位数，必须满足个位数是0，百位数是1，进而得出十位数为2，得出结论；
7和8的最小公倍数是56，最大三位数是1000，用1000除以56，然后再进一步解答即可。
【规范解答】解：能同时被2、3、5整除的最小三位数是120；
7和8的最小公倍数是56，最大三位数是1000，所以
所以能同时被7、8整除的最大三位数是952。
故答案为：120；952。
【考点评析】解答此题应结合题意，根据能被2、3、5、整除的数的特征以及求两个数公倍数的方法进行求解。
9．（2024•邵阳）、都是非0自然数，且。和的最大公因数是。 （判断对错）
【思路点拨】如果两个数中小数是大数的因数，大数是小数的倍数，那么小数就是这两个数的最大公因数。据此解答。
【规范解答】解：从可知，，是的倍数，是的因数，所以和的最大公因数是。原说法正确。
故答案为：。
【考点评析】本题主要考查求两个数的最大公因数，注意倍数关系的最大公因数是较小数。
10．（2024•郸城县）一个自然数不是奇数就是偶数。 （判断对错）
【思路点拨】奇数与偶数是按能否被2整除划分的，两部分合在一起，构成了自然数，由此判定即可．
【规范解答】解：自然数按能否被2整除分为奇数和偶数，所以所有的自然数不是偶数就是奇数是正确的．
故答案为：．
【考点评析】这道题是考查自然数按能否被2整除进行分类，能被2整除的是偶数，不能被2整除的是奇数．
11．（2024•平昌县）将42分解质因数是。 （判断对错）
【思路点拨】将一个合数分成几个质数相乘的形式，叫作将这个数分解质因数，据此将42分解质因数后判断即可。
【规范解答】解：将42分解质因数的结果是：。
原题说法错误。
故答案为：。
【考点评析】解答本题需熟练掌握分解质因数的方法，灵活解答。
12．（2023•渝北区）一个四位数□45□，这个数既是3的倍数，也是5的倍数，这个四位数最大是 9450 。
【思路点拨】既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。
【规范解答】解：当个位上的数字是0时，，千位上的数字可以是3、6、9，即3450、6450、9450；当个位上的数字是5时，、，千位上的数字可以是1、4、7，即1455、4455、7455，这个四位数最大是9450。
故答案为：9450。
【考点评析】本题考查的是2、3、5的倍数特征，关键是掌握并灵活运用3和5的倍数的特征。
13．（2023•惠济区）一条德化街，百年郑州史。它是中原最大的商业集散中心二七商圈的中轴线。承载着郑州人的精神记忆，是郑州近百年发展的历史缩影，这条街南起大同路，北至二七广场，全长600米，宽20米，就是这条又短又窄的街道，却聚集着众多名店，拥有约23个行业。随着2020年7月德化街入选第二批全国步行街改造升级试点，郑州德化街正式迎来复兴改造。以二七商圈区域城市复兴为主线，德化街围绕环境、产业、文化、智慧街区和品牌特色等方面实施新一轮改造升级，打通商圈复兴的“文脉”和“商脉”，建设现代时尚的国际化商业街区。
（1）划横线的自然数中， 23、7 是质数， 是合数。
（2） 是2的倍数， 既是3的倍数，又是5的倍数。
（3）德化街的宽占长的，这个分数的分数单位是 。
【思路点拨】（1）合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数，“0”“1”既不是质数也不是合数，质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数；
（2）2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数，3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数；
（3）根据宽除以长，写成分数形式，并写出分数单位即可。
【规范解答】解：（1）划横线的自然数中，23、7是质数，600、20、2020是合数；
（2）600、20、2020是2的倍数，600既是3的倍数，又是5的倍数；
（3），分数单位是。
故答案为：（1）23、7；600、20、2020；（2）600、20、2020；600；（3）；。
【考点评析】本题考查的主要内容是质数、合数；2，3，5的倍数；分数的认识的应用问题。
14．（2023•康县）五（2）班有男生24人，女生18人，现在需要把它们分成人数相等的几个小组，而且各组的男、女生人数要分别相等，最多可以分成几个小组？每组男、女生各有几人？
【思路点拨】要求最多可以分成几个小组，即求24和18的最大公因数，先把24和18进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数；然后根据题意，用男、女生的人数分别除以组数，解答即可．
【规范解答】解：，，
24和18的最大公约数是，即最多可以分成6组，
男生每组：（人，
女生每组：（人；
答：最多可以分成6个小组，每组男生有4人，女生每组有3人．
【考点评析】此题主要考查求两个数的最大公约数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数．
15．（2023•萝北县）李阿姨今天给月季和君子兰同时浇了水，月季每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水．至少多少天后给这两种花同时浇水？
【思路点拨】求至少多少天后给这两种花同时浇水，根据题意“月季每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水”可得：即求4和6的最小公倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可．
【规范解答】解：，，
所以4和6的最小公倍数是；
答：至少12天后给这两种花同时浇水．
【考点评析】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
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16．（2024•玄武区）著名的哥德巴赫猜想：“任何不小于7的奇数都可以写成三个质数的和”。通过举例来验证这个猜想，下面举例正确的是
A．B．C．
【思路点拨】奇数：不是2的倍数的数叫作奇数。
质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。
【规范解答】解：，21是奇数，3，7，11是质数，符合题意；
，14是偶数，2，5，7是质数，不符合题意；
，11是奇数，1不是质数，3，7是质数，不符合题意。
故选：。
【考点评析】本题考查了奇数、质数的认识。
17．（2024•天宁区）如果是一个质数，是一个合数，且，那么下列算式中，结果 肯定是合数。
A．B．C．D．
【思路点拨】根据题意，假设，，，11是质数；，3是质数；，28是合数；，它不是合数。
【规范解答】解：如果是一个质数，是一个合数，且，那么下列算式中，结果肯定是合数。
故选：。
【考点评析】此题考查了质数与合数的关系，要求学生掌握。
18．（2024•广汉市）在1、2、3、4、这组自然数中，表示所有奇数的个数，表示所有质数的个数，表示所有偶数的个数，表示所有合数的个数。那么
A．0B．1C．2D．3
【思路点拨】在这些数中，所有偶数与所有奇数合起来就包含了所有的数，所有质数与所有合数合起来包含了除1以外的所有数，将变式为，即可解答。
【规范解答】解：所有奇数的个数所有偶数的个数
所有质数的个数所有合数个数
故选：。
【考点评析】本题主要考查质数与合数、奇数与偶数的定义，一个数不是奇数就是偶数，1既不是质数也不是合数。
19．（2024•阿荣旗）一个数如果除了它本身以外所有因数相加的和，恰好又等于它本身，这样的数称作“完美数”。比如6的因数有1、2、3、6，除去本身后，1、2、3三个因数的和正好等于它本身，所以6是一个完美数。下面各数中 是完美数。
A．12B．28C．36D．40
【思路点拨】先找出各个选项数字的所有因数，看除了它本身以外所有因数相加的和，是否等于它本身，据此解答。
【规范解答】解：．12的因数有：1、2、3、4、6、12。除去12，剩下的因数和为：，，所以12不是完美数；
．28的因数有：1、2、4、7、14、28。除去28，剩下的因数和为：，，所以28是完美数；
．36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。除去36，剩下的因数和为：，，所以36不是完美数；
．40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40。除去40，剩下的因数和为：，，所以40不是完美数。
各数中28是完美数。
故选：。
【考点评析】本题主要考查求一个数的因数的方法及应用。
20．（2024•新乐市）我国汉族人口的数量截止到2024年是个十位数，最高位上的数既不是质数也不是合数，亿位上的数是最小的质数，千万位上是最大的偶数，百万位上的数是最小的合数，千位上是能间时被2和3整除的一位数，个位上是最大的一位数，其余各位上都是最小的自然数，这个数是 1284006009 。保留整数约是 亿。
【思路点拨】根据质数、合数、偶数的认识，这个十位数，最高位上的数既不是质数也不是合数是1，亿位上的数是最小的质数是2，千万位上是最大的偶数是8，百万位上的数是最小的合数是4，千位上是能间时被2和3整除的一位数是6，个位上是最大的一位数是9，其余各位上都是最小的自然数，所以这个数是1284006009。
结合用“四舍五入”求大数近似数的方法，省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字，据此解答即可。
【规范解答】解：我国汉族人口的数量截止到2024年是个十位数，最高位上的数既不是质数也不是合数，亿位上的数是最小的质数，千万位上是最大的偶数，百万位上的数是最小的合数，千位上是能间时被2和3整除的一位数，个位上是最大的一位数，其余各位上都是最小的自然数，这个数是1284006009。保留整数约是13亿。
故答案为：1284006009，13。
【考点评析】本题考查了质数、合数的认识以及用“四舍五入”求大数近似数的方法，结合题意分析解答即可。
21．（2024•杭州）在1、2、51、111、3051、906695这几个数中， 2 是质数。
【思路点拨】质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。
【规范解答】解：在1、2、51、111、3051、906695这几个数中，2是质数。
故答案为：2。
【考点评析】本题考查了质数的特征。
22．（2024•景洪市）□是一个三位数，已知，且□是3的倍数，□里可填的数有 3 个。
【思路点拨】3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答即可。
【规范解答】解：，12是3的倍数，□里可填1；
，15是3的倍数，□里可填4；
，18是3的倍数，□里可填7。
答：□里可填的数有3个。
故答案为：3。
【考点评析】熟练掌握3的倍数特征是解答本题的关键。
23．（2024•西藏）卓玛和小红玩数字卡片游戏，她们两人各拿三张卡片，卓玛拿的是0、1、2，小红拿的是3、4、5，她们每次各拿出一张卡片组数，一共能组成 8 个两位的偶数。
【思路点拨】偶数：是2的倍数的数叫作偶数，又叫作双数。
【规范解答】解：卓玛拿的是0、1、2，小红拿的是3、4、5，她们每次各拿出一张卡片组数，一共能组成30，40，50，14，32，24，42，52，共8个两位的偶数。
故答案为：8。
【考点评析】本题考查了偶数的认识。
24．（2024•曲靖），，、两数的最小公倍数770，、两数的最大公因数是 10 。
【思路点拨】根据利用分解质因数求最小公倍数的方法：两个数公有质因数与各自特有质因数的积是这两个数的最小公倍数，求最大公因数的方法是：两个数公有质因数的积，就是它们的最大公因数；据此解答。
【规范解答】解：
、两数的最小公倍数770，所以，那么是5。
、两数的最大公因数是：
故答案为：10。
【考点评析】本题主要考查了学生利用分解质因数求最大公因数和最小公倍数方法的掌握情况。
25．（2024•金水区模拟）全国水上遇险求救电话是一个五位数。从左边起，第一位既不是质数也不是合数，第二位既是偶数也是质数，第三位是3最小的倍数，第四位既是奇数也是合数，第五位是15和20的最大公因数。这个电话号码是 12395 。
【思路点拨】从左边起，第一位数既不是质数又不是合数，是1；第二位数既是偶数也是质数，是2；第三位数是3最小的倍数，是3；第四位数既是奇数也是合数，是9；第五位是15和20的最大公因数，是5；由此写出即可。
【规范解答】解：从左边起，第一位数既不是质数又不是合数，是1；第二位数既是偶数也是质数，是2；第三位数是3最小的倍数，是3；第四位数既是奇数也是合数，是9；第五位是15和20的最大公因数，是5；所以这个电话号码是12395。
故答案为：12395。
【考点评析】灵活掌握奇数、偶数、质数、合数的意义是解答此题的关键；用到的知识点：找一个数的倍数的方法和找一个数的因数的方法。
26．（2024•和平区）如果，，、两数的最大公因数是6，最小公倍数是540。 （判断对错）
【思路点拨】根据，，可知这两个数公有的质因数是2、3，公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；除了公有质因数外，数独有的质因数为3，数独有的质因数为5，那么公有质因数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数。据此进行解答。
【规范解答】解：
和的最大公因数是：。
和的最小公倍数是：。
即、两数的最大公因数是6，最小公倍数是90。
原题说法错误。
故答案为：。
【考点评析】此题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；公有质因数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数。
27．（2024•蒸湘区）有2，4，8，16四个数，它们都是合数． ．（判断对错）
【思路点拨】根据合数与质数的意义，我们知道2是质数，其它三个数都是合数．
【规范解答】解：根据合数与质数的意义，我们知道2是质数，其它三个数都是合数，因此，题干说法错误．
故答案为：．
【考点评析】本题主要是考查根据合数与质数的意义．要记住，2是最小的质数，且是唯一的是偶数的质数．
28．（2024•雷州市）因为，所以3是因数，12是倍数。 （判断对错）
【思路点拨】根据因数和倍数的意义：如果数能被数整除，就叫作的倍数，就叫作的因数；进行解答即可。
【规范解答】解：因为，所以12是3和4的倍数，3和4是12的因数，因数和倍数不能单独存在，所以原题说法错误。
故答案为：。
【考点评析】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在。
29．（2023•郯城县）54和36的最大公因数是 18 ，最小公倍数是 。
【思路点拨】根据求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法，先把两个数分别分解质因数，公有质因数的乘积就是它们的最大公因数。公有质因数与独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数。据此解答即可。
【规范解答】解：
所以54和36的最大公因数是：
最小公倍数是：
故答案为：18，108。
【考点评析】解答此题的关键是利用分解质因数的方法，即可求出最大公因数与最小公倍数。
30．（2023•九江）如果、均为非0自然数），则与的最小公倍数是 ，最大公因数是 。
【思路点拨】两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积。
【规范解答】解：、为非0自然数），所以、两数互质，所以最小公倍数是，最大公因数是1。
故答案为：，1。
【考点评析】熟练掌握互质的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法是解题的关键。
31．（2023•长寿区）已知，是非零自然数），那么和的最大公因数是 ，最小公倍数是 。
【思路点拨】，，是的3倍，所以它们的最大公因数就是，它们的最小公倍数是；据此填写即可。
【规范解答】解：因为是非零自然数，所以，可得：和的最大公因数是，最小公倍数是。
故答案为：；。
【考点评析】熟悉最大公因数的意义及最小公倍数的意义是解决本题的关键。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
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28
29
30
1
2
3
4〇
5
6△
7
8〇
9
10
11
12〇△
13
14
15
16〇
17
18△
19
20〇
21
22
23
24〇△
25
26
27
28〇
29
30△