浙江省丽水市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版）

这是一份浙江省丽水市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，，所以.
故选：A.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论而不是否定条件，
所以命题“，”的否定是“，”.
故选：A.
3. 若，，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】B
【解析】由，可得的终边在第一象限或第二象限或与y轴正半轴重合，
由，可得的终边在第二象限或第四象限，
因为，同时成立，所以是第二象限角.
故选：B.
4. 已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为，若，由不等式的性质知，，即可以推出，
若，则有，所以，得到，即可以推出，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
5. 已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为是增函数，则，
又在上单调递增，所以，
因为在区间上单调递减，所以，且，
所以.
故选：D.
6. 一个扇形的弧长与面积的数值都是，则这个扇形的中心角大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设扇形的弧长、面积和中心角分别为，扇形的半径为，
因为，所以，由题有，
解得.
故选：B.
7. 一种药在病人血液中的量保持及以上才有疗效，而低于病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了保持疗效，那么从现在起到再次向病人注射这种药的最长间隔时间(精确到)为（ ）
（参考数据：，）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设从现在起到再次向病人注射这种药的最长间隔时间为，
由题有，即，
所以.
故选：A.
8. 函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因，则，
令，则，又令，
则问题等价于求在区间上的最大值与最小值之差的范围.
下列提及的，均满足.
当，
则此时在上单调递增，
则，
因，
则在上单调递增，在上单调递减，
则此时，
；
即此时；
当，
则在上单调递增，在上单调递减.
则，
其中.
注意到，
则，则，
则此时；
当，
则此时在上单调递减，
则，
因，
在上单调递增，在上单调递减，
则此时，
；
即此时；
当，
则在上单调递减，在上单调递增.
则，
其中.
注意到，
则，则，
则此时；
注意到，
则当时，在区间上的最大值与最小值之差的范围为：
，
即在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是：.
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，为幂函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】由幂函数的定义知，和是幂函数，
和不是幂函数，分别是二次函数和指数函数.
故选：AC.
10. 已知正数满足，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】BC
【解析】对于选项A，因为，且，所以，当且仅当时取等号，
令，得到，解得或（舍），所以，故选项A错误，
对于选项B，，且，所以，当且仅当时取等号，
所以，解得或（舍），所以选项B正确，
对于选项C，因为，由选项A知，
所以，得到，故选项C正确，
对于选项D，因为，当且仅当取等号，
由，且，得到，
所以，又，
则，当且仅当，时，取等号，
又，所以，
又，所以选项D错误.
故选：BC.
11. 已知函数是以为最小正周期的周期函数，且当时，，设，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，可以有两个解
B．当时，可以有一个解
C．当时，可以有四个解
D．当时，可以有三个解
【答案】ABD
【解析】因为当时，，
所以此区间的图像是开口向上，对称轴为的抛物线的一部分，
且，又是以为最小正周期的周期函数，
所以当时，，，
以此类推，则作的部分草图如下，
对于A，当时，，
显然当时，即可得到有两个解，A正确；
对于B，当时，，
显然时，有一个解，B正确；
对于C，当时，，
若，如图，有三个解，
所以随着直线平移，即，则不可能有四个解，C错；
对于D，当时，，
如图当时，此时在内有两个解，
所以随着直线下移，可以有三个解，
且第三个解在内，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 求值： .
【答案】
【解析】.
13. 在中，若，是的方程的两个实根，则 .
【答案】
【解析】因为，是的方程的两个实根，
所以，
所以.
14. 已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数，在区间上单调递增，
函数，由，
得在上单调递增，
当时，在区间上单调递增，
故函数在区间上单调递增，
由题意可知，
故由得，
故可得在区间恒成立，
当，即或时，显然成立，
故只需在区间恒成立，其中
即，整理得，
故且恒成立或且恒成立，
因，故，，
故只需或，
故实数的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）若，求的值.
解：（1）由题知，又等价于，解得，
所以函数的定义域是.
（2）由，得到，所以，解得.
16. 如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，.
（1）当时，求的值；
（2）设的面积为，求的最大值.
解：（1）如图，由矩形的周长为，，
可知，.
，，，
，.
在中，由勾股定理得，即，解得.
（2）如图，由矩形的周长为，可知，，
，，，
，.
在中，由勾股定理得，即，
解得，所以.
所以的面积为
.
由基本不等式与不等式的性质，得，
当且仅当时，即当时，的面积最大，
面积的最大值为.
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 当时，求的取值范围.
解：（1）由图可得，
函数的最小正周期为，又，则，
所以，
又因为，得，
因为，则，所以，解得，
所以.
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，
可得到函数，
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
则.
当时，则，所以，则.
所以的值域为.
18. 已知函数，函数为偶函数，且当时，，.
（1）若函数在上是增函数，求的最小值；
（2）若方程有个不同的实数解，求的取值范围；
解：（1）函数图象开口向上，对称轴方程为，
因为函数在上单调递增，∴，
又∵为偶函数，∴.
∴的最小值是5.
（2）∵为偶函数，由，
所以时，，∴，
∴，
∵方程有个不同的实数解，
∴当有两解，且当有两解，
所以，解得.
19. 已知集合，，设函数.
（1）当时，证明：函数是常数函数；
（2）已知，写出所有使函数是常数函数的集合；
（3）当为奇数时，写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由.
解：（1）当时，，
所以是常数函数.
（2）设，不妨令，
则
.
若函数是常数函数，则，
则，
得，所以，
得或，，所以或，，
同理或，，或，，
则①，又，
所以集合有，，共2个.
（3）不妨令，
因为
，
若函数是常数函数，则，
两式平方相加得，所以，
得，，所以，，
①当为偶数时，可以拆分成组两项（，）的和，
每一组为定值时，也为定值，
所以函数是常数函数的一个充分条件可以是
②当为奇数时，可以拆分成1组三项的和与组两项（，）的和，
每一组为定值时，也为定值，
所以当为奇数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是
.