四川省成都市师大附中2025届高三下学期三模数学试题（Word版附答案）

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一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要 求的.
1．若 与 均为实数，且 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
2．在实际应用中，通常认为服从正态分布 的随机变量 只取 中的值，这在统计学中称
为 原则.现用甲、乙、丙、丁四台 3D 打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这四台 3D 打印设备
在正常工作的状态下，打印出的零件内径尺寸 Z（单位：mm）服从正态分布 ，且 ．
根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，四台设备各试打 5 个零件，打印出的零件内径尺寸（单位：
mm）如下，根据上述信息判断，下列设备不需要调试的是（ ）
A．甲：27.3，29.2，30.5，36.7，39.3
B．乙：25.1，27.2，29.5，31.2，33.3
C．丙：25.9，27.3，28.8，31.1，34.4
D．丁：25.6，30.4，32.7，33.9，36.3
3．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 为 的重心，且尚 ，则 的
值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知函数 ，则“ ”是“函数 在 上单调递减”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知三棱锥 的底面 是等腰直角三角形，斜边 ，其外接球表面积为 ，且 ，则该
三棱锥的体积为（ ）
A．48 B．42 C．36 D．32
6．已知 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C．2 D． 或 2
7．2025 年这个寒假，国产 AI 助手 DeepSeek 在全球掀起一场科技风暴．DeepSeek 在训练模型时会用到对数似然函
数来优化参数.假设某模型的对数似然函数为 ，其中 是模型参数， 是输入特征，为了最大化
，我们需要求解以下哪个方程（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 ，函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
试卷第 3 页，共 4 页
二、多选题：本题共 3 个小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的 得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．已知函数 的定义域为 R，函数 是奇函数，且对任意实数 都有 ，则下列结论正确
的有（ ）
A．函数 的图像关于 轴对称
B．函数 的图像关于点 对称
C．函数 是最小正周期为 2 的周期函数
D．若函数 满足 ，则
10．已知 ，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知曲线 C 的方程为 ，下列说法正确的有（）
A．曲线 C 关于直线 对称
B． ，
C．曲线 C 被直线 截得的弦长为
D．曲线 C 上任意两点距离的最大值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知数列 的前 项和 满足 ，则 的通项公式为 ．
13．若关于 的不等式 在 上恒成立，则正数 的最小值为 ．
14．在 中， 的面积为 ，且 ，则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．(本小题 13 分)
在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 ．
试卷第 4 页，共 4 页
16．(本小题 15 分)
已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若函数 有极小值，且极小值不大于 0，求实数 的取值范围．
17．(本小题 15 分)
如图， 是平行六面体，底面 是边长为 1 的正方形， ， ，点 ，
满足 .
(1)求证: 四点共面；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
试卷第 3 页，共 4 页
18．(本小题 17 分)
为了验证某款电池的安全性，小明在实验室中进行试验，假设小明每次试验成功的概率为 ，且每次试验
相互独立.
(1)若进行 5 次试验，且 ，求试验成功次数 的分布列以及期望；
(2)若恰好成功 2 次后停止试验， ，记事件 ：停止试验时试验次数不超过 次，事件 ：停止试验时
试验次数为偶数，求 .（结果用含有 的式子表示）
19．(本小题 17 分)
已知双曲线 ，A 为右顶点，点 ， ， 在双曲线上（不同于点 A），使得 ．
(1)求 坐标；
(2)记 的坐标为 ．对 的正整数，按照以下规则依次定义：过 作一条平行于 的直线与双曲线
交于 （不同于 ）．证明： 为等比数列；
(3) 时，求 n 边形 的面积．
试卷第 4 页，共 4 页
四川师大附中 2020-2025 学年度（下期）三诊模拟题（二）参考答案
高 2022 级 数学
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C D A A C ABD AD 题号 11 答案 ACD
1．C
【详解】因为 ，所以 ，所以 ,则 ．
2．C
【详解】解：依题意， ， ，所以 ， ．
所以打印出来的零件内径尺寸应满足 ，结合选项可知，不需要调试的为丙， 3．B
【详解】由题： ，设 ，由抛物线定义知：
，又 为 的重心，所以 ，所
以 ，
4．C
【详解】令 ，函数 在 上单调递增，
由函数 在 上单调递减，得函数 在 上单调递减，且当 时， ，
因此 ，解得 ，所以“ ”是“函数 在 上单调递减”的必要不充分条件.
5．D
【详解】如图，设三棱锥外接球的球心为 ，连接 ， ，由外接球的表面积为 ，得球的半径
，又因为 ，所以 为球的直径，所以点 为 的中点，取 的中点 ，连接 ， ，
则 ，因为 为等腰直角三角形， 为斜边，所以点 为三棱锥的底面外接圆圆心，所以
底面 ，在 中，因为 ，所以 ，故该三棱锥的体积为
．
6．A
【详解】由 ，得 ，所以 ，所以 ，
答案第 1 页，共 10 页
因为 ，且 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍去）．
7．A
【详解】已知 ，故 . 函数在极值点处的导数为 ，为了最大化 ，需要找到
的极值点，即令 ，可得： 将等式两边同时乘以 ，得到
.
此即 ，即 ，选项 A 正确.
8．C
【详解】由题意得 的定义域为 ．设 ，则 ，令 ，得
，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ，又当 时， ，当 时，
，所以 在 内有两个零点，设为 ，则当 时， ，当
时， ．设 ，由 ，得当 时， ，
当 时， ，则 为方程 的两个实数根，所以 ， ， ．
又 ， ，所以 ， ，所以 ，
即 ，则 ，所以 ．易知 ， ，故 ，
设 ，则 ，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单
调递增，所以 ，故 的最小值为 e．
解法二 由 ， ， ，得 ．
在同一平面直角坐标系中作出函数 ， ， 的大致图象，
数形结合可知，若 ，则 与 ， 的图象的两个交点重合，
如图，设这两个交点分别为 ，则 为方程 的两个实数根，
所以 ， ， ．
答案第 2 页，共 10 页
易知 为方程 的两个实数根，所以 ， ，
以下同解法一．
9．ABD
【详解】对于 A，由函数 是奇函数，则 ，用 代换上式中的 ，
得 ，又因为对任意实数 都有 ，即有 ，
也即 ，故 ，所以函数 的图像关于 轴对称，故 A 正确；
对于 B，由上述分析知 ，即 ，
也即函数 的图像关于 对称，故 B 正确；对于 C，由上述分析知 ，用 代换上式中的
，
得 ，故 是周期为 4 的周期函数，故 C 错误；
对于 D，由题意知 ，则 ，
故 也是周期为 4 的周期函数，而 为满足条件的函数，
但此函数的周期为任意非零实数，故 C 错误.
则 ，
由上述分析知 ，所以 ，
所以 ，故 ，故 D 正确.
10．AD
【详解】A.令 ，得 ，即 ，A 正确.
B.令 ，则原等式变形为 ，
由二项式定理得， ，令 ，得 ，
等式两侧同乘 ，得 ，
∴ ，B 错误.
C.令 ，得 ，故 ，C 错误.
D.对等式 两侧同时求导函数得，
，
令 ，得 ，D 正确.
11．ACD
【详解】选项 A：将方程中的 和 互换，得到 ，与原方程一致，因此曲线关于直线 对称，A
正确；选项 ：通过分析方程 ，设固定 ，解关于 的二次方程，判别式要求 ，
得 ，即 ，超出 ，同理 的范围也超过 ，B 错误；
答案第 1 页，共 10 页
选项 C：将直线 代入曲线方程，解得交点为 和 ，
故弦长为 ，C 正确；选项 D： 则 即
又 ，即 ，
则
同理可得： ，
则曲线 的上任一点 到 的距离之和为：
曲线 表示以 为焦点且 的椭圆，则 ，
则线段 的最大值为 正确；
12 ．
【详解】当 时， ；当 时， . ,
代入通项公式： ,验证 时：若直接代入 ，得 ，与
矛盾，故需分段表示.因此，通项公式为分段形式： .
13． /
【详解】不等式 ， ，当 时， ，令
，依题意， ，对函数 求导得 ，
函数 在 上单调递增，则当 时， 恒成立，令函数 ，求导得
，当 时， ；当 时， ，函数 在 上单调递增，在 上单调递
减， ，因此 ，所以正数 的最小值为最小值为 .
14 ．
【详解】设 ，则 ，由 ，得 ，
由余弦定理得 ，令 ，则 ，
即 （其中 ），所以 ，即 ，
得 ，解得 或 ，即 或 （舍去），
解得 或 （舍去），所以 的最小值为 .
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由 和正弦定理可得 ，
答案第 2 页，共 10 页
因为 ,所以 ， 则有 , 由于 ，所以有
（2）由 得 ，因为 ,
则有 ，由余弦定理可得 ，所以 ，
16．(1) (2)
【详解】（1）求曲线 在 处的切线方程：当 时， ．
对 求导，可得 ．把 代入 和 ．
切线方程的点斜式为 （其中 为切点坐标， 为切线斜率），
所以切线方程为 ，即 ．
（2）对 求导得 ．
当 时， ，则 在 上单调递增，无极值，不符合题意．
当 时，令 ，即 ，解得 ．
当 时， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．所以 在 处取得极小值， ．
因为 的极小值不大于 0，即 ．
令 ，对 求导得 ．
令 ，解得 ．当 时， 单调递增；当 时， 单调
递减．所以 在 处取得最大值 ．且当 或 时， ，
因此对于 ，均有 所以实数 的取值范围是 ． 17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 ， 所以 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 是平行四边形， 四点共面；.
（2）
以 为坐标原点，过 作与平面 垂直的直线为 轴，以 的方向为 轴的正方向，建立如图空间直角
坐标系，则 ，设 ，则 ，则
答案第 1 页，共 10 页
，所以 ，设平面 的法向量为 ，则 ，令
，则 ，所以 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，所以 ，
设平面 与平面 夹角为 ，则 .
18．(1)分布列见解析，期望为
(2)
【详解】（1）依题意， ，则 ，
，
故 的分布列为：
0 1 2 3 4 5
故 .
（2）事件“ ”表示前 次试验只成功了 1 次，且第 次试验成功，
故 ，当 为偶数时，
所以 ，
令 ，则 ，
两式相减得： ，
则 ，即 .当 为奇数时，同理可得
，
答案第 2 页，共 10 页
综上，
19．(1) 坐标为
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）双曲线方程为 ，右顶点 .计算 的斜率： .
直线 的方程为 .代入双曲线方程并化简得： ，
解得 （舍去）或 ，对应 .故 坐标为 .
（2）根据（1），可猜想 ，其中点 看作 .已知 坐标坐标满足猜想.
假设 坐标猜想成立，我们来证明 时猜想成立.
下面验证 在双曲线上，并且满足 .
记 的坐标为 ，则 ， ，
所以 ，所以 在双曲线上.
直线 的斜率 ，
直线 的斜率 ，
所以满足 .由于直线与双曲线至多有两个交点，因此上述猜想的点即为题设中的点 .
综上所述，根据数学归纳法原理，可知猜想正确.
由 ，这也就同时证明了数列 为首项为 公比为 的等比数列，.
（3）顶点坐标可化为 ( ).先证明三角形面积的向量坐标表示公式：
设向量 ，则
.
考虑向量 ，
，
n 边形 的面积：
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.
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