黑龙江省哈尔滨第三中学2025届高三下学期二模数学试题（Word版附解析）

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考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．
考试时间为120分钟．
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知平面向量，，且，则（ ）
A. 5B. C. 37D.
3. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
4. 复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且（其中i为虚数单位），则复数（ ）
A. B. 1C. D.
5. 对于锐角，满足，则（ ）
A B. C. D.
6. 正项等差数列中，，则的最小值为（ ）
A. B. 5C. D. 6
7. 已知函数（，）．若存在使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某高中为了解该校学生的体质情况，对全校同学进行了身体素质测试，现随机抽取所有测试同学中的100名，经统计这一部分同学的体测分数均介于40至100之间；为进一步分析该校学生体质情况，现将数据整理得到如下所示频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 样本中得分不低于80分的同学有15名
C. 估计样本的40%分位数为66分D. 该组数据的平均数大于众数
10. 已知为双曲线上一点，、为双曲线C的左、右焦点，G和I分别为的重心和内心．若轴，则（ ）
A. B. 的面积为
C. D. 内切圆的半径
11. 如图，已知侧棱长为的直三棱柱中，，，为的中点．则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，异面直线与成角的余弦值是
B. 当时，直线与平面成角余弦值是
C. 的最大值是
D. 三棱锥体积的最大值是
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．
12. 若在的展开式中，含项的系数为80，则________．（用数字作答）
13. 已知随机事件，．若，，，则________．
14. 在中，的面积为，且，则的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设函数，．
（1）若在处切线为，求实数的值；
（2）是否存在实数a，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
16. 为研究某篮球运动员对球队的贡献情况，现统计某赛季该球员出场情况与比赛结果的数据如下表：
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队赢球与该球员参赛有关联？
（2）为进一步研究该球员对球队的影响作用，现从他参赛的10场比赛（其中赢球场次3场，输球场次7场）中随机抽取2场，用随机变量表示赢球的场数．求随机变量的分布列，数学期望与方差．
参考公式：，其中．
17. 已知数列满足，（），记．
（1）求证：是等比数列；
（2）设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
18. 已知等腰中，，，D是线段上一点，现将沿折起至的位置．设折叠后平面和平面所成的二面角为（）．
（1）若D为中点，求证：．
（2）若，
①求平面和平面所成角的正弦值；
②设E为中点，过E作平面截三棱锥的外接球，求截面面积的最小值．
19. 椭圆与圆和圆都外切．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A，B分别为椭圆E的左右顶点，F为椭圆的右焦点，K为椭圆E上动点（异于A，B），直线与椭圆E交于另一点H．若直线与交于点P，求证：点P在定直线l上；
（3）在（2）的条件下，设直线与直线l交于Q点，椭圆E在点K处的切线与l交于R，
①求证：．
②求面积取最小值时K点的横坐标．
球队赢球
球队输球
总计
参加
30
12
42
未参加
20
20
40
总计
50
32
82
0.10
0.05
0.025
0010
2.706
3.841
5.024
6635