重庆市第十八中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份重庆市第十八中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列函数求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 记为各项均为正数的等比数列的前n项和，，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
3. 已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 函数在处取得极小值
C. 函数在处取得极值
D. 函数只有一个极值点
4. 若函数在上为增函数，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为.若，则到轴的距离为（ ）
A. B. C. D. 2
6. 已知点在曲线上，点在 直线上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（ ）
A B. 1C. D.
8. 已知是定义在上的偶函数，是的导函数；当时，有恒成立，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知数列满足，（），的前项和为，则（ ）
A. 是等比数列B. 是等比数列
C D.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是函数定义域内的极小值点
B. 的单调减区间是
C. 若有两个不同的交点，则
D. 在定义域内既无最大值又无最小值
11. 已知数列满足，曲线和有交点，且和在点处的切线重合，则下列结论正确的为（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则______.
13. 已知函数，若且，则的最小值为 ____________.
14. 已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围 ___________________
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处取得极大值2．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最值．
16. 已知数列满足，（）．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式：
（2）记，为数列的前n项和，若对任意的正整数n都成立，求实数的取值范围．
17. 如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角．
（1）求证：平面平面；
（2）设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围
18. 已知椭圆的离心率，其焦点三角形面积的最大值是.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线
（i）若是椭圆在第一象限切线，求的方程.
（ii）若直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值.
19. 已知函数，，．
（1）若的极值点为1，求实数的值；
（2）在（1）的前提下，若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）证明不等式（其中是自然对数底数）．
重庆市第十八中学2024—2025学年度（下）3月学习能力摸底
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列函数求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本初等函数、复合函数和积的导数的求导公式求导即可．
【详解】因为，，
，，
所以函数求导运算正确的是D选项.
故选：D．
2. 记为各项均为正数的等比数列的前n项和，，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求出数列的首项和公比，即可根据通项公式求得答案.
【详解】由为各项均为正数等比数列，且，,
设数列公比为 ,可得 ，且，则，
解得 ，
故 ,
故选：D.
3. 已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 函数在处取得极小值
C. 函数在处取得极值
D. 函数只有一个极值点
【答案】D
【解析】
【分析】由图象得出函数的单调性以及极值.
【详解】由导函数的图象可知，函数在上单调递增，故A选项错误；
在的左右，所以函数在处不能取得极值，故C选项错误；
当时，；当时，，即函数在上单调递增，
在上单调递减，即函数在出取得极大值，
且是函数的唯一极值点，故B选项错误，D选项正确.
故选：D.
4. 若函数在上为增函数，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】转化为，即对恒成立，进而得解.
【详解】由题意函数在上为增函数，
可知，
即对恒成立，
所以．
故选：B.
5. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为.若，则到轴的距离为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出，，然后利用勾股定理列出方程即可求得结果.
【详解】如图，不妨设点在轴上方，准线与轴交于点，
因为点在抛物线上，所以，，
又，为正三角形，，
又，在中，，即，
解得或（舍去），所以到轴的距离为.
故选：A.
6. 已知点在曲线上，点在 直线上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出切点坐标，求点到直线的距离的最小值等价于求斜率为3的切线的切点到直线的距离，最后利用平行线间的距离公式计算即可．
【详解】函数的定义域为，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
作出和的图象如图：
令，可得，（舍去），
所以曲线上斜率为3的切线的切点为，
该切线方程为，与直线平行，
两平行线间的距离即为到直线的距离，
即的最小值即为．
故选：A．
7. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数的运算性质将不等式等价为恒成立，构造函数，，利用导数求解函数单调性进而得最值即可求解.
【详解】因为，不等式成立，即，
又，则恒成立，
令，可得，
当，，单调递增，
则不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立，即恒成立，
设，可得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当，函数取得最大值，最大值为，
所以，即，则实数m的最小值为．
故选：C．
8. 已知是定义在上偶函数，是的导函数；当时，有恒成立，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数令，依题意知为偶函数且在区间单调递减，在区间单调递增，分和两种情况，利用单调性即可求得不等式的解集．
【详解】令，则，
因为当时，，
所以，当时，，即在区间单调递减；
又是定义在上的偶函数，
所以是上的偶函数，
所以在区间单调递增；
又，
当时，由，得，
即，所以；
当时，由，得，
即，所以，
综上，不等式的解集是，
故选：C．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知数列满足，（），的前项和为，则（ ）
A. 是等比数列B. 是等比数列
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，利用构造法判断得是等比数列，进而利用等比数列的通项公式与求和公式，结合分组求和法即可得解.
【详解】对于AB，因为数列中，，（），
则，，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，故A错误，B正确；
对于C，，即有，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是函数定义域内的极小值点
B. 的单调减区间是
C. 若有两个不同的交点，则
D. 在定义域内既无最大值又无最小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】先判断函数定义域，再求导分析函数的单调性与最值作出简图，进而可判断各选项.
【详解】对于A，函数定义域满足，解得，
由，令可得和，当或时，所以在和上单调递减，当时.
所以在上单调递增，这表明是的极小值点，A正确；
对B， 的单调减区间是，，故B不正确；
对D，由A可得当和时单调递减，
当时单调递增，且，
作出简图，可得的值域是，故D正确；
对C，由图象可得，与有两个不同的公共点，则，故C正确；
故选：ACD
11. 已知数列满足，曲线和有交点，且和在点处的切线重合，则下列结论正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】依题意，有，且，解得，，对于A，由于，从而可得结论，对于B，构造函数，然后利用导数判断其单调性，再利用单调性判断即可，对于C，由于，从而可判断数列正项递增数列，进而可判断，对于D，只需证，令，然后只要证，构造函数，利用导数只要证明其最小值大于零即可
【详解】依题意，有，且，解得，，
（1）考查选项A：显然，即，故选项A正确；
（2）考查选项B：构造函数，则，
显然当时，，即在上单调递增，
从而为递增数列，又，故，，易知选项B错误；
（3）考查选项C：由，可知，即为正项递增数列，
亦为正项递增数列，故数列为正项递增数列，又，易知选项C错误；
（4）考查选项D：易知，需证，只需证，
令，则，只需证，，
令，，则，
易知单调递减，故当时，，从而选项D正确；
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的运算法则，结合常见函数的导数公式、代入法进行求解即可.
【详解】由，
所以，
故答案为：
13. 已知函数，若且，则的最小值为 ____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式画出函数图形，即可得到，再将代入目标式并构造函数，利用导数求出函数的最小值.
【详解】函数的图象如下：
由且，得，且，
则，令，
求导得，函数在上单调递减，，
所以的最小值为.
故答案为：
14. 已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围 ___________________
【答案】
【解析】
【分析】转化为，构造函数，利用导数研究单调性可作出大致图象，数形结合即可得解.
【详解】原不等式等价于，
设，，所以，得．
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
当时，取极大值，又，
且时，，因此与的图象如下，
直线恒过点.
当时，显然不满足条件；
当时，只需要满足，解得，
所以实数k的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处取得极大值2．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最值．
【答案】（1），
（2）最大值为6，最小值为
【解析】
【分析】（1）求导，根据函数的极值列方程即可求得的值；
（2）由（1）确定函数在区间上单调性即可得最值.
【小问1详解】
函数
，解得，
所以，得
所以函数在上递增，在上递减，在上递增，
所以函数在处取得极大值，符合题意
则，
小问2详解】
由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以的最大值为6，最小值为
16. 已知数列满足，（）．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列通项公式：
（2）记，为数列的前n项和，若对任意的正整数n都成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件得到，再利用等差数列的定义即可证明结果，由等差数列的通项公式可得到，从而求出数列的通项公式；
（2）根据（1）中结果，得到，从而得到，利用裂项相消法得到，再根据条件，将问题转化成求的最大值即可解决问题.
【小问1详解】
因为，得到，
所以为常数，
又，所以，
故数列是公差为，首项为的等差数列，
由，得到，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，
，
由对任意的正整数n都成立，得到，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，得到,
所以，实数的取值范围为.
17. 如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角．
（1）求证：平面平面；
（2）设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用直二面角的意义，面面垂直的性质可得平面，再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证.
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法建立函数关系，进而求出范围.
【小问1详解】
由四边形为矩形，得，二面角为直二面角，即平面平面，
平面平面，平面，则平面，又平面，
则，由≌，得，即，
平面，于是平面，又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
过作平面，由（1）知平面，平面，则，
以为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
，则，
，
设平面的法向量为，则，取，得，
设平面的法向量为，则，取，得，
由图知二面角为锐二面角，
，
由，得，
所以的取值范围是.
18. 已知椭圆的离心率，其焦点三角形面积的最大值是.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线.
（i）若是椭圆在第一象限的切线，求的方程.
（ii）若直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆离心率及焦点三角形面积的最大值结合关系列方程求解；
（2）（i）先设直线方程再联立方程组根据相切得出判别式为0计算求解；设直线联立方程组结合弦长公式及点到直线距离得出面积，最后换元后应用基本不等式计算得出面积最大值.
【小问1详解】
因为焦点三角形面积的最大值是，
根据题意可得，解得，则椭圆方程为；
【小问2详解】
（i）设直线为：，
联立，得，
则，即或，
因为是椭圆在第一象限的切线，所以，
所以方程为
（ii）当直线垂直于轴时，三点共线，不能构成三角形，
故直线的斜率存在，则设直线为：，
设，
联立，得，
则，即或，
，则，
点到直线的距离为，
则，
令，则，则，
当且仅当，即时等号成立，面积的最大值为.
19. 已知函数，，．
（1）若的极值点为1，求实数的值；
（2）在（1）的前提下，若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）证明不等式（其中是自然对数的底数）．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求出导函数再应用1是极值点代入求参即可；
（2）把存在及恒成立转化为最值问题，先求出，再分类讨论求出计算求参即可；
（3）应用，再结合（2）得出，应用不等式的性质计算即可证明.
【小问1详解】
因为的极值点为1，且，所以
所以，经检验符合题意，
因此可得.
【小问2详解】
对，总存在使得成立，
等价于存在使得成立，
由（1），若，，函数单调递增，若，，函数单调递减，所以，
所以存在，使得，
，，当时，
①当时，若，，函数单调递减，，不符合题意；
②当时，，使得，
时，，函数单调递增；时，，函数单调递减，
即，则，使得，符合题意；
③当时，若，，函数单调递增，，
则，使得，符合题意；
综上可知，所求实数的取值范围是
【小问3详解】
由（2）可得当时，，单调递减，所以，，
令，，有；
再由（2）可得，即，则，
即，也即，∴，,
．
则,
所以．