浙江省杭州市北斗联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份浙江省杭州市北斗联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸等内容，欢迎下载使用。
高二数学学科试题卷
命题：萧山八中、临平实验中学
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合，，则（ ）．
A RB. C. D.
2. 已知复数，，则（ ）
A. B. 3C. D. 2
3. 已知直线，圆，则“”是“直线上存在点，使点在圆内”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（ ）
A. 15B. 90C. 270D. 540
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 函数在处的切线为，则（ ）
A. B. C. D. 1
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为为的左支上一点，与的一条渐近线平行.若，则的离心率为（ ）
A. 2B. C. 3D.
8. 数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，曲线是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计．则下列关于曲线说法错误的是（ ）
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线上的点到轴，轴的距离之积不超过
C. 曲线与有8个交点
D. 曲线所围成图形的面积小于2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知展开式中二项式系数之和为64，则（ ）
A. B. 展开式的各项系数之和是1
C. 展开式中第4项的二项式系数最大D. 展开式中常数项为240
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，上单调递增
B. 若，且，则函数最小正周期为
C. 若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3
D. 若在上恰有4个零点，则的取值范围为
11. 在正四棱柱中，，，是棱上一动点，则下列结论正确的有（ ）
A. 与所成角的余弦的最大值为
B.
C. 若为棱的中点，则三棱锥外接球的表面积的最小值为
D. 若为棱上动点，则三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是_____．
13. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等.如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为________________.
14. 已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知在锐角中，内角的对边分别为，且满足
（1）求；
（2）若，点在延长线上，且，求．
16. 公差不为0的等差数列满足：，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
17. 如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
18. 已知抛物线的准线与椭圆相交所得线段长为.
（1）求抛物线的方程；
（2）设圆过，且圆心在抛物线上，是圆在轴上截得弦.当在抛物线上运动时，弦的长是否有定值？说明理由；
（3）过作互相垂直的两条直线交抛物线于、、、，求四边形的面积最小值.
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，求k的值；
（3）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值.